高一数学必修1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P ,Y 元素的无序性 : 如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举法： a,b,c 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x(R| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图: 4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A 是 B的一部分，； （ 2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B不包含集合A,记作 AB或 BA 2 “相等”关系：A=B (5 5，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A(A 真子集 :如果 A(B,且 A( B那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果A(B, B(C , 那么 A(C 如果 A(B 同时B(A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型交集并集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页补集定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB（读作 A 交 B ） ，即 AB=x|xA ，且 xB 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B ） ，即 AB =x|xA，或 xB)设 S是一个集合， A 是 S的一个子集，由S中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S中子集 A 的补集（或余集）记作，即CSA= 韦恩图示性质AA=A A =AB=BA ABA ABB AA=A A =AAB=BA ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 例题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a，b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x 0，则 M 与 N 的关系是. 4.设集合 A=，B=，若 AB，则的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 B C， A C=，求 m 的值? 二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：AB 为从集合A到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例2) 2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C上 . (2) 画法描点法：图象变换法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： AB为从集合 A 到集合 B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射f： AB来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A 中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 x1，x2D，且 x11，且 *负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作。当是奇数时， ，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a0，a0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是() 2.计算：;= ；= ; = 3.函数 y=log(2x2-3x+1)的递减区间为4.若函数在区间上的最大值是最小值的3 倍，则 a= 5.已知， （1）求的定义域（2）求使的的取值范围第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1）， 方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型集合与函数练习卷班级姓名得分一、选择题（每小题4 分，共 32 分）1、图中阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 2、下列各组中的两个集合M 和 N，表示同一集合的是（）, B. , C. , D. , 3、已知集合A= 2，B=xa，且，则实数a 的取值范围是（）（A）a（B）a（C）a（D）a4、设全集，若， ，则（）（A）（B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页（C）（D）5、设 P=，则 P、Q 的关系是（）（A）P(Q （B）P(Q （C）P=Q （D） P(Q= 6、下列四组函数，表示同一函数的是（）（A）f (x), g(x) x （B） f (x)x, g(x)（C）f (x), g(x) （D）f (x)|x 1|, g(x) 7、函数的图象是图中的（）8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间 t 的函数关系式是，则炮弹在发射几秒后最高呢？（）A. 1.3 秒B. 1.4 秒C. 1.5秒D 1.6 秒二、填空题（每小题4 分,共 16 分）9、已知集合，则集合A 的非空真子集的个数是10、已知集合M=0 ，1，2，N=，则集合 = ， = 。11、A= x5，B=x 3 或 x 8，则（）（）12、设 f(x)，则 ff() 三、解答题（每大题13 分，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）13、已知集合， . （1）当 m=3 时，求集合， ；（2）若，求实数m 的取值范围。14、设集合 , （1）若，求a 的值组成的集合C。（2）若，求a 的值。15、求下列函数的值域： ； ；,x0,1,2,3,4； （x0,3 ）16、 某市场经营一批进价为30 元/件的商品， 在市场试销中发现，此商品的销售单价x （元）与日销售量y（件）之间有如下表所示的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 （1）根据表中提供的数据，确定y 与 x 的一个函数关系式y=f（x） ；（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于 x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？参考答案：14：ADBB 58： DDCC 9.6 10. 11. 12. 13.14. 15.16. 当 x=40 时， y 有最大值300 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页