2.三角形的内角和与外角和1.1.了解并掌握三角形的内角和等于了解并掌握三角形的内角和等于180180，理解直角三角形两，理解直角三角形两锐角互余的性质锐角互余的性质.(.(重点重点) )2.2.掌握三角形外角的两条性质，了解三角形的外角和是掌握三角形外角的两条性质，了解三角形的外角和是360.(360.(难点难点) )3.3.能应用三角形内角和外角的性质进行相关角的计算或比较能应用三角形内角和外角的性质进行相关角的计算或比较. .( (重点、难点重点、难点) )一、三角形的内角和一、三角形的内角和如图所示，已知如图所示，已知ABC,ABC,过点过点A A作作MNBCMNBC，MNBCMNBC，B=_B=_，C=_.C=_.又又1+BAC+2=_1+BAC+2=_，B+BAC+C=_.B+BAC+C=_.【总结总结】三角形的内角和等于三角形的内角和等于_. .2218018018018018018011二、直角三角形两锐角的关系二、直角三角形两锐角的关系根据三角形内角和为根据三角形内角和为_，直角三角形的直角为，直角三角形的直角为_，所以两锐角之和等于所以两锐角之和等于_，即两锐角，即两锐角_._.18018090909090互余互余三、三角形的外角的性质三、三角形的外角的性质如图所示，如图所示，ABCABC中，中，1 1是是ABCABC的一个外角，的一个外角， 2+3+4=1802+3+4=180，( (三角形的内角和等于三角形的内角和等于180)180)且且1+4=1801+4=180，( (平角的定义平角的定义) )1=2+3.(1=2+3.(等量代换等量代换) )【思考思考】 1.1.通通过上面的推理，猜想上面的推理，猜想5 5与与2 2，4 4的关系的关系. .提示：提示：5=2+4.5=2+4.2.2.判断判断5 5与与2 2，4 4的大小，的大小，1 1与与2 2，3 3的大小的大小. .提示：提示：根据和差关系，可得根据和差关系，可得5252，5454，同理同理1212，13.13.【总结总结】 1.1.三角形的一个外角三角形的一个外角_与它不相邻的两个内角的和与它不相邻的两个内角的和. .2.2.三角形的一个外角三角形的一个外角_任何一个与它不相邻的内角任何一个与它不相邻的内角. .四、三角形的外角性质四、三角形的外角性质三角形的外角和等于三角形的外角和等于_._.等于等于大于大于360360( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)三角形越大，它的内角和就越大三角形越大，它的内角和就越大.( ).( )(2)(2)一个三角形的三个内角度数是：一个三角形的三个内角度数是：70,64,45.( )70,64,45.( )(3)(3)一个三角形至少有两个角是锐角一个三角形至少有两个角是锐角.( ).( )(4)(4)两个小直角三角形拼在一起形成的大三角形内角和为两个小直角三角形拼在一起形成的大三角形内角和为360.( )360.( )(5)(5)三角形的任何一个外角都大于其内角三角形的任何一个外角都大于其内角.( ).( )知识点知识点 1 1 三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用【例例1 1】 如图，如图，ABCABC中，中，A=60A=60，BC=15BC=15，求，求B B的度数的度数. .【思路点拨思路点拨】根据比例设出未知数根据比例设出未知数根据三角形内角和作为相根据三角形内角和作为相等关系列出方程等关系列出方程求出未知数的值求出未知数的值. .【自主解答自主解答】设设B=xB=x，BC=15BC=15，C=(5x).C=(5x).三角形的三个内角的和是三角形的三个内角的和是180180，A+B+C=180.A+B+C=180.列方程：列方程：60+x+5x=18060+x+5x=180，解得解得x=20x=20，故，故B=20.B=20.【总结提升总结提升】应用方程求解三角形中相关的角的一般思路应用方程求解三角形中相关的角的一般思路1.1.设元：选择适当的角设为未知数设元：选择适当的角设为未知数. .2.2.表示：用未知数表示其他的角表示：用未知数表示其他的角. .3.3.列方程：根据三角形内角和列方程求解列方程：根据三角形内角和列方程求解. .知识点知识点 2 2 三角形的外角性三角形的外角性质的的应用用【例例2 2】(2013(2013鄂州中考鄂州中考) )一副三角板有两个直角三角形，如一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，叠放在一起，则的度数是的度数是( () )A.165A.165B.120B.120C.150C.150D.135D.135【思路点拨思路点拨】利用直角三角形的性质求出利用直角三角形的性质求出2 2；再由三角形外；再由三角形外角的性质知角的性质知2=1+452=1+45，所以易求，所以易求1 1；然后由邻补角的性；然后由邻补角的性质来求质来求的度数的度数. .【自主解答自主解答】选选A.2=90-30=60A.2=90-30=60，1=2-45=151=2-45=15，=180-1=165.=180-1=165.【总结提升总结提升】运用三角形外角性质解决问题时的两点注意运用三角形外角性质解决问题时的两点注意1.1.明确要求的角或已知的角是哪个三角形的外角明确要求的角或已知的角是哪个三角形的外角. .2.2.由三角形内角与外角的性质进行计算由三角形内角与外角的性质进行计算. .题组一：一：三角形内角和定理的三角形内角和定理的应用用1.1.若一个三角形三个内角度数的比若一个三角形三个内角度数的比为274274，那么，那么这个三角个三角形是形是( () )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形角三角形C.C.钝角三角形角三角形 D.D.等等边三角形三角形【解析解析】选选C.C.因为三角形三个内角度数的比为因为三角形三个内角度数的比为274274，所以，所以可设三角形的三个内角分别为：可设三角形的三个内角分别为：2x2x，7x7x，4x.2x+7x+4x 4x.2x+7x+4x =180=180，得，得7x977x97，所以这个三角形是钝角三角形，所以这个三角形是钝角三角形. .2.2.已知直角三角形的一个已知直角三角形的一个锐角角为2525，则它的另一个它的另一个锐角的度角的度数数为( () )A.25A.25B.65B.65C.75C.75D.D.不能确定不能确定【解析解析】选选B.B.因为直角三角形的两锐角互余，所以另一个锐角因为直角三角形的两锐角互余，所以另一个锐角等于等于90-25=65.90-25=65.3.(20133.(2013鞍山中考鞍山中考) )如如图，已知，已知D D，E E在在ABCABC的的边上，上，DEBCDEBC，B=60B=60，AED=40AED=40，则A A的度数的度数为( () )A.100A.100B.90B.90C.80C.80D.70D.70【解析解析】选选C.DEBCC.DEBC，AED=40AED=40，C=AED=40.C=AED=40.B=60B=60，A=180-C-B=180-40-60=80.A=180-C-B=180-40-60=80.4.4.如如图，已知，已知ADBCADBC，EAD=50EAD=50，ACB=40ACB=40，则BAC=BAC=度度. .【解析解析】ADBCADBC，EAD=50EAD=50，EBC=EAD=50.EBC=EAD=50.在在ABCABC中，中，EBC=50EBC=50，ACB=40ACB=40，BAC=180-50-40=90.BAC=180-50-40=90.答案：答案：90905.(20135.(2013上海中考上海中考) )当三角形中一个内角当三角形中一个内角是另一个内角是另一个内角的的两倍两倍时，我，我们称此三角形称此三角形为“特征三角形特征三角形”，其中，其中称称为“特征特征角角”. .如果一个如果一个“特征三角形特征三角形”的的“特征角特征角”为100100，那么，那么这个个“特特征三角形征三角形”的最小内角的度数的最小内角的度数为. .【解析解析】1002=501002=50，180-100-50=30.180-100-50=30.答案：答案：30306.6.如如图，在，在ABCABC中，中，A=70A=70，B=50B=50，CDCD平分平分ACBACB，求求ACDACD的度数的度数. .【解析解析】在在ABCABC中，中，A=70A=70，B=50B=50，ACB=180-A-B=180-70-50=60.ACB=180-A-B=180-70-50=60.又又CDCD平分平分ACBACB，ACD=ACD=ACB=ACB=60=30.60=30.题组二：二：三角形的外角性三角形的外角性质的的应用用1.(20121.(2012东营中考中考) )下下图能能说明明1212的是的是( () )【解析解析】选选C.1C.1和和2 2是对顶角，是对顶角，所以所以1=21=2，故，故A A选项不符合题意；选项不符合题意；1 1和和2 2是同位角，如果两条被截直线是平行的，是同位角，如果两条被截直线是平行的，则则1=21=2，若不平行，则，若不平行，则1212或或121212，故故C C选项符合题意；选项符合题意；1 1和和2 2是同一个角的余角，则是同一个角的余角，则1=21=2，故故D D选项不符合题意选项不符合题意. .2.2.如果三角形的一个外角与它不相如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和为180180，那么，那么这个三角形是个三角形是( () )A.A.锐角三角形角三角形B.B.钝角三角形角三角形C.C.直角三角形直角三角形D.D.无法确定无法确定【解析解析】选选C.C.因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，它们的和为角的和，它们的和为180180，所以这个外角等于，所以这个外角等于9090，与它不，与它不相邻的两个内角的和也是相邻的两个内角的和也是9090，三角形的剩余内角等于，三角形的剩余内角等于180-180-90=9090=90，为直角三角形，故选，为直角三角形，故选C.C.3.(20133.(2013毕节中考中考) )如如图，已知，已知ABCDABCD，EBA=45EBA=45，E+DE+D的度数的度数为( () )A.30A.30B.60B.60C.90C.90D.45D.45【解析解析】选选D.ABCDD.ABCD，EBA=45EBA=45，CFB=45CFB=45，E+D=CFB=45.E+D=CFB=45.4.4.如如图，直，直线MANBMANB，A=70A=70，B=40B=40，则P=P=度度. .【解析解析】根据平行线的性质，可得根据平行线的性质，可得NCP=A=70.NCP=A=70.又根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以所以P=NCP-B=70-40=30.P=NCP-B=70-40=30.答案：答案：30305.5.如图，点如图，点D D是是ABCABC内的一点内的一点. .说明：说明：BDC=BAC+ABD+ACD.BDC=BAC+ABD+ACD.【解析解析】连结连结ADAD并延长，因此并延长，因此1=BAD+ABD1=BAD+ABD，2=CAD+ACD2=CAD+ACD，BDC=1+2=BAD+ABD+CAD+ACD=BAC+ABD+BDC=1+2=BAD+ABD+CAD+ACD=BAC+ABD+ACD.ACD.【想一想错在哪？想一想错在哪？】(2013(2013襄阳中考襄阳中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC延长线上一点，延长线上一点，B=40B=40，ACD=120ACD=120，则，则A A的度数为的度数为( () )A.60A.60B.70B.70C.80C.80D.90D.90提示：提示：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是任意两个内角和任意两个内角和. .