以数学的视角感受美以数学的视角感受美让美充满我们的生活！让美充满我们的生活！启迪中学启迪中学 王勋王勋 生活有两美生活有两美,其一是对称美，其二是其一是对称美，其二是和谐美。两美具有一个共同的特征，这和谐美。两美具有一个共同的特征，这就是就是部分与整体部分与整体以及以及部分与部分部分与部分的协调的协调一致。一致。 你觉得哪张照片的构图你觉得哪张照片的构图最合理？更能体现小松鼠最合理？更能体现小松鼠若有所思的在凝视前方？若有所思的在凝视前方？摄影作品之美摄影作品之美一发现美一发现美 王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上，王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过测量，她身高经过测量，她身高1.60米，你认为王小姐选择米，你认为王小姐选择多少高度的高跟鞋，使得自己的身材更美？多少高度的高跟鞋，使得自己的身材更美？王小姐的困扰：王小姐的困扰：一个五角星如图3-18所示（1）从图中找出相等的角、相等的线段（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形二探索美二探索美(3)测量五角星上测量五角星上C点到点到A、B点的距离。点的距离。ABC(4)(4)请你再计算一下请你再计算一下 的值分别是的值分别是多少多少? ? 它们相等吗？说说理由它们相等吗？说说理由ACBCACAB和和(5)(5)结合图形观察比例式结合图形观察比例式 有什么特点？有什么特点？ACBCACAB=如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC ,那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割(golden (golden section),section),点点 C C 叫做线段叫做线段 AB AB 的黄金分割的黄金分割点点, AC , AC 与与 AB AB 的比叫做黄金比的比叫做黄金比. .CAB如果如果ACABACBC=()D 将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于AC与原线段AB 的比,即ABC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比。一条线段有几个黄金分割点？2个ABD()()你能求出黄金分割比吗？你能求出黄金分割比吗？探索美探索美设线段设线段AB的长度为的长度为1个单位，个单位，AC的长度为的长度为x个单位，则个单位，则CB的长度为的长度为(1-x)个单位可列方程：个单位可列方程：ABC解方程得解方程得 =(舍去负值）舍去负值）求得黄金分割比为求得黄金分割比为如图如图, ,点点P P是线段是线段MNMN的黄金分割点的黄金分割点(MP(MPNP),NP),(1)(1)可得比例式可得比例式 ( (2)2)若若MN=1,MN=1,则则MP_,NP_.MP_,NP_.( (3)3)若若MN=5,MN=5,则则MP_,NP_.MP_,NP_.N NM MP P0.6180.6180.3820.3823.093.091.911.91 幸运闯关幸运闯关( (4)4)若若MN=a,MN=a,则则MP_,NP_.MP_,NP_.0.618a0.618a0.382a0.382a如图如图, ,已知线段已知线段AB,DBABAB,DBAB于于B,B,在在DADA上截取上截取DE=DB,DE=DB,在在ABAB上截取上截取AC=AE,AC=AE,E EA AB BD DC C(1)(1)若若AB=2,BD=1,AB=2,BD=1,则则AD=_,AC=_,AD=_,AC=_,则则C C是线段是线段ABAB的的_点点. .黄金分割黄金分割(2)(2)若若AB=2a,BD=aAB=2a,BD=a 则则C C点呢点呢? ?E EA AB BD DC C三三创造美创造美若若 则则C C即为即为ABAB的黄金分割点的黄金分割点. .用尺规作图找出用尺规作图找出黄金分割点黄金分割点1 1、经过点、经过点B B作作BDAB,BDAB, 2 2、连接、连接AD,AD, 在在DADA上截取上截取 DE=DBDE=DB . .3 3、在、在ABAB上截取上截取 AC=AE.AC=AE.作法作法:如图如图, ,已知线段已知线段ABAB, , 求作其黄金分割点求作其黄金分割点.点点C C即为线段即为线段ABAB的黄金分割点的黄金分割点. .这样也可以得到黄金分割点？用图3-22所示的方法也可以作出一条已知线段 AB 的黄金分割点 H：1在 AB 上作正方形 ABCD2取 AD 的中点 E，连接 EB3延长 DA 至 F，使 EF = EB4以线段 AF 为边作正方形 AFGH点 H 就是 AB 的黄金分割点你能说说这种作法的道理吗？ 这是古希腊的巴台农神庙，如这是古希腊的巴台农神庙，如果把图中用蓝线表示的矩形画成果把图中用蓝线表示的矩形画成矩形矩形ABCDABCD，并以矩形，并以矩形ABCDABCD的宽为的宽为边在内部作正方形边在内部作正方形AEFDAEFD，那么我，那么我1.1.点点E E是是ABAB的的黄金分割点黄金分割点吗吗? ?2.2.矩形矩形ABCDABCD宽与长的比是宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ? 四四 应用美应用美 D D ABEFC们可以惊奇地发现们可以惊奇地发现A E BA E BD F CD F C因此，点因此，点E E是是ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，是黄金比是黄金比即宽与长的比是黄金比即宽与长的比是黄金比, ,这样的矩形称之这样的矩形称之为为黄金矩形。黄金矩形。BC=AEBC=AE推证推证1.1.点点E E是是ABAB的的黄金分割点黄金分割点吗吗? ?2.2.矩形矩形ABCDABCD宽与长的比是宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ?勾股定理和黄金分割是几何中的双宝 前者好似黄金后者堪称珠玉（20122012恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片一张正方形的纸片ABCDABCD，先折出，先折出BCBC的中点的中点E E，再，再折出线段折出线段AEAE，然后通过折叠使，然后通过折叠使EBEB落到线段落到线段EAEA上，上，折出点折出点B B的新位置的新位置BB，因而，因而EB=EBEB=EB类似地，类似地，在在ABAB上折出点上折出点BB使使AB=ABAB=AB这时这时BB就是就是ABAB的黄金分割点请你证明这个结论的黄金分割点请你证明这个结论1.作顶角为36的等腰ABC;量出底BC与腰AB的长度,计算: ; 2.作B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度, 再计算: . (精确到0.001)DCABE0.6180.6180.6180.618再作再作C C的平分线的平分线, ,交交BDBD于于E,E, CDECDE也是也是黄金三角形黄金三角形顶角为顶角为3636的等腰三角形称为的等腰三角形称为 黄金三角形。黄金三角形。 点D是线段AC的黄金分割点. 这幅这幅蒙娜丽莎的蒙娜丽莎的微笑微笑给了数以亿万计的给了数以亿万计的人们美的艺术享受，备受人们美的艺术享受，备受推崇。意大利画家达芬奇推崇。意大利画家达芬奇在创作中大量运用了黄金在创作中大量运用了黄金矩形来构图。整个画面使矩形来构图。整个画面使人觉得和谐自然，优雅安人觉得和谐自然，优雅安宁。宁。找一找：画中有几个黄金矩形？找一找：画中有几个黄金矩形？黄金矩形的黄金矩形的“迷人面容迷人面容”-蒙娜丽莎蒙娜丽莎的微笑。的微笑。五五 欣赏美欣赏美图中主叶脉与图中主叶脉与叶柄和主叶脉叶柄和主叶脉的长度之和比的长度之和比约为约为0.618叶子中的黄金分割叶子中的黄金分割0.618随随处可见处可见!美丽的蝴蝶美丽的蝴蝶六留住美六留住美1.一条线段，一个矩形一条线段，一个矩形2.两个分点，两个数字两个分点，两个数字3.三个等量，三步作出线段的黄金分割点三个等量，三步作出线段的黄金分割点4. .美中有数学，数学中有美美中有数学，数学中有美谈谈你对黄金分割的收获与体会。谈谈你对黄金分割的收获与体会。 科学研究表明科学研究表明, ,当人的肚当人的肚脐以下身长与身高之比为脐以下身长与身高之比为0.6180.618时时, ,看起来最美看起来最美. .女士们爱穿高跟鞋的秘密女士们爱穿高跟鞋的秘密！七 延伸美 王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过测王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过测量，她身高量，她身高1.60米，米， 请请你为王小姐选择一双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精你为王小姐选择一双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到确到0.1厘米）厘米）.设高跟鞋高设高跟鞋高x米，则有米，则有x+0.96x+1.60= 0.618所以应选择所以应选择7.5厘米厘米的高跟鞋。的高跟鞋。解得解得 x 0.075解决问题解决问题肚脐到脚底的距离为肚脐到脚底的距离为0.96米，米，