精品资料欢迎下载第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限limxyx yxy00242= （ B ）(A) 等于 0；(B) 不存在； (C)等于12；(D) 存在且不等于0 或12（提示：令22yk x）2、设函数fx yxyyxxyxy( , )sinsin11000，则极限lim( , )xyf x y00= （ C ）(A) 不存在； (B)等于 1； (C)等于 0； (D)等于 2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数f x yxyxyxyxy( , )222222000，则( ,)f x y（ A ）(A) 处处连续；(B) 处处有极限，但不连续；(C) 仅在（ 0,0）点连续；(D) 除（ 0,0）点外处处连续（提示：在220xy，( , )f x y处处连续；在0,0xy，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxk xk，故在220xy，函数亦连续。所以，( , )f x y在整个定义域内处处连续。）4、函数zf x y( , )在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）(A) 必要而非充分条件；(B) 充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D) 既非充分又非必要条件5、设uyxarctan，则ux= （ B ）(A) xxy22；(B) yxy22；(C) yxy22；(D) xxy22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载6、设f x yyx( ,)arcsin，则fx( , )2 1（ A ）（A）14；（B）14；（C）12；（D）127、若)ln(yxz，则yzyxzx（C）（A）yx；（B）yx；（C）21；（ D）218、设yxzarctan，vux，vuy，则vuzz（C）（A）22vuvu；（B）22vuuv；（C）22vuvu；（D）22vuuv9、若f xxxx fxxxx( ,),( ,)232612，则fxxy( ,)2= （ D ）(A) x32；(B) x32；(C) 21x；(D) 21x10、设zyx，则()( , )zxzy2 1（ A ）(A) 2 ；(B) 1+ln2 ；(C) 0 ；(D) 1 11、设函数zxy122，则点( , )00是函数z的（ B ）（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。12、设函数zfx y( , )具有二阶连续偏导数，在Pxy000(,)处，有（ C ）2)()(,0)()(, 0)(, 0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则（A）点P0是函数z的极大值点；（B）点P0是函数z的极小值点；（C）点P0非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。二、填空题1、极限limsin()xyxyx0= 。答：2、极限limln()xyxyexy01222=。答：ln2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载3、函数zxyln()的定义域为。答：xy14、函数zxyarcsin的定义域为。答：11x，y05、设函数f x yxyxyyx( , )ln22，则f kx ky(,)= 。答：kfx y2( , )6、设函数fx yxyxy( , )，则f xy xy(,)= 。答：222xyx（22()()(,)()()2xyxyxyf xy xyxyxyx）7、设zxyysin()3，则zxxy21_ 。答： 3cos5 8、函数zz x y( , )由方程xyzexyz()所确定，则22zx0 9、 、设uxxyln，则2ux y= _ 。答：1y9、函数zxyxy2346122的驻点是 _。答： （1， 1）三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形. (1)221zxy (2)ln()zxy(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy解： (1) 要使函数221zxy有意义，必须有2210xy，即有221xy. 故所求函数的定义域为22(, ) |1 Dx yxy, 图形为图3.1 (2) 要 使 函 数ln()zxy有 意 义 ， 必 须 有0xy. 故 所 有 函 数 的 定 义 域 为( , )|0Dx yxy，图形为图3.2 (3) 要使函数1ln()zxy有意义，必须有ln()0xy，即0xy且1xy. 故该函数的定义域为( , ) |01Dx yxyxy，图形为图3.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载(4) 要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10xy. 故该函数的定义域为(,)|1Dx yxy，图形为图3.4 O1xyO1xyx+y=0图 3.1 图 3.2 O1xyx+y=0x+y=11O1xyy=1/x1-1-1图 3.3 图 3.4 2、求极限limxyxxyexy00416。解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416= - 8 3、设函数zz x y( , )由方程xy zxyz2所确定，求zy。答：2112xyzxy4、设zyxyxln()，求zxzy,。解：zyyxyxyxxxlnln1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载zxyxyyyyxx11ln()四、应用题。1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10 元与 9 元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)33(01.032400)910(),(22yxyxyxyxyxL)0,0( ,400)33(01.06822yxyxyxyx，令0)6(01.060)6(01.08yxLyxLyx，解得唯一驻点（120，80）. 又因06.0,01.0,006.0yyxyxxLCLBLA，得0105.332BAC. 得极大值320)80,120(L. 根据实际情况，此极大值就是最大值故生产120 单位产品甲与 80 单位产品乙时所得利润最大320 元. 五、证明题1、设)11(yxez求证zyzyxzx222证明：因为2)11(1xexzyx2)11(1yeyzyx所以zeeyzyxzxyxyx2)11()11(222设2sin(x 2y 3z ) x 2y 3z证明1yzxz证明：设F(x y z) 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z则Fx2cos(x 2y 3z) 1Fy 2cos(x 2y 3z) 2 2 2FxFz2cos(x 2y 3z) ( 3) 33Fx313xxzxFFFFxz3232xxzyFFFFyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载于是13231zzzxFFFFyzxz3、设x x(y z) y y(x z) z z(x y)都是由方程F(x y z) 0所确定的具有连续偏导数的函数证明1xzzyyx解：因为xyFFyxyzFFzyzxFFxz所以1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页