8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity1一、高阶导数及其运算法则一、高阶导数及其运算法则一阶导数一阶导数于是于是例如：二阶导数的物理意义二阶导数的物理意义高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity2Def :高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity3例1.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity4例2.例3.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity5逐阶整理法逐阶整理法例4.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity6高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 1.2. Leibniz 公式：公式：其中其中高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity7注注1. 比较二项式展开公式比较二项式展开公式记忆：记忆：注注2. 法则1，2成立的条件是与均存在 n 阶导数.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity8例例5.解：解：高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity9例6.解：解：注注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是重复应用一阶导数的法则重复应用一阶导数的法则. 如：高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity10高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity11高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity12例7.解：解：例8.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity13解：解：得得高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity14二、高阶微分二、高阶微分Def:y = f (x) 的各阶微分：的各阶微分：高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity15一般地，即：对于复合函数，上述公式不成立.高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity16高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity17注意注意: : (1)求高阶微分时，若求高阶微分时，若 x 是自变量，则由于是自变量，则由于 dx 是不依赖于是不依赖于 x 的任意的数，故关于的任意的数，故关于 x 微分时，必须视微分时，必须视 dx为常数因子为常数因子.若若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如不是自变量，而是某一变量的函数，如(3) 求求 n 阶微分实质上就是求阶微分实质上就是求 n 阶导数阶导数.(2)高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity18例9：解：解：（1）（2）高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity19例10.解：解：高阶导数与高阶微分8. 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分YunnanUniversity20三、小结三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.高阶导数与高阶微分