2.42.4平面向量的坐标平面向量的坐标1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示方法,会用有序实数对表示向量的坐标.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法及数乘向量的运算.3.掌握向量平行的坐标表示,并能灵活求解有关问题.123 1.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的任意向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).(2)向量与坐标的关系在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.在解决很多问题时,常常需要把自由向量移到原点,我们把向123 名师点拨1.有序实数对(x,y)在平面直角坐标系中有了双重意义,它既可以表示一个点,也可以表示一个向量.注意把点的坐标与向量的坐标区分开来.2.相等向量的坐标是相同的,但其起点、终点的坐标可以不同.3.在平面直角坐标系内,如果向量的起点不在原点,可以将其平移到以原点为起点的位置上,再根据平移后的终点坐标写出这个向量的坐标.也可以用终点相应坐标减去起点相应坐标,就得到了向量的坐标.123 A.(-2,3) B.(-2,-2) C.(3,3)D.(3,-2)答案:AA.点A的坐标是(-2,4)B.点B的坐标是(-2,4)C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).答案:D1232.平面向量线性运算的坐标表示 123【做一做2-1】 若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b+a的坐标是()A.(3,-4)B.(-3,4) C.(3,0)D.(-3,-4)解析:2b+a=(0,-2)+(3,2)=(3,0).答案:C答案:B 1233.向量平行的坐标表示若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.定理:若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.向量平行(共线)的两种表达形式:(1)几何形式:ab(b0)a=b(R,b0);(2)坐标形式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),abx1y2-x2y1=0.向量平行的坐标特点可以简记为:两向量的横纵坐标交叉之积的差为0.【做一做3-1】 下列向量与a=(1,3)共线的是() A.b=(1,2)B.c=(-1,3)C.d=(1,-3)D.e=(2,6)答案:D123【做一做3-2】 已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是()A.-2 B.0C.1D.2解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2).(a+b)(4b-2a),3(4x-2)-(1+x)6=0.x=2.答案:D题型一题型二题型三题型四 【例1】 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,点D为AC的中点。分析:表示出各点的坐标用终点的相应坐标减去始点的相应坐标相应向量的坐标解:如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),即题型一题型二题型三题型四反思1.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思向量的加减法及实数与向量的乘积都可以用坐标来进行运算,使得向量运算完全代数化,数与形紧密地结合起来.具体方法主要有:(1)直接法:即直接利用向量的坐标运算公式进行坐标运算.(2)方程法:先设出我们所要求的向量的坐标,再通过列方程(组)求出坐标.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 如图,已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q的坐标.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量,并根据两个向量平行的坐标表示来判断或证明向量是否平行.即先求出a=(x1,y1),b=(x2,y2),若题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 设点A,B,C,D的坐标依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形ABCD为()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形答案:D 题型一题型二题型三题型四【例4】已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量ka-b与a+3b平行?它们是同向还是反向?分析先用坐标表示向量ka-b与a+3b,再由向量平行的坐标表示求出k的值. 反思解决向量共线的问题时,常常根据向量平行的坐标表示,将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.题型一题型二题型三题型四解析:(方法一)a=(1,2),b=(,1),a+2b=(1,2)+2(,1)=(1+2,4),2a-2b=2(1,2)-2(,1)=(2-2,2).(a+2b)(2a-2b),题型一题型二题型三题型四答案:A 题型一题型二题型三题型四 错因分析无论两向量所在的直线平行还是重合,两向量都是平行的,但若两线段平行,则它们所在的直线必不重合.12345答案:D 123452已知a=(2,-3),b=(4,x2-5x),且ab,则x=()A.2B.3C.6D.2或3x2-5x+6=0,解得x=2或3.答案:D123453.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=.解析:a+b=(1,2)+(2,3)=(2+,3+2),且a+b与c共线,-7(2+)=-4(3+2),解得=2.答案:2123454.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底将a分解成a1e1+a2e2(a1,a2R)的形式为.解析:设a=a1e1+a2e2(a1,a2R),则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),12345