中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳归纳和模拟模拟 拉普拉斯拉普拉斯Laplace法国法国 数学家数学家17491827中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及特性，而且更要定量地描述系统的动态性能动态性能，揭示系统的结构、参数与其动态性能之间的关系。这就要求建立控制系统的数学模型。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3学习要点学习要点数学模型(微分方程)的建立及线性化拉氏变换及拉氏反变换传递函数定义及典型环节的传递函数传递函数定义及典型环节的传递函数系统函数方块图及其化简系统的闭环传递函数绘制实际物理系统的函数方块图中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 建立控制系统的数学模型数学模型，并在此基础上对系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。 微分方程微分方程 （时间域）（时间域） 代数方程代数方程（复数域）（复数域）传递函数传递函数方块图方块图信号流图信号流图拉氏变换拉氏变换中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5 2-1 数学模型的建立数学模型的建立例例1 质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6例例2 无源电路网络无源电路网络中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型7练习练习1 下图为电感下图为电感L、电阻、电阻R与电容与电容C的串并联电路，的串并联电路，ui为输入电压，为输入电压，u0为输出电压。为输出电压。iL(t)iR(t)ic(t)中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型8例例3 有源电路网络有源电路网络中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型9例例4 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电机电枢电机电枢输入电压输入电压电机输出电机输出转角转角电枢绕组电枢绕组电阻电阻电枢绕组电枢绕组电感电感流过电枢绕组流过电枢绕组的电流的电流电机感应电机感应反电动势反电动势电机电机转矩转矩电机及负载折电机及负载折合到电机轴上合到电机轴上的转动惯量的转动惯量电机及负载折合电机及负载折合到电机轴上的粘到电机轴上的粘性摩擦系数性摩擦系数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型10将上面四个方程联立，可得将上面四个方程联立，可得中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型11列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤：1. 将系统划分环节，确定各环节的输入输入及输出输出信号；2. 根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写上述各环节的原始方程式，并适当简化，或线性化线性化；3. 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得到只含有输入、输出变量以及参量的系统微分方程式（数学模型）。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型12 2-2 数学模型的线性化数学模型的线性化实际系统一般都有非线性现象实际系统一般都有非线性现象几乎所有实际物理系统都是非线性的。 电机死区电机死区 放大器饱和放大器饱和齿轮间隙齿轮间隙xixixix0x0x0中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型13线性化条件线性化条件1. 非线性因素对系统影响很小。2. 系统变量只发生微小偏移，可通过切线法 进行线性化，求其增量增量方程。 不是各个变量的绝对数量，不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离而是它们偏离平衡点平衡点平衡点平衡点的量的量中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型14 设具有连续变化的非线性函数为设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡若取某一平衡状态为工作点，如状态为工作点，如 。A点点附近有点为附近有点为 ， 当当 很小时，很小时，AB段可看做近似线性的段可看做近似线性的。A AByx0设设f(x)在在 点连续可微，将函数点连续可微，将函数在该点展开为台劳级数，得：在该点展开为台劳级数，得：若若 很小，则很小，则 ，即，即 式中，式中，K是与工作点有关的常数，上式是线性方程，是非线性方程的是与工作点有关的常数，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。线性表示。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型15 单 摆中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型16线性化步骤线性化步骤l找出静态工作点（工作点不同，所得线性化方程的系数也不同）；l在工作点工作点附近展成台劳级数； 变量的偏移愈小，线性化精度越高；l略去高阶项，仅考虑台劳级数的一次项，得到关于增量的线性化微分方程。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型17 2-3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换 一种解线性微分方程的简便方法一种解线性微分方程的简便方法分析工程控制系统的基本数学方法时域微分方程微分方程复变函数代数方程代数方程 拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型18复变量和复变函数复变量和复变函数复数复数有实部和虚部，两部分都是常数。 如：复变量复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 如：复变函数复变函数 是 s 的函数，有实部和虚部。如： 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型19复数复数相加（减相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。 如：复数复数相乘（除）相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积（商），相角等于两个复数相角的和（差）。如：复数分母有理化复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如： 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型20例如：例如： G(s)平面平面40S平面平面20中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型21一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义对于函数 ，若满足下列条件：象象函数函数原函数原函数复变量量纲复变量量纲 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型22 拉氏变换的积分下限 若x(t)在t=0处有一个脉冲函数，则必须明确拉氏积分的下限是0+还是0。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型23二、简单函数的拉氏变换二、简单函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数单位阶跃函数 0t1中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型242. 指数函数指数函数 0t1中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型25中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型26中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型274. 幂函数幂函数 0t中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型28应记住的一些简单函数简单函数的拉氏变换 原函数原函数 象函象函数数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型29三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质1. 叠加性质叠加性质中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型302. 微分定理微分定理中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型31两个重要推论：两个重要推论：零初始条件零初始条件零初始条件零初始条件中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型323. 积分定理积分定理中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型33两个推论：两个推论：零初始条件零初始条件零初始条件零初始条件中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型344. 衰减定理衰减定理中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型355. 延时定理延时定理00tt中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型366. 初值定理初值定理中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型377. 终值定理终值定理中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型388. 时间比例尺改变的象函数时间比例尺改变的象函数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型39 9. tx(t)的象函数的象函数10. 的象函数的象函数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4011. 周期函数的象函数周期函数的象函数12. 卷积分的象函数卷积分的象函数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型41例例2-1 求单位脉冲函数的象函数求单位脉冲函数的象函数 0t中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型42例例2 求求f(t)的的象函数象函数 解：解：解：解：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型43四、拉氏反变换四、拉氏反变换中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型44拉氏反变换方法拉氏反变换方法l利用拉氏变换表（附录A）l利用部分分式展开部分分式展开法，再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质MATLAB：r,p,k=residue (num, den)中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型45控制系统象函数的一般形式：控制系统象函数的一般形式：使使分子为零的分子为零的s值称为值称为象函数的象函数的零点零点零点零点使分母为零的使分母为零的s值称为象值称为象函数的函数的极点极点极点极点将分母因式分解后，上式包括三种不同的极点情况，将分母因式分解后，上式包括三种不同的极点情况，采用采用部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法进行拉氏反变换进行拉氏反变换。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型461、只含不同单极点情况只含不同单极点情况对对分母分解因式分母分解因式中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型47中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型482、含有共轭复极点情况含有共轭复极点情况1-10中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型49中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型503、含有多重极点情况含有多重极点情况中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型51其中 的求法中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型52中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型53五、用拉氏变换解常系数线性微分方程五、用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解微分方程的步骤：利用拉氏变换解微分方程的步骤：1. 对微分方程进行拉氏变换；2. 作因变量因变量的拉氏反变换，求出微分方程的 时域解。 利用微分定理微分定理的推论（1）。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型54中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型55习题：求如图所示函数的习题：求如图所示函数的Laplace变换变换解：根据图示的阶梯曲线可得阶梯解：根据图示的阶梯曲线可得阶梯函数的表达式为函数的表达式为 f(t) = A1(t) +1(t-T) +1(t-2T) +1(t-3T) + 对阶梯函数对阶梯函数f(t)进行进行Laplace变换得变换得中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型56当当Re(s)0时，有时，有 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型57一、传递函数定义 在零初始条件零初始条件下，线性定常系统输出象函数 与输入象函数 之比。 2-4 传递函数及 典型环节的传递函数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型58零初始条件零初始条件l 输入及其各阶导数在输入及其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0；l 输出及其各阶导数在输出及其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0。传递函数三要素传递函数三要素l 线性定常系统线性定常系统;l 零初始条件零初始条件;l 输出与输入的拉氏变换之比。输出与输入的拉氏变换之比。 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型59设线性定常系统的微分方程为设线性定常系统的微分方程为中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型60二、传递函数的性质二、传递函数的性质1. 传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是 s 的有理真分式，表达了系统内在的固有特性内在的固有特性，与输入量无关；2. 传递函数有无量纲，应根据输入、输出量的量纲而定；3. 传递函数通常不表明系统物理特性和物理结构；4. 传递函数是单位脉冲响应单位脉冲响应的拉氏变换。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型61三、传递函数的优点三、传递函数的优点中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型62四、传递函数的零点、极点四、传递函数的零点、极点 系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数。经因式分解后，G(s)可以写成如下形式： 上式称为传递函数的零极点增益模型零极点增益模型零极点增益模型零极点增益模型，z1、z2,zm称为G(s)的零点；p1、p2,pn称为极点，也是系统微分方程的特征根特征根特征根特征根。K是系统的放大系数。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型63五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数1. 比例环节比例环节时间域方程中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型64例例2-9 运算放大器运算放大器中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型652. 一阶惯性环节一阶惯性环节时间域方程时间域方程时间常数时间常数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型66例例2-11 无源滤波电路无源滤波电路中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型67例例2-12 弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型683. 微分环节微分环节l理想微分环节理想微分环节永磁式直流测速机永磁式直流测速机中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型69l 近似微分环节近似微分环节无源微分网络无源微分网络中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型704. 积分环节积分环节中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型715. 二阶振荡环节二阶振荡环节 =中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型72 传递函数列写大致步骤传递函数列写大致步骤 方法一方法一： 列写整个系统的微分方程列写整个系统的微分方程 消去中间变量消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比。求输出与输入拉氏变换之比。 方法二方法二： 列写系统中列写系统中各元件各元件各元件各元件的微分方程的微分方程 在零初始条件下求各元件的拉氏变换在零初始条件下求各元件的拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 得出传递函数的形式。得出传递函数的形式。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型73六、传递函数在六、传递函数在MATLAB中的描述中的描述有两种表示方法：有两种表示方法：1. 2.其中：其中： num=b0,b1,bm-1,bm, den=a0,a1,an-1,an中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型74中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型75 2.5 方块图及其变换方块图及其变换方块图方块图系统中各元件的系统中各元件的功能功能和和信号流向信号流向的的图解表示。图解表示。2. 比较点（相加点）比较点（相加点）3. 引出点（分支点）引出点（分支点）-+1. 方块图单元方块图单元中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型764. 串联串联中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型775. 并联并联 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型786. 反馈联接反馈联接 +_联立并消去中间变量联立并消去中间变量+中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型79+ 具有负反馈结构的传递函数等于前向通道前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈回路传递函数的乘积。_中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型80 前向通道传递函数前向通道传递函数G(s)：从输入端到输出端沿从输入端到输出端沿信号传递方向通道上的传递函数之积。即输出信信号传递方向通道上的传递函数之积。即输出信号号X0(s)与偏差信号与偏差信号E(s)之比。之比。+中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型81 反馈回路传递函数反馈回路传递函数H(s)：反馈信号反馈信号B(s)与输出与输出信号信号X0(s)之比。之比。+中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型827. 方块图等效变换法则方块图等效变换法则 方块图变换法则如【表2-1】 （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积保持不变。变换前后系统输入输出总的数学关系保持不变。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型83方块图变换思路：方块图变换思路：l确定输入量和输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数，然后叠加。l利用等效变换法则，移动比较点比较点和引出点引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。l l比较点比较点和和引出点引出点之间一般不宜相互交换其位置。之间一般不宜相互交换其位置。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型84中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型85中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型868. 方块图化简方块图化简 -例例2-9 化简方块图化简方块图中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型87-中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型88-中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型89-中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型902-6 绘制实际物理系统的函数方块图绘制实际物理系统的函数方块图复阻抗复阻抗电网络中，电压的拉氏变换与电流的拉氏变换的比值。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型91 绘制绘制系统方块图系统方块图的步骤如下：的步骤如下：（1）列出描述系统各环节的微分方程；（2）令初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换；（3) 按照信号在系统中传递、变换的过程（流向）依次将各传递函数方框图连接起来（同一变量的信号通路连接在一起），系统输入量置于左端，输出量置于右端，得到系统的方框图。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型92例例2-23 绘制系统方块图绘制系统方块图图图2-36 无源滤波网络无源滤波网络中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型93首先列写每个环节的方块图首先列写每个环节的方块图中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型94然后将各环节方块图结合成一体然后将各环节方块图结合成一体中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型95等效弹性刚度等效弹性刚度作用力的拉氏变换与位移的拉氏变换的比值。 粘性阻尼系数为D的阻尼筒可等效为Ds的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和；串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型96-步骤：1、列平衡方程 2、画方框图 3、写传递函数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型97补充内容：补充内容：闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数反馈信号反馈信号B(s)： B(s)=C(s)H(s)偏差信号偏差信号E(s)： E(s)=R(s)-B(s) 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型98（一）给定输入作用下的闭环系统（一）给定输入作用下的闭环系统 令令 ，则有：，则有：-输出量为：其中， 称为前向通道传递函数前向通道传递函数。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数开环传递函数 ，是主反馈通道在相加点断开时从偏差信号到反馈信号 之间的传递函数。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型99由输入量引起的由输入量引起的系统偏差传递函数系统偏差传递函数-中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型100（二）扰动作用下的闭环系统二）扰动作用下的闭环系统 此时此时R(s)=0，结构图如下：，结构图如下：-+输出对扰动的传递函数为：输出对扰动的传递函数为：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型101 由扰动量产生的输出量应为零。系统的由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差误差为为-C(s)，偏差，偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，系统在扰动作用下，系统在扰动作用下偏差偏差传传递函数为：递函数为：-+中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型102(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性叠加原理：根据线性叠加原理：输出输出：偏差偏差：【提示】各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征方程。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型103习题习题1：求系统的微分方程：求系统的微分方程解：由牛顿定律得解：由牛顿定律得其中其中中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型104习题习题2：求系统的传递函数：求系统的传递函数解：对解：对m进行受力分析，可得系统动力学方程为进行受力分析，可得系统动力学方程为作拉氏变换整理得作拉氏变换整理得中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型105习题习题3：求图所示机械系统的微分方程。图中：求图所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，为输入转矩，Cm为圆周阻尼，为圆周阻尼，J为转动惯量，为转动惯量， 为输出角。为输出角。解：设系统输入为解：设系统输入为M，输出为，输出为 ，分别对圆盘和质块进行动力，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写系统动力学方程如下：学分析，列写系统动力学方程如下：k中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型106消除中间变量消除中间变量x，得到系统的动力学方程为，得到系统的动力学方程为中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型107习题习题4：输出：输出y(t)与输入与输入x(t)的关系为的关系为y(t)=2x(t)+0.5x3(t)。(1)求当工作点为求当工作点为x0=0， x0=1， x0=2时相应的稳态输出值；时相应的稳态输出值；(2)在这些工作点处作最小偏差线性化模型，并以对工作点的在这些工作点处作最小偏差线性化模型，并以对工作点的偏差来定义偏差来定义x和和y，写出新的线性化模型。，写出新的线性化模型。解解:（1）将将x0=0， x0=1， x0=2分别代入分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中，中，即得当工作点为即得当工作点为x0=0， x0=1， x0=2时相应的稳态输出值分别时相应的稳态输出值分别为为y0=0， y0=2.5， y0=8。（2）根据非线性系统线性化的方法，在工作点（根据非线性系统线性化的方法，在工作点（x0，y0）附）附近，将非线性函数展开成台劳级数，并略去高阶项得近，将非线性函数展开成台劳级数，并略去高阶项得中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型108若令若令x=x，y= y，则，则当工作点为当工作点为x0=0时，时，当工作点为当工作点为x0=1时，时，当工作点为当工作点为x0=2时，时，中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型109习题习题5：求下图所示系统的传递函数：求下图所示系统的传递函数X0(s)/Xi(s)。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型110课后作业：课后作业： P68: 2-1、(1)(2)(5)(7) 2-2、(1)(2)(5) 2-3、(2) 2-4 2-6、(a)(c) 2-9、(a)(b) 2-15 2-20