1 / 7 第 11 讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试卷经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试卷也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试卷的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差 定义法：对于n2 的任意自然数, 验证为同一常数。(2 通项公式法：若 = +n-1）d= + 中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中, 有关的最值问题常用邻项变号法求解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 (1 当0,d 当0 时，满足的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1 证 明 数 列是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 ， 即 通 过 证 明或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如：=，=4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略四、例题解读例 1已知数列 a是公差 d0 的等差数列，其前n项和为 S(2过点 Q (1，a ，Q(2，a作直线 12，设 l 与 l的夹角为 ，证明： (1因为等差数列a的公差 d0，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 Kpp是常数 (k=2， 3， n(2直线 l的方程为y-a =d(x-1 ，直线 l的斜率为d例 2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于 b 和c 中的项都和 a中的项有关，a中又有S=4a +2，可由S-S作切入点探索解题的途径解： (1由 S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a，即a=4a-4a(根据 b的构造，如何把该式表示成b与 b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练 a-2a=2(a-2a，又 b=a-2a，所以 b=2b已知 S=4a +2，a =1，a +a=4a +2，解得 a=5，b =a-2a =3由和得，数列b 是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当 n2 时， S =4a+2=2(3n-4+2 ；当 n=1 时， S =a =1 也适合上式综上可知，所求的求和公式为S =2(3n-4+2 说明： 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 解的过程中适时应用例 304 年浙江）设数列an的前项的和Sn=,求证数列 an为等比数列。解 : ( 由, 得又, 即,得. (当 n1 时 ,得所以是首项,公比为的等比数列 . 例 4、, 令 bn=an+1-an(n=1,2- 求数列 bn的通项公式， (2求数列 nan的前 n项的和 Sn。解： I）因故bn 是公比为的等比数列，且II ）由注意到可得记数列的前 n 项和为 Tn，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 例 5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点 为， 且 过 点， 记 与 抛 物 线相 切 于的 直 线 的 斜 率 为， 求 ：。 设， 等 差 数 列的 任 一 项，其中是中的最大数，求的通项公式。解： 1）2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=3），T 中最大数. 设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解读几何的综合题，难度较大1）、 2）两问运用几何知识算出，解决3）的关键在于算出及求数列的公差。例 6数列中，且满足求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解： 1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，. 2）若，时，故3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。. 五、强化训练一）用基本量方法解题1、04 年浙江）已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= B ）A 4 B 6 C 8 D 10 二）用赋值法解题2、96 年）等差数列 an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为 C ）A 130 B 170 C 210 D 2603、01 年）设 an 是公比为q的等比数列，Sn是an的前n项和 , 若Sn 是等差数列，则q=_1_ 4、设数列 an 的前项的和Sn= 对于所有n1），且a4=54, 则a1=_2_三）用整体化方法解题5、00 年）已知等差数列an 满足a1+a2+a3+a101=0,则有 0 B a2+a1000 C a3+a99=0 D a51=51 6、02 年）若一个等差数列的前3 项和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为A） A 13 B 12 C 11 D 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 7、03 年上海）在等差数列an 中a5=3，a6=-2,a4+a5+ +a10=-49 四）用函数方法解题8、都在直线y=x+1 上”是“an为等差数列”的 B）A必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件9、0,Sn是an的前n项和，Sn取得最大值，则n=_9_. 10、,+-+=_153_ 五）用递推方法解题11、03 年全国）设 an是首项为1 的正项数列，且n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0, 求它的通项公式是_1/n12、 an-1 (n1, 则 an 的通项an=_a1=1。an=n2 13、04 年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 _3_，这个数列的前n项和的计算公式为_当n为偶数时，；当n为奇数时，14. K,a2k+1=a2k+3k,其中 k=1,2,3，。(1求 a3,a5； 2）求 an的通项公式解： 1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(12=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II a2k+1=a2k+3k= a2k1+(1k+3k,所以 a2k+1a2k1=3k+( 1k, 同理 a2k1a2k3=3k1+(1k1,a3a1=3+(1. 所以 (a2k+1a2k1+(a2k1a2k3+ +(a3a1 =(3k+3k1+ +3+( 1k+(1k1+ +(1, 由此得 a2k+1a1=(3k1+(1k1, 于是 a2k+1=a2k= a2k1+(1k=(1k11+(1k=(1k=1. an的通项公式为：当 n 为奇数时， an=当 n 为偶数时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页