指数与对数运算1. 根式的性质（1）当 n 为奇数时，有aann（2）当 n 为偶数时，有)0( ,)0( ,aaaaaann（3）负数没有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零2. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂：)(.Nnaaaaann(2) 零指数幂)0( 10aa (3)负整数指数幂).0(1Npaaapp(4) 正分数指数幂) 1, 0(nNnmaaanmnm且(5) 负分数指数幂nmnmaa1) 1,0(nNnma且(6)0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂无意义3. 有理指数幂的运算性质(1),0( ,Qsraaaasrsr (2), 0( ,)(Qsraaarssr (3),0, 0( ,)(Qrbaaaabsrr4.对数运算性质：如果0,1,0,0,aaNM则1）logloglogaaaMNMN；2）)(loglogRnMnMana；3）logloglogaaaMMNN。4）对数换底公式：常用对数换底公式：lglog(0,1,0)lgaNNaaNa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）1、的值是（）A、B、1 C、D、2 2、设 a，b，c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么（）A、 = +B、 = +C 、 = +D、 = +3、若 a1，b1，p=，则 ap等于（）A、1 B、b C、logba D、alogba 4、设 x=+，则 x 属于区间（）A、 （2，1）B、 （1，2）C、 （3，2）D、 （2，3）5、若32x+9=10?3x，那么x2+1的值为（）A、1 B、2 C、5 D、1 或 5 6、已知 2lg（x2y）=lgx+lgy ，则 的值为（）A、1 B、4 C、D、 或 4 7、方程 log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C 、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7?lg5=0的两根为 、 ，则 ? 的值是（）A、lg7?lg5B、lg35 C、35 D、二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）9、 （2n+1）2?22n14n=_；=_；=_10、（3+2） =_； log89?log2732=_；（lg5）2+lg2?lg50=_11、 若f （x） =4x， 则 f1（4x） =_，若f （x） =，且f （lga） =，则a=_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 12、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是_ 13、方程xlgx=10的所有实数根之积是_14、不查表，求值：lg5lg+lg23log321=_15、不查表求值：+102+lg2=_三、解答题（共 7 小题，满分 0 分）16、若13aa，求1122aa及442248aaaa的值；17、 （1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445（2）已知log627=a，试用a表示log181618、化简：+19、若 、是方程lg2xlgx22=0的两根，求log+log的值20、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0；（2）32x+5=5?3x+2+2；21、解关于 x 的方程（1）log（x+a）2x=2（2）log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1） ；（3）+=6；（4）lg（ax1）lg（x3）=122、若方程log2（x+3）log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围23、已知a0，a1 ，试求使方程有解的 k 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 答案与评分标准一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）1、的值是（）A、B、1 C、D、2 考点：对数的运算性质。分析： 根据，从而得到答案解答： 解：故选 A点评： 本题考查对数的运算性质2、设 a，b，c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么（）A、 = +B、 = +C、 = +D、 = +考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析： 利用与对数定义求出a、b、c 代入到四个答案中判断出正确的即可解答： 解：由 a，b，c都是正数，且 3a=4b=6c=M，则 a=log3M，b=log4M，c=log6M代入到 B中，左边 = =，而右边 =+=，左边等于右边， B正确；代入到 A、C、D 中不相等故选 B点评： 考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力3、若 a1，b1，p=，则 ap等于（）A、1 B、b C、logba D、alogba 考点：指数式与对数式的互化。专题：计算题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键再利用对数式和指数式之间的关系进行求解解答： 解：由对数的换底公式可以得出p=loga（logba） ，因此， ap等于 logba故选 C点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力4、设 x=+，则 x 属于区间（）A、 （2，1）B、 （1，2）C、 （3，2）D、 （2，3）考点：对数的运算性质；换底公式的应用。专题：计算题；函数思想。分析： 由题意把两个对数换成以为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=的单调性，求出 x 的范围解答： 解：由题意， x=+=+=； 函数 y=在定义域上是减函数，且， 2x3故选 D点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值5、若 32x+9=10?3x，那么 x2+1的值为（）A、1 B、2 C、5 D、1 或 5 考点：有理数指数幂的运算性质。专题：计算题；换元法。分析： 由题意可令 3x=t， （t0） ，原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1 中求值即可解答： 解：令 3x=t， （t0） ，原方程转化为： t210t+9=0，所以 t=1 或 t=9，即 3x=1或3x=9 所以 x=0或 x=2，所以 x2+1=1或 5 故选 D 点评： 本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单6、已知 2lg（x2y）=lgx+lgy ，则 的值为（）A、1 B、4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 C、D、 或 4 考点：对数的运算性质。分析： 根据对数的运算法则， 2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy） ，可知： x2+4y24xy=xy，即可得答案解答： 解： 2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy） ， x2+4y24xy=xy （xy） （x4y）=0 x=y（舍）或 x=4y =故选 C点评： 本题主要考查对数的运算性质7、方程 log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。专题：数形结合。分析：方程 log2（x+4）=2x的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+4） ，y2=2x的图象解答： 解：采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+4） ，y2=2x的图象，画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根，故选 C点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质8、如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7?lg5=0的两根为 、 ，则 ? 的值是（）A、lg7?lg5B、lg35 C、35 D、考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。专题：计算题。分析： 由题意知， lg ，lg 是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7?lg5=0 的两根，依据根与系数的关系得 lg +lg=（lg7+lg5） ，再根据对数的运算性质可求得? 的值解答： 方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7?lg5=0的两根为 、 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 lg ，lg 是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7?lg5=0的两根， lg +lg=（lg7+lg5） ， lg =lg35， ? 的值是故选 D点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7?lg5=0的两根为 、 ，则 ?=lg7?lg5，导致错选 A二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）9、 （2n+1）2?22n14n=212n；=；=考点：有理数指数幂的运算性质。分析： 利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2?22n14n，用对数性质化简后两个代数式解答： 解： （2n+1）2?22n14n=22n+22n12n=212n；故答案为：点评： 本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题10、（3+2）=2；log89?log2732=； （lg5）2+lg2?lg50=1考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析： 第一个式子：找出和的联系，利用对数的运算法则求解即可；第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到 8 和 32 可化为 2 的幂的形式，9 和 27 化为 3 的幂的形式第三个式子： 2=，50=510 ，都转化为 lg5 的形式，可得出结果解答：解：=，所以=2；log89?log2732=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 （lg5）2+lg2?lg50=（lg5）2+lg?lg5 10=（lg5）2+（1lg5）?（1+lg5）=1 故答案为： 2；1 点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查在运算时，要充分利用对数的运算法则11、若 f（x）=4x，则 f1（4x）=x，若 f（x）=，且 f（lga）=，则 a=10 或考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。专题：计算题。分析： （1）本题可由原函数f（x）的解析式先求出反函数f1（x）的解析式，最后将自变量取值4x代入反函数 f1（x）的解析式，结合对数函数运算性质可得答案，（2）由自变量求解函数值可得x 与 a 的等式，进而用自变量x 表示 a后代入函数解析式，从而可得仅含变量 x 的方程，由此解出x 的值解答： （1）由 f（x）=4x得 f1（x）=log4x，所以 f1（4x）=log44x=x，故答案为 x （2）令 x=lga得a=10x所以 f（lga）=f（x）=，故 x2 x= 解得 x=1或 ，代入 a=10x，所以 a=10或故答案为 10 或点评：第一小题主要考查反函数知识和对数函数的运算性质，是对基础知识的考查， 第二小题在考查函数值的基础之上， 主要考查对数与指数之间的互化，以及指数幂运算性质， 其中包括对解一元二次方程等基础的考查，难度较大12、方程（ 4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是0考点：指数函数综合题。分析：本题形式可以观察出，此方程是一个复合函数型的方程，需要先解外层的方程，求出内层的函数值，再解内层方程，求出方程的解，并写成解集的形式解答： 解：令 t=2x+2x0，则 4x+4x=t22 原方程可以变为 t22t=0，故 t=2，或者 t=0（舍）故有 2x+2x=2即（2x）222x+1=0 （2x1）2=0 2x=1 即 x=0 故方程的解集为 0 故应填 0 点评：本题考查解指数与一元二次函数复合的方程，所用的方法为换元法， 此类方程的特点是由外而内，逐层求解13、方程 xlgx=10的所有实数根之积是1考点：对数的运算性质。分析： 方程两边取对数，化简方程，然后求解即可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 解答： 解：方程 xlgx=10 的两边取常用对数，可得lg2x=1， lgx= 1，所以 x=10或 x=实数根之积为1故答案为： 1 点评： 本题考查对数的运算性质，是基础题14、不查表，求值： lg5lg+lg23log321=3考点：对数的运算性质。分析： 根据对数运算法则且lg5=1lg2，可直接得到答案解答： 解： lg5lg+lg23log321 =1lg2 lg2+ lg222=0 故答案为： 0点评： 本题主要考查对数的运算法则，属基础题15、不查表求值：+102+lg2=190考点：指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题。分析： 根据换底公式和对数的定义化简得到即可求出值解答：解：+102+lg2=21022=9 2200=193 故答案为 193点评： 考查学生灵活运用换底公式的能力，运用指数函数和对数定义的能力三、解答题（共 7 小题，满分 0 分）16、 （1）已知 log310=a，log625=b，试用 a，b 表示 log445（2）已知 log627=a，试用 a表示 log1816考点：换底公式的应用；对数的运算性质。分析： （1） 先用换底公式用 a 表示 lg3， 再用换底公式化简log625=b， 把 lg3 代入求出 lg2， 再化简 log445，把 lg3、lg2 的表达式代入即可用a，b 表示 log445（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出 lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子解答： 解： （1） log310=a， a=， log625=b=， lg2=，log445=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 （2） log627=a=， lg3=， log1816=点评： 本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想17、化简：+考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算。专题：计算题。分析：利用立方差，立方和公式，把3 个分式的分子分别化成因式乘积的形式，然后化简，即可得到结果解 答 ： 解 ：+=+=点评： 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题18、若 、是方程 lg2xlgx22=0 的两根，求 log+log的值考点：对数的运算性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系。专题：计算题。分析： 利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx 的二次方程，利用根与系数的关系得lg +lg =2，lg ?lg =2；利用换底公式将待求的式子用以10 为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解答： 解：原方程等价于lg2x2lgx2=0 ，是方程的两个根所以 lg +lg=2，lg ?lg =2 所以=即 log+log= 3 点评： 本题考查对数的运算法则、考查二次方程根与系数的关系、考查对数的换底公式19、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0；（2）32x+5=5?3x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 专题：计算题；转化思想；换元法。分析： （1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可解答： 解： （1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0 化为 logx+2（4x+5）2logx+2（4x+5）11=0 令 t=logx+2（4x+5）上式化为：当 logx+2（4x+5）=1 时解得 x=1 或 x=都不符合题意，舍去当 logx+2（4x+5）=2时有 x2=1，解得 x=1（舍去） ，x=1 （2）32x+5=5?3x+2+2 令 t=3x+2上式化为 3t25t2=0解得 t= （舍去） ，t=2 即3x+2=2 x+2=log32所以 x=点评：本题考查对数的运算性质，有理指数幂的运算，考查学生换元法，转化思想，注意方程根的验证，是中档题20、解关于 x 的方程（1）log（x+a）2x=2（2）log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1） ；（3）+=6；（4） lg（ax1）lg（x3）=1考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：利用等价转化思想将这些方程都转化为与之等价的代数方程，通过求解代数方程达到求解该方程的目的注意对数中真数大于零的特点（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解答：解： （1）该方程可变形为 2x= （x+a）2，即 x=1a（当 a时） ，当 x=1a时，x+a=1 0，故舍去因此该方程的根为x=1a+（当 a时） ，当 a 时，原方程无根（2）该方程可变形为 log4=log4，即，整理得 x27x=0，解出 x=0或者 x=7（不满足真数大于 0，舍去） 故该方程的根为x=0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 （ 3 ） 该 方 程变 形 为=6 ， 即， 令， 则可得出t+， 解得t=3 2 =，因此 x=2该方程的根为 2 （4）原方程等价于，由得出 ax1=10x30，该方程当 a=10 时没有根，当 a10 时，x=，要使得是原方程的根，需满足ax10，且 x30解出 a （ ，10） 因此当 a （ ，10）时，原方程的根为x=，当 a （， 10，+ ）时，原方程无根点评：本题考查代数方程的求解，注意方程的等价变形，注意对数形式方程的真数大于零的特征，注意对所求的根进行检验，对含字母的方程要注意讨论21、若方程 log2（x+3）log4x2=a的根在（ 3，4）内，求 a 的取值范围考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题；函数思想。分析：应用对数的运算性质， log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=的值域，通过的取值范围，确定a 的取值范围解答： 解： 3x4，方程即： log2（x+3）log2x=a，=a =1 ， 1， 01 ， a2 点评： 本题体现函数与方程的数学思想，应多加注意22、已知 a0，a1 ，试求使方程有解的 k 的取值范名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 围考点：对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题。分析： 由题设条件可知，原方程的解x 应满足，当（1） ， （2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出 k 的取值范围解答： 解：由对数函数的性质可知，原方程的解 x 应满足当（1） ， （2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得 2kx=a（1+k2） （4）当 k=0时，由 a0 知（4）无解，因而原方程无解当 k0 时， （4）的解是把（5）代入（ 2） ，得解得： k1 或 0k1综合得，当 k 在集合（ ，1） （0，1）内取值时，原方程有解点评： 解题时要注意分类讨论思想的灵活运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wdnah；sllwyn；xintrl；yhx01248；pingfanziqun；yzhb；wdlxh；zlzhan；caoqz115588 ；wodeqing；gongjy。 （排名不分先后）菁优网2011 年 10 月 20 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -