大哉数学之为用大哉数学之为用1959年年5月，华罗庚教授在人民日报月，华罗庚教授在人民日报上发表了大哉数学之为用，精彩地叙上发表了大哉数学之为用，精彩地叙述了数学的各种应用：宇宙之大、粒子之述了数学的各种应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。很难比这篇文章写得更数学的重要贡献。很难比这篇文章写得更全面了。下面只举些全面了。下面只举些60年代以后数学的若年代以后数学的若干重大应用，以见一斑。我们会看到，有干重大应用，以见一斑。我们会看到，有些重要问题的解决，数学方法是唯一的，些重要问题的解决，数学方法是唯一的，也就是说，除数学外，用任何其他方法、也就是说，除数学外，用任何其他方法、仪器、手段都会一筹莫展。仪器、手段都会一筹莫展。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过此平均值以求出整个衰也随之变化。能否通过此平均值以求出整个衰减系统的分布呢？人们利用数学中的减系统的分布呢？人们利用数学中的Radon变变换解决了此问题，换解决了此问题，Radon变换已成为变换已成为CT理论的理论的核心。首创核心。首创CT理论的理论的AMCormark（美）（美）及第一台及第一台CT制作者制作者CNHounsfield（英）（英）因而荣获因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。年诺贝尔医学和生理学奖。另一项高技术是另一项高技术是HHauptman与与JKarle合作，发明了测定分子结构的新方法，利用它合作，发明了测定分子结构的新方法，利用它可以直接显示被可以直接显示被X射线透射的分子的立体结构。射线透射的分子的立体结构。人们应用此方法，并结合利用计算机，已测出人们应用此方法，并结合利用计算机，已测出包括维生素、激素等数万种分子结构，推动了包括维生素、激素等数万种分子结构，推动了有机化学、药物学和生物学等的发展；二发明有机化学、药物学和生物学等的发展；二发明人分享了人分享了1985年的诺贝尔化学奖。由此可见在年的诺贝尔化学奖。由此可见在此二项技术中数学的关键作用。此二项技术中数学的关键作用。4 4HardyHardy的故事的故事 GHHardy（18771947）是英国著是英国著名的数学家，他推崇数学的名的数学家，他推崇数学的“纯粹纯粹”和和“美美”，认为数学是一种永久性的艺术品。他从不谈认为数学是一种永久性的艺术品。他从不谈（甚至轻视）数学的应用，他写道：（甚至轻视）数学的应用，他写道：“我从不我从不干任何有用的事情，我的任何一项发现都没干任何有用的事情，我的任何一项发现都没有，或者说不可能给这个世界的安逸带来最有，或者说不可能给这个世界的安逸带来最细微的变化细微的变化他们（指某些数学家）的工他们（指某些数学家）的工作，也和我的同样无用作，也和我的同样无用”。但他万万没有想到，但他万万没有想到，1908年他发表的年他发表的一篇短文却在群体遗传学中得到重要应用。一篇短文却在群体遗传学中得到重要应用。那篇文章可直观地解释如下：人的某种遗那篇文章可直观地解释如下：人的某种遗传学病（如色盲），在一群体中是否会由传学病（如色盲），在一群体中是否会由于一代一代地遗传而患者越来越多？于一代一代地遗传而患者越来越多？20世世纪初有些生物学家认为确会如此，如果这纪初有些生物学家认为确会如此，如果这样，那么势必后代每个人都会成为患者。样，那么势必后代每个人都会成为患者。Hardy利用简单的概率运算，指出这种说利用简单的概率运算，指出这种说法是错误的。他证明了：患者的分布是平法是错误的。他证明了：患者的分布是平稳的，不随时间而改变。差不多同时，德稳的，不随时间而改变。差不多同时，德国的一位医师国的一位医师Weinberg也得到同样的结也得到同样的结论。这一发现被称为论。这一发现被称为HardyWeinberg定律。定律。5 5高超的数学工具高超的数学工具 在宏观经济中的应用在宏观经济中的应用 宏观经济学研究经济综合指标的控制，例如宏观经济学研究经济综合指标的控制，例如研究失业、价格水平以及收支平衡的控制等。而研究失业、价格水平以及收支平衡的控制等。而微观经济学则针对买方和卖方，讨论消费与生产微观经济学则针对买方和卖方，讨论消费与生产中的选择问题。中的选择问题。1972年以来，承担调整美国经济年以来，承担调整美国经济的政府机构联邦储备局，以最优控制方法，特别的政府机构联邦储备局，以最优控制方法，特别是线性二次方法为背景，提出了包括失业与通货是线性二次方法为背景，提出了包括失业与通货膨胀平衡的政策建议。膨胀平衡的政策建议。1973年，商业周刊登了一篇文章，年，商业周刊登了一篇文章，概述了最优控制在经济学中的潜在作用，概述了最优控制在经济学中的潜在作用，文章说：文章说：“你如何努力地及时地刹住过于你如何努力地及时地刹住过于繁荣的经济，而又不至于滑入灾难性衰退繁荣的经济，而又不至于滑入灾难性衰退的危险之中？的危险之中？美国的决策者们恰好面美国的决策者们恰好面临这种情形，而从经济学家那里极少得到临这种情形，而从经济学家那里极少得到明确的建议明确的建议对这种两难的情况，可从对这种两难的情况，可从最优控制理论得到方法上的帮助最优控制理论得到方法上的帮助”。 利用控制理论和梯度法，人们求解了南利用控制理论和梯度法，人们求解了南朝鲜经济的最优计划模型（参考朝鲜经济的最优计划模型（参考Econometrica，Vol.33，May，1970，D.Kendrick等等的文章）。美国、加拿大、智利等也有类似的文章）。美国、加拿大、智利等也有类似的经济模型。的经济模型。 6 6、提高产品质量、提高产品质量 数字在微观经济学中之应用数字在微观经济学中之应用 数理统计学的应用极为广泛，它的优势是数理统计学的应用极为广泛，它的优势是从有限次的观察或实验中提取重要的信息。从有限次的观察或实验中提取重要的信息。数理统计中的篇章数理统计中的篇章“实验设计实验设计”、“质量控制质量控制（QC）”、“多元分析多元分析”等对提高产品的质量等对提高产品的质量往往能起到重要的作用。往往能起到重要的作用。一家美国电视机制造公司被日本人买下，一家美国电视机制造公司被日本人买下，这家公司的废品率非常高。通过运用这家公司的废品率非常高。通过运用QC后，后，废品率下降到废品率下降到2。下面的例子说明美国电话。下面的例子说明美国电话电报公司如何使用电报公司如何使用QC以提高质量。问题是关以提高质量。问题是关于自动化装配线，这一装配线由几个机件组于自动化装配线，这一装配线由几个机件组成，其生产率出奇的低，而人们又找不出原成，其生产率出奇的低，而人们又找不出原因。因。QC方法首先是收集数据以确定失败模式，方法首先是收集数据以确定失败模式，很快找出问题的症结是生产线上所用的塑料很快找出问题的症结是生产线上所用的塑料成分的尺度变化太大；这些塑料部件过分弯成分的尺度变化太大；这些塑料部件过分弯曲；金属元件间的焊接点过厚，使机件运行曲；金属元件间的焊接点过厚，使机件运行阻塞。经过一年的改进，生产率增加阻塞。经过一年的改进，生产率增加121，工作时间减少工作时间减少61，产品成功率从，产品成功率从90增到增到98%。一般地，某产品的质量依赖于若干个因素一般地，某产品的质量依赖于若干个因素（原料、工艺时间等等），每一因素又有若干（原料、工艺时间等等），每一因素又有若干种可能的选择，如何挑出最优的选择搭配以求种可能的选择，如何挑出最优的选择搭配以求获得最佳的产品，是统计实验设计（获得最佳的产品，是统计实验设计（SED）的）的主要研究问题。主要研究问题。SED有一段发展史，有一段发展史，20年代，年代，RAFisher在农业中运用在农业中运用SED，取得前所未，取得前所未有的成功。有的成功。20年代中叶蒂皮特运用年代中叶蒂皮特运用SED于棉纺工业，随后又用于化学和制药工业。于棉纺工业，随后又用于化学和制药工业。50年代，美国戴明把年代，美国戴明把SED介绍到日本，介绍到日本，对日本制造业产生很大影响，日本工程师对日本制造业产生很大影响，日本工程师田口用此法以减小产品性能异性从而提高田口用此法以减小产品性能异性从而提高产品质量。日本工业广泛运用统计质量控产品质量。日本工业广泛运用统计质量控制，后又发展成全面质量管理，这项措施制，后又发展成全面质量管理，这项措施大大提高了日本产品的质量，在国际上最大大提高了日本产品的质量，在国际上最有竞争力，引起了巨大的反响。有竞争力，引起了巨大的反响。80年代，年代，许多美国工业公司通过田口把统计方法用许多美国工业公司通过田口把统计方法用到设计和制造中，产品质量不断地得以提到设计和制造中，产品质量不断地得以提高。高。7 7飞机制造飞机制造 制造业中广泛地用到数学，今以飞机制造业中广泛地用到数学，今以飞机为例，设计师必须考虑结构强度与稳定性，为例，设计师必须考虑结构强度与稳定性，这是用有限元来分析的，而机翼的振动情这是用有限元来分析的，而机翼的振动情况则需解特征值问题；为了使飞机省油与况则需解特征值问题；为了使飞机省油与提高速度必需找到一种最佳机翼和整个机提高速度必需找到一种最佳机翼和整个机体的形状；如何为飞行员选择最优控制参体的形状；如何为飞行员选择最优控制参数，也是必须考虑的问题。数，也是必须考虑的问题。飞机设计在极大程度上以计算为基础，飞机设计在极大程度上以计算为基础，人们研究描绘机翼和整个机体附近气流的人们研究描绘机翼和整个机体附近气流的方程。工程设计和制造工艺主要靠计算机方程。工程设计和制造工艺主要靠计算机辅助设计（辅助设计（CAD）和计算机辅助制造）和计算机辅助制造（CAM）两大工具，而这两者又都以数学）两大工具，而这两者又都以数学为理论基础。计算流体力学可以帮助人们为理论基础。计算流体力学可以帮助人们设计新的飞行器。数学模型已代替了许多设计新的飞行器。数学模型已代替了许多的实验，如风洞实验，既便宜、省时，又的实验，如风洞实验，既便宜、省时，又有适用性、安全性。有适用性、安全性。以前利用风洞设计飞机某一部件，若要以前利用风洞设计飞机某一部件，若要改变某一部位，必须在机械车间建一模型；改变某一部位，必须在机械车间建一模型；而今天设计一数学模型，只要通过键盘打进而今天设计一数学模型，只要通过键盘打进新的参数即可。自动导航与自动着陆系统是新的参数即可。自动导航与自动着陆系统是根据卡尔曼滤波的方法设计的，而后者主要根据卡尔曼滤波的方法设计的，而后者主要又是数学。在涡轮机、压缩机、内燃机、发又是数学。在涡轮机、压缩机、内燃机、发电机、数据存储磁盘、大规模集成电路、汽电机、数据存储磁盘、大规模集成电路、汽车车身、船体等的设计中，也都用到了类似车车身、船体等的设计中，也都用到了类似的先进数学设计方法。的先进数学设计方法。8 8太阳系是稳定的吗？太阳系是稳定的吗？ 地球的前途如何？是一个虽然遥远却地球的前途如何？是一个虽然遥远却非常有趣而重要的问题。将来太阳系是否非常有趣而重要的问题。将来太阳系是否会保持现状？是否有某行星脱离太阳系？会保持现状？是否有某行星脱离太阳系？行星间是否会碰撞？数学证明，太阳系在行星间是否会碰撞？数学证明，太阳系在相当长时间内是稳定的，至少相当长时间内是稳定的，至少1010亿年内如亿年内如此。科学家还用计算模拟以研究恒星消亡此。科学家还用计算模拟以研究恒星消亡过程。过程。 太阳最后变成一颗白矮星；但一颗质太阳最后变成一颗白矮星；但一颗质量约为量约为8-10倍于太阳的恒星则会发生超新倍于太阳的恒星则会发生超新星爆炸：由于热源枯竭而收缩到一个小城星爆炸：由于热源枯竭而收缩到一个小城市大小，密度达到原来的市大小，密度达到原来的100万亿倍。这万亿倍。这些物质产生巨大的刚性反弹而爆炸，恒星些物质产生巨大的刚性反弹而爆炸，恒星外壳被炸掉而剩下的残余成为中子星。天外壳被炸掉而剩下的残余成为中子星。天文学是数学的重要用武场所，文学是数学的重要用武场所，1846年勒维年勒维耶通过计算在笔尖上发现海王星，在科学耶通过计算在笔尖上发现海王星，在科学史上传为佳话。史上传为佳话。在多体问题的研究中，由于初始条件不在多体问题的研究中，由于初始条件不同，多体系统的运动或表现为规则的，或表同，多体系统的运动或表现为规则的，或表现为混沌的。行星沿椭圆运动是规则运动的现为混沌的。行星沿椭圆运动是规则运动的例子，而小行星在例子，而小行星在Kirkwook窗口的运动是窗口的运动是混沌运动的例子：与木星的共振相互作用导混沌运动的例子：与木星的共振相互作用导致偏心率随机的变化，有时朝这一方向，有致偏心率随机的变化，有时朝这一方向，有时朝另一方向；无规则变化的偏心率可能变时朝另一方向；无规则变化的偏心率可能变得很大，这时小行星便可能陨落，例如落到得很大，这时小行星便可能陨落，例如落到火星上。火星上。傅立叶转换傅立叶转换( (FastFouierTransform) )上世纪上世纪6060年年代，电子计算器的技术也达到一定的水准，足代，电子计算器的技术也达到一定的水准，足以快速处理大量资料。以快速处理大量资料。19651965年，年，Cooler和和Tukey发表发表“一个复数傅立叶级数之机械计算算法则一个复数傅立叶级数之机械计算算法则”论文，改进了离散傅立叶转换的演算，提出论文，改进了离散傅立叶转换的演算，提出了快速傅立叶转换了快速傅立叶转换( (FastFouierTransform) )算法。算法。 它的价值在于使用更快的计算方式来节它的价值在于使用更快的计算方式来节省计算器的时间，降低了数字讯号处理中乘省计算器的时间，降低了数字讯号处理中乘法的运算量，使得更多更复杂的讯号得以快法的运算量，使得更多更复杂的讯号得以快速的处理，改善了数字讯号不能实时处理的速的处理，改善了数字讯号不能实时处理的问题，为数字讯号的实时处理带来了希望，问题，为数字讯号的实时处理带来了希望，因此，快速傅立叶转换因此，快速傅立叶转换FFTFFT是数字讯号处理是数字讯号处理发展史上的一个重要里程碑。数字讯号处理发展史上的一个重要里程碑。数字讯号处理从此随着数字电子计算器和集成电路的发展从此随着数字电子计算器和集成电路的发展结合，这就是数字讯号处理器的前身。结合，这就是数字讯号处理器的前身。 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29