1 第第4 4章章 弯曲内力弯曲内力24.1 4.1 4.1 4.1 弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例 了解了解了解了解 4.2 4.2 4.2 4.2 剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩 重点掌握重点掌握重点掌握重点掌握4.3 4.3 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 重点掌握重点掌握重点掌握重点掌握4.4 4.4 4.4 4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 重点掌握重点掌握重点掌握重点掌握4.5 4.5 4.5 4.5 叠加法绘制弯矩图叠加法绘制弯矩图叠加法绘制弯矩图叠加法绘制弯矩图 掌握掌握掌握掌握第第 4 4 章章 弯曲内力弯曲内力 3本章重点本章重点（1 1）剪力和弯矩的计算）剪力和弯矩的计算）剪力和弯矩的计算）剪力和弯矩的计算（2 2）剪力图和弯矩图）剪力图和弯矩图）剪力图和弯矩图）剪力图和弯矩图 （3 3）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 重要概念重要概念梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩 本章难点本章难点（1 1）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图（2 2）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 4.1 4.1 弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例一、一、 弯曲的概念弯曲的概念以弯曲变形为主的杆件！以弯曲变形为主的杆件！梁梁 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形: : : : 杆件受垂直杆件受垂直杆件受垂直杆件受垂直于轴线的外力或位于其轴线所在于轴线的外力或位于其轴线所在于轴线的外力或位于其轴线所在于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用时平面内的外力偶作用时平面内的外力偶作用时平面内的外力偶作用时, , , ,轴线变轴线变轴线变轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变成了曲线，这种变形称为弯曲变成了曲线，这种变形称为弯曲变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。形。形。形。 受力特点：受力特点：受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力作用杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力作用杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力作用杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力作用或受到在杆轴线所在平面内的外力偶的作用。或受到在杆轴线所在平面内的外力偶的作用。或受到在杆轴线所在平面内的外力偶的作用。或受到在杆轴线所在平面内的外力偶的作用。变形特点：变形特点：变形特点：变形特点：杆件的轴线由直变弯。杆件的轴线由直变弯。杆件的轴线由直变弯。杆件的轴线由直变弯。MeF5桥式吊车桥式吊车二、工程实例二、工程实例6火车轮轴火车轮轴7车床：车刀杆车床：车刀杆车床：车刀杆车床：车刀杆8桥梁桥梁 露台露台9直立式反应塔直立式反应塔合成塔合成塔锥形齿轮轴锥形齿轮轴11三、常见梁的截面形状三、常见梁的截面形状 对称面对称面对称面对称面圆形圆形矩形矩形工字形工字形 它们都有对称轴，梁横截面的对称它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵纵向对称平面向对称平面 。12 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲: : : :作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内, , , ,弯曲变弯曲变弯曲变弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线, , , ,这种弯曲这种弯曲这种弯曲这种弯曲称称称称为为为为平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲. . . . 四四四四、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲平面弯曲是弯曲问题平面弯曲是弯曲问题平面弯曲是弯曲问题平面弯曲是弯曲问题中最简单的形式。中最简单的形式。中最简单的形式。中最简单的形式。构件特点构件特点构件特点构件特点：具有纵向对称平面。具有纵向对称平面。具有纵向对称平面。具有纵向对称平面。受力特点受力特点受力特点受力特点：横向外力或外力合力，以及外力偶矩作用在纵向对横向外力或外力合力，以及外力偶矩作用在纵向对横向外力或外力合力，以及外力偶矩作用在纵向对横向外力或外力合力，以及外力偶矩作用在纵向对 称平面内。称平面内。称平面内。称平面内。变形特点变形特点变形特点变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。五、梁的计算简图五、梁的计算简图五、梁的计算简图五、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 1. 1. 1. 构件本身的简化构件本身的简化构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的通常取梁的通常取梁的通常取梁的轴线轴线轴线轴线来代替梁。来代替梁。来代替梁。来代替梁。2. 2. 2. 2. 载荷简化载荷简化载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 载荷类型载荷类型载荷类型载荷类型集中力集中力集中力集中力集中力偶集中力偶集中力偶集中力偶分布载荷分布载荷分布载荷分布载荷qFMe14固定铰支座固定铰支座固定铰支座固定铰支座如：桥梁下的固定支座，止推如：桥梁下的固定支座，止推如：桥梁下的固定支座，止推如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。滚珠轴承等。滚珠轴承等。滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座可动铰支座可动铰支座如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。承等。承等。承等。3. 3. 3. 3. 支座简化支座简化支座简化支座简化固定端固定端固定端固定端如：游泳池的跳水板支座，木如：游泳池的跳水板支座，木如：游泳池的跳水板支座，木如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。桩下端的支座等。桩下端的支座等。桩下端的支座等。FxAFyAMAFAyAFAxFA AAAA154. 4. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：静定梁：静定梁：静定梁：由静力学方程可求出支反力。由静力学方程可求出支反力。由静力学方程可求出支反力。由静力学方程可求出支反力。超静定梁：超静定梁：超静定梁：超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全由静力学方程不可求出支反力或不能求出全由静力学方程不可求出支反力或不能求出全由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。部支反力。部支反力。部支反力。F F 静定梁静定梁静定梁静定梁超静定梁超静定梁超静定梁超静定梁165. 5. 静定梁的三种基本形式静定梁的三种基本形式静定梁的三种基本形式静定梁的三种基本形式梁的跨度：梁的两支座之间的长度。梁的跨度：梁的两支座之间的长度。梁的跨度：梁的两支座之间的长度。梁的跨度：梁的两支座之间的长度。悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁FPqM简支梁简支梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁MFPqFP17 例例11如图示结构的计算简图为如图示结构的计算简图为: :FFq均布力均布力吊车横梁简化吊车横梁简化FqqF19火车轮轴简化火车轮轴简化FF20露台露台q跳台跳板跳台跳板跳台跳板跳台跳板21直立式反应塔直立式反应塔224.2 4.2 梁的内力梁的内力梁的内力梁的内力剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩1 1、梁的内力、梁的内力、梁的内力、梁的内力剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，F F，a a，l l。 求：距求：距求：距求：距A A端端端端x x处截面上内力。处截面上内力。处截面上内力。处截面上内力。解：解：解：解：求支反力求支反力求支反力求支反力解得：解得：解得：解得：FFAyFAxFByABxyalA BF23求内力求内力求内力求内力截面法截面法截面法截面法FSMFByMFS 弯曲构件内力弯曲构件内力弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力剪力剪力F FS S弯矩弯矩弯矩弯矩MMCCxAFAyxP l-xC 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩uu 剪力剪力剪力剪力F FS S：平行于横截面的内力系的合力。：平行于横截面的内力系的合力。：平行于横截面的内力系的合力。：平行于横截面的内力系的合力。 即：切应力的合力。即：切应力的合力。即：切应力的合力。即：切应力的合力。uu 弯矩弯矩弯矩弯矩MM：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。 即正应力的合力偶矩即正应力的合力偶矩即正应力的合力偶矩即正应力的合力偶矩lA BF242 2、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定剪力剪力剪力剪力F FS: S: 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。（时，剪力为正；反之为负。（时，剪力为正；反之为负。（时，剪力为正；反之为负。（左上右下为正左上右下为正左上右下为正左上右下为正，左下右上为，左下右上为，左下右上为，左下右上为负。）负。）负。）负。）FFFS（-）FS（-）FFFs (+)(+)FS (+)(+)dxmmFSFS-FSmmFS+dx252 2、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定弯矩弯矩弯矩弯矩MM：弯矩使梁呈：弯矩使梁呈：弯矩使梁呈：弯矩使梁呈上凹下凸上凹下凸上凹下凸上凹下凸的变形为正；反之为负。的变形为正；反之为负。的变形为正；反之为负。的变形为正；反之为负。 （左顺右逆为正，左逆右顺为负。左顺右逆为正，左逆右顺为负。左顺右逆为正，左逆右顺为负。左顺右逆为正，左逆右顺为负。）MM( ( ) )MM( ( ) )上凸下凹上凸下凹上凸下凹上凸下凹MMMM( (+ +) )上凹下凸上凹下凸上凹下凸上凹下凸MM( (+ +) )263 3 3 3、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为 (1) (1) (1) (1) 求支座反力。求支座反力。求支座反力。求支座反力。 (2) (2) (2) (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。截开。截开。截开。 (3) (3) (3) (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其取截面的任一侧为隔离体，作出其取截面的任一侧为隔离体，作出其取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图受力图受力图受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。列平衡方程求出剪力和弯矩。列平衡方程求出剪力和弯矩。列平衡方程求出剪力和弯矩。27 例例例例4.14.14.14.1 求图示外伸梁求图示外伸梁求图示外伸梁求图示外伸梁1-11-1、2222、3-33-3、4-4 4-4 截面上的内力。截面上的内力。截面上的内力。截面上的内力。解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)求支座反力。求支座反力。求支座反力。求支座反力。 qM=qa2Ca aaBDA A11223344FRAFRB28F FS S1 1MM1 12 2 2 2、 A A A A 求求求求1-11-11-11-1截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩1FRAA2FRAAM=qa2F FS S2 2MM2 2B B B B 求求求求2-22-22-22-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩qM=qa2Ca aaBDA A11223344FRAFRB( )( )( )( )( )( )( )( )29C C C C 求求求求3-33-33-33-3截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩D D D D 求求求求4-44-44-44-4截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩3FRBBqDF FS S3 3MM3 3FRAFRBqM=qa2Ca aaBDA A112233444 BqDF FS S4 4MM4 430(3) (3) (3) (3) 讨论讨论讨论讨论 FRAFRBqM=qa2Ca aaBDA A11223344可见：可见：可见：可见：1 1 1 1、在、在、在、在集中力偶集中力偶集中力偶集中力偶作用处剪力无变化作用处剪力无变化作用处剪力无变化作用处剪力无变化, , , ,而弯矩有变化，其而弯矩有变化，其而弯矩有变化，其而弯矩有变化，其变化值等于该截面上的集中力偶的大小。变化值等于该截面上的集中力偶的大小。变化值等于该截面上的集中力偶的大小。变化值等于该截面上的集中力偶的大小。 2 2 2 2、在、在、在、在集中力集中力集中力集中力作用处弯矩无变化，而剪力有变化作用处弯矩无变化，而剪力有变化作用处弯矩无变化，而剪力有变化作用处弯矩无变化，而剪力有变化, , , ,其变化其变化其变化其变化值等于该截面上的集中力的大小。值等于该截面上的集中力的大小。值等于该截面上的集中力的大小。值等于该截面上的集中力的大小。31 (1) (1) 求剪力的规律求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力梁内任一截面上的剪力F FS S，在数值上等于该截面一侧（左，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。外力取正、负号的方法是：外力取正、负号的方法是：外力取正、负号的方法是：外力取正、负号的方法是：外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。 或：左上右下或：左上右下或：左上右下或：左上右下-正，反之正，反之正，反之正，反之-负。负。负。负。 作用在梁上的力偶对剪力没有影响作用在梁上的力偶对剪力没有影响作用在梁上的力偶对剪力没有影响作用在梁上的力偶对剪力没有影响。或或FFF S (+)(+)FS(+)(+)4 4、剪力和弯矩的计算规律、剪力和弯矩的计算规律、剪力和弯矩的计算规律、剪力和弯矩的计算规律32 (2) (2) (2) (2) 求弯矩的规律求弯矩的规律求弯矩的规律求弯矩的规律 梁内任一截面上的弯矩梁内任一截面上的弯矩梁内任一截面上的弯矩梁内任一截面上的弯矩M M M M，等于该截面一侧（左侧或右，等于该截面一侧（左侧或右，等于该截面一侧（左侧或右，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 外力矩取正、负号的方法是：外力矩取正、负号的方法是：外力矩取正、负号的方法是：外力矩取正、负号的方法是：左段梁：左段梁：左段梁：左段梁：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩；在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩；在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩；在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩；右段梁右段梁右段梁右段梁：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩。在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩。在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩。在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩。 即：左顺右逆即：左顺右逆即：左顺右逆即：左顺右逆-正，反之负。向上的力均产生正弯矩，向正，反之负。向上的力均产生正弯矩，向正，反之负。向上的力均产生正弯矩，向正，反之负。向上的力均产生正弯矩，向下的力均产生负弯矩。下的力均产生负弯矩。下的力均产生负弯矩。下的力均产生负弯矩。或或F2F1M (+)(+)M(+)(+)FC33解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）支反力）支反力）支反力）支反力 例例4.24.2 简支梁受均布力简支梁受均布力q q和集中力偶和集中力偶Me=ql2/4的作用，求的作用，求C C截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。FRAFRBBqMeACl/2l/2FRAFRBBqMeACl/2l/2（2 2 2 2）求）求）求）求C C C C截面剪力和弯矩截面剪力和弯矩截面剪力和弯矩截面剪力和弯矩 利用两条规律直接用外力计算截面上的剪力和弯矩利用两条规律直接用外力计算截面上的剪力和弯矩利用两条规律直接用外力计算截面上的剪力和弯矩利用两条规律直接用外力计算截面上的剪力和弯矩B B B B、求、求、求、求C C C C截面稍右截面处的剪力和弯矩截面稍右截面处的剪力和弯矩截面稍右截面处的剪力和弯矩截面稍右截面处的剪力和弯矩A A A A、求、求、求、求C C C C截面稍左截面处的剪力和截面稍左截面处的剪力和截面稍左截面处的剪力和截面稍左截面处的剪力和弯矩弯矩弯矩弯矩35一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程. . . . 剪力方程剪力方程剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程4.3 4.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图36弯矩为正值画在弯矩为正值画在弯矩为正值画在弯矩为正值画在 x x 轴下侧轴下侧轴下侧轴下侧, ,负值画在负值画在负值画在负值画在x x 轴上侧轴上侧轴上侧轴上侧( (弯矩图画弯矩图画弯矩图画弯矩图画在梁受拉的一侧）在梁受拉的一侧）在梁受拉的一侧）在梁受拉的一侧）二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图正剪力画在正剪力画在正剪力画在正剪力画在 x x 轴上侧轴上侧轴上侧轴上侧, , 负剪力画在负剪力画在负剪力画在负剪力画在x x 轴下侧轴下侧轴下侧轴下侧 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标x x表示横截面的位置表示横截面的位置表示横截面的位置表示横截面的位置, ,以纵坐标表示以纵坐标表示以纵坐标表示以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩相应截面上的剪力和弯矩相应截面上的剪力和弯矩相应截面上的剪力和弯矩. .这种图线分别称为剪力图和弯矩图。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。xFS(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x) 例例例例4.34.34.34.3求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解解解解: : : : 建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系, , , ,列列列列出出出出梁的剪梁的剪梁的剪梁的剪力方程和弯矩方程力方程和弯矩方程力方程和弯矩方程力方程和弯矩方程根据方程画内力图根据方程画内力图FSxMxFFLFL（+ +）（）（）（）（）LFxx（a a）可知：可知：固定端固定端x = 0 ：FSmax = F解：解：解：解：写出内力方程写出内力方程写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图根据方程画内力图根据方程画内力图LqMM( (x x) )FS(x)FSx qL（）（）（）（）xq （）（）（）（）xMx（b b）固定端固定端x = 0 ：39例题例题例题例题4.4 4.4 图图图图示的简支梁示的简支梁示的简支梁示的简支梁, ,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q的均布荷载用的均布荷载用的均布荷载用的均布荷载用. .试试试试作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图. . 解：解：解：解：（1 1） 求支反力求支反力求支反力求支反力FA AFB BlqABx（2 2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程. .x40剪力图为一倾斜直线剪力图为一倾斜直线剪力图为一倾斜直线剪力图为一倾斜直线x x=0 =0 处处处处 ，x x= = l l 处处处处 , ,+ql/2BlqFA AAxFB B+弯矩图为一条二次抛物线弯矩图为一条二次抛物线弯矩图为一条二次抛物线弯矩图为一条二次抛物线令令令令得驻点得驻点得驻点得驻点弯矩的极值弯矩的极值弯矩的极值弯矩的极值（3 3）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图. .xFSxxM-ql/2BlqFA AAxFB B（2 2）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图）绘剪力图和弯矩图. .|FS |max、Mmax 所在截面为危所在截面为危险截面。险截面。注意注意：|FS |max、Mmax不一定为同一不一定为同一 截面。截面。 +ql/2+xFSx-ql/2xM42 注意：注意：一般情况下，梁全长上的一般情况下，梁全长上的剪力和弯矩不能用一个剪力和弯矩不能用一个函数表示，函数表示，外力有突变时，剪力方程和外力有突变时，剪力方程和弯矩方程可能发生变弯矩方程可能发生变化，应分段描述。化，应分段描述。分段原则分段原则分段原则分段原则： 集中力作用点、集中力偶作用点集中力作用点、集中力偶作用点 分布荷载起点和终点分布荷载起点和终点 支座处支座处qa ab bl lABCDCF FabABCMMa ab bAB43 例例例例4.5 4.5 4.5 4.5 图图图图示示示示简简简简支支支支梁梁梁梁C C C C点点点点受受受受集集集集中中中中力力力力F F F F作作作作用用用用。试试试试写写写写出出出出剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。矩方程，并画出剪力图和弯矩图。矩方程，并画出剪力图和弯矩图。矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1求约束反力求约束反力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC：CB：FAFBl lCF FabABxx44剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程FRAF FRBRBxxCFa ab bABl l3 3、依方程画出剪力图和弯矩图、依方程画出剪力图和弯矩图(+)AC：CB：FSM可见可见, ,在集中力作用处在集中力作用处, ,剪力有突剪力有突变，突变值等于该集中力的大小，变，突变值等于该集中力的大小，从左到右突变方向与集中力方向从左到右突变方向与集中力方向相同。相同。 弯矩在该处有折点。弯矩在该处有折点。45剪力和弯矩突变处：剪力和弯矩突变处：FAYFBYxxCFabABlF FS SxFCMx(+)F FS Sx xMMx x(+) 例例例例4.6 4.6 4.6 4.6 图图图图示示示示简简简简支支支支梁梁梁梁C C C C点点点点受受受受集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用。试试试试写写写写出出出出剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1求约束反力求约束反力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程ACCB FA FBl lCMea ab bABxx剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程ACCBFAFBxxlCMeabAB3 3、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图MeFSM可见可见, ,在集中力偶作用处在集中力偶作用处, ,弯矩有弯矩有突变，突变值等于该集中力偶的突变，突变值等于该集中力偶的大小。大小。从左到右，顺（逆）时针从左到右，顺（逆）时针从左到右，顺（逆）时针从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向下集中力偶作用处，弯矩图向下集中力偶作用处，弯矩图向下集中力偶作用处，弯矩图向下（上）突变。（上）突变。（上）突变。（上）突变。剪力在该处无变化剪力在该处无变化剪力在该处无变化剪力在该处无变化由例题可知由例题可知由例题可知由例题可知 F FS S 图图图图、M M 图的一些特征：图的一些特征：图的一些特征：图的一些特征： (1) (1) 梁上无均布载荷梁上无均布载荷梁上无均布载荷梁上无均布载荷 q q 作用处，作用处，作用处，作用处，F FS S 图为一水平线，图为一水平线，图为一水平线，图为一水平线，M M 图为一图为一图为一图为一直线，常为斜直线；直线，常为斜直线；直线，常为斜直线；直线，常为斜直线； (2) (2) 在在在在 均布载荷均布载荷均布载荷均布载荷 q q 作用处，作用处，作用处，作用处，F FS S 图为斜直线，图为斜直线，图为斜直线，图为斜直线，M M 图为一抛物线；图为一抛物线；图为一抛物线；图为一抛物线； (3) (3) 在集中力在集中力在集中力在集中力 F F 作用处，作用处，作用处，作用处，F FS S 图上有突变图上有突变图上有突变图上有突变, , 从左到右突变方向从左到右突变方向从左到右突变方向从左到右突变方向与集中力方向相同，与集中力方向相同，与集中力方向相同，与集中力方向相同，M M 图上有一折点；图上有一折点；图上有一折点；图上有一折点； (4) (4) 在集中力偶在集中力偶在集中力偶在集中力偶 MMe e 作用处，作用处，作用处，作用处，F FS S 图上无影响，图上无影响，图上无影响，图上无影响，M M 图上有一突变图上有一突变图上有一突变图上有一突变, ,突变值突变值突变值突变值等于该集中力偶的大小。等于该集中力偶的大小。等于该集中力偶的大小。等于该集中力偶的大小。突变方向：突变方向：突变方向：突变方向：从左到右，从左到右，从左到右，从左到右，顺顺顺顺（逆）（逆）（逆）（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向时针集中力偶作用处，弯矩图向时针集中力偶作用处，弯矩图向时针集中力偶作用处，弯矩图向下下下下（上）突变。（上）突变。（上）突变。（上）突变。 (5) (5) | | M M | |maxmax可能发生可能发生可能发生可能发生在集中力或集中力偶在集中力或集中力偶在集中力或集中力偶在集中力或集中力偶作用处。作用处。作用处。作用处。49作剪力图和弯矩图的步骤作剪力图和弯矩图的步骤作剪力图和弯矩图的步骤作剪力图和弯矩图的步骤1.1.1.1. 确定支座反力确定支座反力确定支座反力确定支座反力2.2.2.2. 建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系( ( ( (一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点) ) ) )3.3.3.3. 分段分段分段分段 在载荷变化处分段在载荷变化处分段在载荷变化处分段在载荷变化处分段4.4.4.4. 列出每一段的剪力方程和弯矩方程列出每一段的剪力方程和弯矩方程列出每一段的剪力方程和弯矩方程列出每一段的剪力方程和弯矩方程5.5.5.5. 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图更简便的作图方法？更简便的作图方法？更简便的作图方法？更简便的作图方法？6. 6. 确定确定确定确定 | | F FS S | |maxmax、| | M M | |max max 及其所在截面位置。及其所在截面位置。及其所在截面位置。及其所在截面位置。501 1 1 1、 剪力、弯矩与分布荷载剪力、弯矩与分布荷载剪力、弯矩与分布荷载剪力、弯矩与分布荷载q q q q（x x x x）间的关系）间的关系）间的关系）间的关系对对对对d d d dx x x x 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)dxA剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。 4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系xy51q(x)MM( (x x)+d )+d MM( (x x) )F FS S( (x x)+d)+dF FS S( (x x) )F FS S( (x x) )MM( (x x) )dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：略去二阶微量得：略去二阶微量得：略去二阶微量得：略去二阶微量得：522 2 2 2、几种常见荷载作用下梁的内力图特征、几种常见荷载作用下梁的内力图特征、几种常见荷载作用下梁的内力图特征、几种常见荷载作用下梁的内力图特征（1 1 1 1）梁上无荷载区段，）梁上无荷载区段，）梁上无荷载区段，）梁上无荷载区段，q(x)=0,q(x)=0, F FS S图为一水平直线图为一水平直线增函数增函数减函数减函数常数常数 弯矩图为一斜直线或水平线弯矩图为一斜直线或水平线53（2 2）梁上有均布荷载区段，）梁上有均布荷载区段，）梁上有均布荷载区段，）梁上有均布荷载区段， q(x)=q,q(x)=q, F FS S图为斜直线图为斜直线图为斜直线图为斜直线 ，倾斜方向与，倾斜方向与，倾斜方向与，倾斜方向与q q同同同同弯矩图为一抛物线，且凸向与荷载弯矩图为一抛物线，且凸向与荷载弯矩图为一抛物线，且凸向与荷载弯矩图为一抛物线，且凸向与荷载 q q（x x）指向相同。）指向相同。）指向相同。）指向相同。q(x)0q(x)0q(x)0q(x)q0 0qq 0 0F FS SF FS S 0 0x x斜直线斜直线斜直线斜直线x增函数增函数F FS SxF FS S降函数降函数自左向右突变自左向右突变自左向右突变自左向右突变xF FS SC无变化无变化无变化无变化斜直线斜直线斜直线斜直线xM增函数增函数xM降函数降函数抛物线抛物线自左向右折角自左向右折角 自左向右突变自左向右突变自左向右突变自左向右突变xM弯矩图有尖点弯矩图有尖点弯矩图有尖点弯矩图有尖点x xF FS1S1C CF FS SF FS S2 2F FS S1 1 F FS S2 2= =P P MMx xMM2 2MM1 1凸向上凸向上凸向上凸向上xMxM凸向下凸向下凸向下凸向下57 利用剪力、弯矩与分布荷载集度之间的关系及特殊点的内利用剪力、弯矩与分布荷载集度之间的关系及特殊点的内利用剪力、弯矩与分布荷载集度之间的关系及特殊点的内利用剪力、弯矩与分布荷载集度之间的关系及特殊点的内力值来作图的方法。力值来作图的方法。力值来作图的方法。力值来作图的方法。3 3 3 3、简易作图法、简易作图法、简易作图法、简易作图法（利用微分关系作图）（利用微分关系作图）（利用微分关系作图）（利用微分关系作图）简易作图法的步骤：简易作图法的步骤：简易作图法的步骤：简易作图法的步骤： (1) (1) (1) (1) 求支座反力。求支座反力。求支座反力。求支座反力。 (2) (2) (2) (2) 确定控制截面确定控制截面确定控制截面确定控制截面( ( ( (剪力、弯矩变化区间的端点，称为控剪力、弯矩变化区间的端点，称为控剪力、弯矩变化区间的端点，称为控剪力、弯矩变化区间的端点，称为控制面制面制面制面) ) ) )，将梁进行分段，将梁进行分段，将梁进行分段，将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面、起止截面、起止截面、起止截面、驻点（驻点（驻点（驻点（导数为零的点、极值点导数为零的点、极值点导数为零的点、极值点导数为零的点、极值点）所在截面）所在截面）所在截面）所在截面都是梁都是梁都是梁都是梁分段时的控制截面。分段时的控制截面。分段时的控制截面。分段时的控制截面。 (3) (3) (3) (3) 求控制截面的剪力值、弯矩值求控制截面的剪力值、弯矩值求控制截面的剪力值、弯矩值求控制截面的剪力值、弯矩值 。 (4) (4) (4) (4) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状，连线作图。图和弯矩图的形状，连线作图。图和弯矩图的形状，连线作图。图和弯矩图的形状，连线作图。58三要点三要点三要点三要点u三个微分方程确定了图形的形状；u控制面确定图形的位置；图形在什么位置会发生突变u极值点至关重要 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图根据外力确定图形形状根据外力确定图形形状直线、曲线直线、曲线画图之前形成剪力图与弯矩图的大致图像画图之前形成剪力图与弯矩图的大致图像 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 有没有极值点？有没有极值点？极值点的位置在哪里？极值点的位置在哪里？极值点的弯矩数值怎样确定？极值点的弯矩数值怎样确定？59例例例例4.7 4.7 4.7 4.7 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。aaqaqBCA分几段？几个控制面？分几段？几个控制面？分几段？几个控制面？分几段？几个控制面？各段剪力图的形状？各段剪力图的形状？各段剪力图的形状？各段剪力图的形状？各段弯矩图的形状？各段弯矩图的形状？各段弯矩图的形状？各段弯矩图的形状？剪力图有没有突变？剪力图有没有突变？剪力图有没有突变？剪力图有没有突变？弯矩图有没有突变？弯矩图有没有突变？弯矩图有没有突变？弯矩图有没有突变？要不要先求支座反力？要不要先求支座反力？要不要先求支座反力？要不要先求支座反力？qqa2qaABCDaaaA60 4.7 4.7 4.7 4.7 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解解解: : : : 确定控制面，将梁分段确定控制面，将梁分段确定控制面，将梁分段确定控制面，将梁分段 梁的端点、集中荷载作用点、分布荷载起点和终点、梁的端点、集中荷载作用点、分布荷载起点和终点、梁的端点、集中荷载作用点、分布荷载起点和终点、梁的端点、集中荷载作用点、分布荷载起点和终点、极值点极值点极值点极值点（M M M M导数为零的点导数为零的点导数为零的点导数为零的点）等。）等。）等。）等。aaqaqBCA分分分分2 2段，段，段，段，,3,3个控制面个控制面个控制面个控制面61aaqaqB左端点左端点左端点左端点A A：线形：线形：线形：线形：根据内力与分布荷载的根据内力与分布荷载的根据内力与分布荷载的根据内力与分布荷载的关系及集中载荷点的规律确定关系及集中载荷点的规律确定关系及集中载荷点的规律确定关系及集中载荷点的规律确定分区点分区点分区点分区点B B：M M 的驻点的驻点的驻点的驻点：右端点右端点右端点右端点C C：qaACFSxxM qa2(-)(-)62例例例例4.8 4.8 4.8 4.8 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力解：求支反力解：求支反力解：求支反力左端点左端点左端点左端点A A：B B点左：点左：点左：点左：B B点右：点右：点右：点右：C C点左：点左：点左：点左：C C点右：点右：点右：点右：右端点右端点右端点右端点D D：qqa2qaqa/2qa/2qa/2FSxqa/2qa/2qa/2ABCDaaa（）（）（）（）（）（）画剪力图：画剪力图：画剪力图：画剪力图：M M 的驻点的驻点的驻点的驻点：qqa2qaFRAFRDABCDaaaFSxqa/2qa/2（）（）qa2/2（）（）（）（）qa2/23qa2/8xM例例例例4.8 4.8 4.8 4.8 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。64左端点左端点左端点左端点A A：B B点左：点左：点左：点左：B B点右：点右：点右：点右：C C点左：点左：点左：点左：M M 的驻点的驻点的驻点的驻点：C C点右：点右：点右：点右：右端点右端点右端点右端点D D：qqa2qaqa/2qa/2qa/2FSxqa/2qa/2qa/2ABCDqa2/2qa2/2qa2/23qa2/8aaa xM（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）画弯矩图：画弯矩图：画弯矩图：画弯矩图：65 剪力图的简便作图方法：剪力图的简便作图方法：剪力图的简便作图方法：剪力图的简便作图方法： 从左往右作图，线段走向与力的方向相同。从左往右作图，线段走向与力的方向相同。从左往右作图，线段走向与力的方向相同。从左往右作图，线段走向与力的方向相同。qqa2qaABCDaaaFSxqa/2qa/2qa/2aaqaACqBqa（）（）661 1 1 1、叠加原理、叠加原理、叠加原理、叠加原理：在小变形条件下，梁横截面的内力为各荷载：在小变形条件下，梁横截面的内力为各荷载：在小变形条件下，梁横截面的内力为各荷载：在小变形条件下，梁横截面的内力为各荷载的线性函数。即梁在几个荷载共同作用下产生的内力等的线性函数。即梁在几个荷载共同作用下产生的内力等的线性函数。即梁在几个荷载共同作用下产生的内力等的线性函数。即梁在几个荷载共同作用下产生的内力等于各荷载单独作用产生的内力的代数和。于各荷载单独作用产生的内力的代数和。于各荷载单独作用产生的内力的代数和。于各荷载单独作用产生的内力的代数和。2 2 2 2、 利用叠加原理作梁的弯矩图的步骤：利用叠加原理作梁的弯矩图的步骤：利用叠加原理作梁的弯矩图的步骤：利用叠加原理作梁的弯矩图的步骤：（1 1 1 1）先分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图；）先分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图；）先分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图；）先分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图；（2 2 2 2）将各弯矩图相应的纵坐标代数叠加。）将各弯矩图相应的纵坐标代数叠加。）将各弯矩图相应的纵坐标代数叠加。）将各弯矩图相应的纵坐标代数叠加。4.5 4.5 叠加法绘制弯矩图叠加法绘制弯矩图67例例4.94.9 绘制下列图示梁的弯矩图。绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+=xM2FaxM+2Fa(1)xM+Fa68(2)aaqqqq=+=+qa2/2xM xM3qa2/2qa2/2qa2qa2/2M+(3)FaaFa=+F=+xMFaFaxMFa/2xMFa+70 利用微分关系作利用微分关系作利用微分关系作利用微分关系作梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩图图图图课堂练习CADB71