院校资料院校资料电磁场与电磁场与波第三章波第三章 静态场及其静态场及其边值问题的解边值问题的解第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 2第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力3第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则4第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件5第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数6第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：7第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 3. 电位差电位差电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功8第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即9第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq10第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：11第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r ，则，则若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。12第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版xyzL-L 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。13第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有14第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程15第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版6. 6. 静电位的边界条件静电位的边界条件静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即常数，常数，16第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块无限大平行板无限大平行板17第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处， 处，处，所以所以由此解得由此解得18第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容19第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导体组成的电容器，其电容为的导体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。20第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤： (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；21第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时， 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容22第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为23第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同同轴线24第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 25第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q 、电位为、电位为 。(01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为26第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中：27第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有28第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有故故 推证推证：0S29第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故30第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故31第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导32第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件33第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式： 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷34第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系35第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既既有有法法向向分分量量又又有有切切向向分分量量，电电场场并并不不垂垂直直于于导导体体表表面面，因因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明：说明：36第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如2 1、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。37第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。38第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（ 区域）区域） 本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场39第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极极板板是是理理想想导导体体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。40第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质141第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度介质中的电场介质中的电场 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确确定出电流定出电流 I。42第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于由于于是得到于是得到43第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为44第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏电导漏电导45第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度(3) 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 (5) 体间的电位差；体间的电位差；(6)(5) 求比值求比值 ，即得，即得出出(7) 所求电导。所求电导。 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：46第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。47第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版方程通解为方程通解为 例例3.2.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个半径为r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且电流密度是随方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是只是变量变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 048第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版电流密度电流密度两电极之间的两电极之间的电流电流故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为所以所以49第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析50第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版微分形式微分形式: :1. 基本方程基本方程2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :或或3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件51第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因为为只只规规定定了了它它的的旋旋度度，没没有有规规定定其其散散度度造造成成的的。为为了了得得到到确确定定的的A，可可以以对对A的的散散度度加加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位52第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式53第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ） 对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：面电流面电流：由此可得出由此可得出54第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例 3.3.1 求求小小圆圆环环电电流流回回路路的的远远区区矢矢量量磁磁位位与与磁磁场场。小小圆圆形形回回路的半径为路的半径为a ，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。小圆环电流小圆环电流aIxzyrRIPO55第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成于是得到于是得到56第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版式中式中S =a 2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作磁偶极子，载流小圆环可看作磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则或或 57第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 解解：先求长度为：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与与计计算算无无限限长长线线电电荷荷的的电电位位一一样样，令令 可可得得到到无无限限长长线线电电流流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L58第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一一般般情情况况下下，恒恒定定磁磁场场只只能能引引入入磁磁矢矢位位来来描描述述，但但在在无无传传导导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即即在在无无传传导导电电流流（J0）的的空空间间中中，可可以以引引入入一一个个标标量量位位函函数数来来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位59第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链链定定义义为为所所有有线线圈圈的的磁磁通通总总和和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的的、磁磁力力线线不不穿穿过过导导体体的的外外磁磁通通量量 o ；另另一一部部分分是是磁磁力力线线穿穿过过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路60第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点：61第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I ，由安培环路定理，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS = d的磁通为的磁通为 例例3.3.4 求求同同轴轴线线单单位位长长度度的的自自感感。设设内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体厚度可忽略不计，其半径为厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为62第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。则则故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为63第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为径为a ，两导线的间距为，两导线的间距为D ，且，且 D a 。导线及周围媒质的磁。导线及周围媒质的磁导率为导率为0 。穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I 。由。由于于D a ，故可近似地认为导线中的，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为PII64第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版于是得到平行双线传输线单位长度的外自感于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为65第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数比例系数称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro66第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：67第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 纽曼公式纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路 C1 和回路和回路 C2 ，回路回路 C1中的电流中的电流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一点产生的矢量磁位点产生的矢量磁位回路回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的磁场与回路产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式纽曼公式同理同理故得故得68第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版由图中可知由图中可知长直直导线与三角形回路与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I ，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。69第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为70第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.3.7 如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和和 C2，半径分别为半径分别为a1和和 a2 ，中心相距为，中心相距为d 。求它们之间的互感。求它们之间的互感。于是有于是有 解解 利用纽曼公式来计算，则有利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈两个平行且共轴的线圈式中式中=21为为 与与 之间的夹角，之间的夹角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且且71第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 若若d a1，则，则于是于是 一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d a1或或 d a2 时，可进行近似计算。时，可进行近似计算。72第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。 磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。73第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 设回路从零开始充电，最终的电流为设回路从零开始充电，最终的电流为 I 、交链的磁链为、交链的磁链为 。 在时刻在时刻 t 的电流为的电流为i =I 、磁链为、磁链为 = 。 (01) 根据能量守恒定律，此功也就是电流根据能量守恒定律，此功也就是电流为为 I 的载流回路具有的的载流回路具有的磁场能量磁场能量Wm ，即，即对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为外加电压应为所做的功所做的功当当增加为增加为(+ d)时，回路中的感应电动势时，回路中的感应电动势:74第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 对于对于N 个载流回路，则有个载流回路，则有对于体分布电流，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路例如，对于两个电流回路 C1 和回路和回路C2 ，有，有回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能75第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 磁场能量密度磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有76第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版若电流分布在有限区域内，当闭合面若电流分布在有限区域内，当闭合面S无无限扩大时，则有限扩大时，则有 故故 推证推证：S77第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.3.8 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a ，外导体的内、外半径分外导体的内、外半径分别为别为 b 和和 c ，如图所示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中单，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。位长度储存的磁场能量与自感。 解解：由安培环路定理，得：由安培环路定理，得78第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为79第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感单位长度的总自感内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感80第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 讨论内容讨论内容讨论内容讨论内容 3.4.1 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程81第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.4.1 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面位函数值，而另一部分边界面上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）82第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如83第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：84第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述85第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版惟一性定理的证明惟一性定理的证明反证法反证法：假设解不惟一，则有两个位函数：假设解不惟一，则有两个位函数和和 在场域在场域V内满足同样的方程，即内满足同样的方程，即且在边界面且在边界面S 上有上有令令 ，则则在场域在场域V内内且在边界面且在边界面S 上满足同样的边界条件。上满足同样的边界条件。或或或或86第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一类边界条件：对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若对于第二类边界条件：若 和和 取同一点取同一点Q为参考点为参考点 ，则，则对于第三类边界条件：对于第三类边界条件：87第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法88第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷将将影影响响场场的分布。的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例接接地地导导体体板板附附近近有有一一个个点点电电荷荷，如如图图所所示。示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理89第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？90第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理91第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ” 。4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。92第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，有效区域有效区域q qq q93第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q q 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为94第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题当当z = 0 时，时，有效区域有效区域95第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及 q2 对对平平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d196第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.5.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至无穷远处，需要做多少功？至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来来源源于于导导体体板板上上的的感感应应电电荷荷。可可以以先先求求电电荷荷q 移移至至无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。qqx = 0d-d 由由镜镜像像法法，感感应应电电荷荷可可以以用用像像电电荷荷 替替代代。当当电电荷荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度97第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。问题问题： PqarRdqPaqrRRdd98第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。条件条件：若：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量常数常数qPqaRRddO99第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为100第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？）aqdobqrRRaqdOd101第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版球壳内的电位球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 102第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先先设设想想导导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q的的感感应应电电荷分布，则荷分布，则 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。电荷为零。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRdO103第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用一个位于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddqO104第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3.6 3.6 分离变量法分离变量法 3.6.1 3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理 3.6.2 3.6.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 105第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n n个各自只个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：3.6.1 3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理106第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为3.6.2 3.6.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 ( (x x, , y) ) 表示为两个一维函数表示为两个一维函数 X X( ( x x ) )和和Y Y( ( y ) )的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以 X X( ( x x ) ) Y Y( ( y ) ) ，有，有分离常数分离常数107第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 若取若取k k2 2 ，则有，则有当当当当108第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版将所有可能的将所有可能的 ( (x, y) )线性叠加起来，则得到位函数的通解，线性叠加起来，则得到位函数的通解，即即 若取若取k k2 2 ，同理可得到，同理可得到通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。109第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.6.13.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为槽绝缘，盖板电位为U U0 0，金属槽接地，横截面如图所示，试计，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。算此导体槽内的电位分布。 解：解：位函数满足的方程和边界条位函数满足的方程和边界条件为件为因因 (0 , (0 , y) )0 0、 ( (a , y) )0 0，故位函数的通解应取为，故位函数的通解应取为110第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版确定待定系数确定待定系数111第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版将将U0 在（在（0, a）上按）上按 展开为傅里叶级数，即展开为傅里叶级数，即其中其中112第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版由由故得到故得到113第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 例例3.6.23.6.2 由四块沿由四块沿Z轴方向放置的轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，金属板围成的矩形长槽，四条棱线处有无限小间隙以保持互相绝缘，如图所示，试计算四条棱线处有无限小间隙以保持互相绝缘，如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。此导体槽内的电位分布。 解：解：位函数满足的方程和边界条位函数满足的方程和边界条件为件为114