第一章 集合与常用逻辑用语第一节集合第一节集合 基础知识基础知识基础知识基础知识自主学习自主学习自主学习自主学习热点命题热点命题热点命题热点命题深度剖析深度剖析深度剖析深度剖析思想方法思想方法思想方法思想方法感悟提升感悟提升感悟提升感悟提升最新考纲1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1集合的含义与表示(1)集合中元素的三个特性 性；性；无序性。(2)集合与元素的关系a属于A，记为；a不属于A，记为。确定互异aAaA(3)常见集合的符号 (4)集合的表示方法_；_；Venn图法。 自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集_N*或或_NNZQR列举法描述法2集合间的基本关系表示表示关系关系文字语言文字语言符号语言符号语言集合集合间的间的基本基本关系关系子集子集集合集合A中任何一个元素都是集合中任何一个元素都是集合B的的元素元素_或或_真子集真子集集合集合A是集合是集合B的子集，并且的子集，并且B中至少中至少有一个元素不属于有一个元素不属于A_或或_相等相等集合集合A中的任何一个元素都是集合中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合中的元素，集合B中的任何一个元素中的任何一个元素也都是集合也都是集合A中的元素中的元素AB且且BAAB空集空集空集是空集是_集合的子集集合的子集A空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集ABBA任何3.集合的基本运算集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的补集集合的补集符号符号表示表示ABAB若全集为若全集为U，则集合，则集合A的补的补集为集为_图形图形表示表示意义意义x|_x|_ UAx|_UAxA，或xBxA，且xBxU，且xA4.集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABA。(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABA。(3)补集的性质：A(UA) ；A(UA)_；U(UA)_。BAABUA判一判(1)集合x2x,0中实数x可取任意值。()解析错误。由元素的互异性知x2x0，即x0且x1。(2)任何集合都至少有两个子集。() 解析错误。只有一个子集。(4)若A0,1，B(x，y)|yx1，则AB。()解析错误。集合A是数集，集合B是点集。(5)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()解析正确。 练一练1(2015广东卷)若集合Mx|(x4)(x1)0，Nx|(x4)(x1)0，则MN()A1,4 B1，4C0 D解析由题意知集合M4，1，N4,1，M和N没有相同的元素，故MN。答案D2(2015课标全国卷)已知集合Ax|1x2，Bx|0x3，则AB()A(1,3) B(1,0)C(0,2) D(2,3)解析由题意，得ABx|1x2，Bx|x2m，且ARB，那么m的值可以是()A1 B2C3 D4解析Bx|x2m，RBx|x2m。又ARB，2m2，即m1，故选A。答案A4设A1,1,5，Ba2，a24，AB5，则实数a的值为()A3 B1C1 D1或3解析因为AB5，所以a25或a245。当a25时，a3；当a245时，a1，又a1时，B1,5，而此时AB1,55，故a1或3。答案D5设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为_。解析阴影部分是ARB。集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2。x|1x2 R热点命题热点命题 深度剖析深度剖析【例1】(1)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4B2C0D0或4考点一考点一 集合的基本概念【解析】由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4(a0不合题意舍去)。【答案】A1【规律方法】(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性。答案答案C (2)设集合A2,3，a22a3，集合B|a3|,2，已知5A，且5B，则a的值为_。解析由于5A，且A2,3，a22a3，a22a35，解得a2或a4。当a2时，B5,2，不符合条件5B，a2不符合题意，应舍去；当a4时，B1,2，符合条件5B，a4。4【例2】(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4考点二考点二 集合间的基本关系【解析】由x23x20得A1,2。又B1,2,3,4，满足ACB的集合C可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个。【答案】D (2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_。 (，4【规律方法】(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系。(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系。解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析。(3)当题目中有条件AB时，不要忽略A的情况。变式训练2(1)(2016临沂模拟)已知集合Ax|ax1，Bx|x210，若AB，则a的取值构成的集合是()A1 B1C1,1 D1,0,1解析由题意，得B1,1，因为AB，所以当A时，a0；当A1时，a1；当A1时，a1。又A中至多有一个元素，所以a的取值构成的集合是1,0,1。故选D。答案D (2)设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个C4个 D3个解析集合1,2,3的所有子集共有238(个)，集合2的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有826(个)。答案A(3)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1) D(1，)解析Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)，因为AB，画出数轴，如图所示，得c1。答案B 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度。角度一：离散型数集间的交、并、补运算1(2015天津卷)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合AUB()A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8考点三考点三 集合的基本运算解析由题意可知UB2,5,8，则AUB2,5。答案A答案D 角度二：连续型数集间的交、并、补运算3(2015浙江卷)已知集合Px|x22x0，Qx|11，集合Ax|x24x31x|x1或x1，Ax|x24x30x|1x3，UAx|x1或x3。答案C角度三：已知集合的运算结果求集合5设全集UMN1,2,3,4,5，MUN2,4，则N()A1,2,3 B1,3,5C1,4,5 D2,3,4解析画出Venn图，阴影部分为MUN2,4，N1,3,5。答案B 角度四：已知集合的运算结果求参数6已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_。解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)。()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立解析(1)对于命题：AB(AB)(AB)card(AB)card(AB)0d(A，B)0，所以“AB”是“d(A，B)0”的充分必要条件，故命题成立。对于命题：因为d(A，B)d(B，C)card(AB)card(AB)card(BC)card(BC)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(B)2card(AB)2card(BC)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，所以d(A，B)d(B，C)d(A，C)2card(B)card(AB)card(BC)card(AC)。又card(AB)(BC)card(AB)card(BC)card(ABC)，所以d(A，B)d(B，C)d(A，C)2card(B)card(AB)(BC)card(AC)card(ABC)。又card(B)card(AB)(BC)0，card(AC)card(ABC)0，所以d(A，B)d(B，C)d(A，C)，所以命题成立。故选A。答案A答案D S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升1种思想数形结合思想Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化。一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。3个注意点解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件。(2)注意元素的互异性。在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误。(3)防范空集。在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解。