一线三等角模型一. 一线三等角概念“一线三等角 ”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图” ， “三垂直 ” ， “弦图”等，以下称为 “一线三等角 ”。二. 一线三等角的分类全等篇DCABPDCBAPCABPD同侧锐角直角钝角CDPBAADPCBDPBCA异侧相似篇DCABPDCBAPCABPD同侧锐角直角钝角DCPBACDPBADPCAB异侧三、 “一线三等角 ”的性质1. 一般情况下，如图 3-1 ，由1=2=3，易得 AEC BDE.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则 AEC BDE.3. 中点型 “一线三等角 ”如图 3-2 ，当1=2=3，且 D 是 BC 中点时， BDE CFD DFE.4. “中点型一线三等角“的变式 ( 了解)如图 3-3 ，当1=2 且时，点 O 是ABC 的内心 . 可以考虑构1902BOCBAC造“一线三等角 ”.如图 3-4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，这是内心的性质，反之未必是内心.1902BOCBAC在图 3-4 （右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是PEF 的旁心 .5.“一线三等角 ”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、 “一线三等角 ”的应用1.“一线三等角 ”应用的三种情况 .a. 图形中已经存在 “一线三等角 ” ，直接应用模型解题；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - b. 图形中存在 “一线二等角 ” ，不上 “一等角 ”构造模型解题；c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角 ”构造模型解题 .体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角 ”来解题 .2. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究 “线”的特殊性如图 3-6 ，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握 .解题示范名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 1 如图所示，一次函数与坐标轴分别交于A、B 两点，点P 是线段AB 4yx上一个动点（不包括A、B 两端点），C 是线段OB 上一点， OPC=45 ，若 OPC 是等腰三角形 ,求点P 的坐标 .例 2 如图所示，四边形ABCD 中， C=90 ,ABD= DBC=22.5 ，AEBC 于E， ADE=67.5 ，AB=6, 则 CE= .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 3 如图，四边形ABCD 中,ABC= BAD=90 ， ACD=45 ，AB=3 ，AD=5. 求BC 的长 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 4 如图， ABC 中,BAC=45 ，AD BC，BD=2 ，CD=3, 求 AD 的长 .一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少 .巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例5 如图，在 ABC 中， BAC=135 ，AC= AB, ADAC 交BC 于点D，若AD = 2， 求ABC的面积2当然有 45 或 135 等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 大练身手：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D 是线段 AB上一点， CD交y轴于 E，且 SBCE2SAOB（1）求直线AB的解析式；（2）求点 D 的坐标，猜想线段CE与线段 AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）若 F为射线 CD上一点，且 DBF45 ，求点 F的坐标例 8：如图，直线yx2 与y轴交于点 C，与抛物线yax2交于 A、B两点（ A 在 B 的左侧） ，BC2AC，点 P是抛物线上一点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P在直线 AB的下方，求点P到直线 AB的距离的最大值；（3）若点 P在直线 AB的上方，且 BPC 45 ，求所有满足条件的点P的坐标yEDCAOBxBxyCAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 练 1：.如图，抛物线的顶点为C（1，1） ，且经过点A、点 B 和坐标原点O，点 B 的横坐标为3（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 为抛物线上的一点，且BOD 的面积等于 BOC的面积，请直接写出点D 的坐标；（3）若点 E的坐标为（ 0，2） ，点 P是线段 BC上的一个动点，是否存在点P，使得OPE 45 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由BACOxyE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 课后作业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线 y= -x+5 上一点，若 APB=45 ，求点 P 的坐标在四边形 ABCD 中， ABC= BAD=90 ， ACD=45 ， AB=3,AD=4, 求 AC 的长 .如图，正方形ABCD 中，点 E,F,G 分别在 AB,BC,CD上， EFG 为等边三角形，求证：BE+GC=BC3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 如图， ABCDBA,且 AC=BC,求证:CD=2AB.:2如图，在四边形ABCD中， ABC90 ，AB3，BC4，CD10，DA，求 BD 的长55如图，点 A 是反比例（ X0）图形上一点，点B 是 X 轴正半轴上一点，点C 的坐标为（0，2） ，点 ABC 是等边三角形时，求点A 的坐标 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 如图，抛物线yax2bx4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧），与y轴交于点C，直线 l：yxm 经过点 A，与抛物线交于另一点D（5，） ，点 P是直线 l 上方的1272抛物线上的动点，连接PC 、PD（1）求抛物线的解析式；（2）当 PCD为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设 PCD的面积为 S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由yxOABCDl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1.如图 1, 已知直线 y=kx与抛物线交于点 A（3，6）.（1）求直线 y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点 P为抛物线第一象限内的动点, 过点 P作直线 PM,交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合） , 交直线 OA于点 Q, 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 , 交 y 轴于点 N. 试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是, 求出这个定值, 如果不是 ,说明理由；（3）如图 2, 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点, 点 E在线段 OA 上（与点O、A 不重合）, 点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点, 且满足 BAE=BED=AOD. 继续探究：m 在什么范围时 , 符合条件的E点的个数分别是1 个、 2 个？OxyABED图 2图 1AxyPQMNO3222742xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 如图，直线AC：y2x2 与 x 轴交于点 A，与y轴交于点 C，抛物线yax2bxc（a0）过 A、C两点，与 x 轴交于另一点B（B在 A 的右侧），且 OBCOCA （1）求抛物线的解析式；（2）点 D 为抛物线上一点，DCA45 ，求点 D 的坐标；BAOCxy备用图BAOCxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -