1高等数学37凹凸性一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方2高等数学37凹凸性定义定义3高等数学37凹凸性二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定凹凹凹凹凸凸凸凸4高等数学37凹凸性定理定理1 1 （证明需用两次拉格朗日中值定理，并结合（证明需用两次拉格朗日中值定理，并结合凹凸的定义，见教材凹凸的定义，见教材197页页.）5高等数学37凹凸性解解注意到注意到,例例1 1(concavity and convexity).6高等数学37凹凸性三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法注意注意(1)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线;(2)拐点在曲线上拐点在曲线上.(knee)7高等数学37凹凸性方法方法1:1:方法方法方法方法2:2:2、拐点的求法：、拐点的求法：8高等数学37凹凸性证证( necessary condition)注：注：注：注：Th2Th2y=xy=x9高等数学37凹凸性解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点例例2 2(P199)(P199)(regions of concavity and convexity)10高等数学37凹凸性11高等数学37凹凸性方法方法2:2:例例3 3解解12高等数学37凹凸性13高等数学37凹凸性例例4(P199)4(P199)解解注意注意: :14高等数学37凹凸性例例5 5（补充）（补充）解解解解1 10 0由定义（由定义（由定义（由定义（1 1，0 0）是曲线的拐点。）是曲线的拐点。）是曲线的拐点。）是曲线的拐点。15高等数学37凹凸性例例6(补充）补充）证明不等式证明不等式证证证证 设设设设则则则则对对对对 即即即即又又又又16高等数学37凹凸性例例7 7（P200,P200,习题习题3-73-7，3 3（1 1）利用凹凸性证明：利用凹凸性证明：证证证证17高等数学37凹凸性四、小结四、小结（Brief summary)1、曲线的弯曲方向、曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;2、改变弯曲方向的点、改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定(定理定理1).曲线曲线 的凹凸区间及拐点的求法的凹凸区间及拐点的求法:(1)求求(2)解方程解方程并求并求不存在的点不存在的点;(3)用上述点划分用上述点划分(4)写出凹凸区间及拐点写出凹凸区间及拐点.18高等数学37凹凸性思考题思考题19高等数学37凹凸性思考题解答思考题解答例例注：注：注：注：若若若若f(x)f(x)在某区间内二阶导数存在，除个别点在某区间内二阶导数存在，除个别点在某区间内二阶导数存在，除个别点在某区间内二阶导数存在，除个别点则曲线在整个区间上仍是凹的（或凸的）。则曲线在整个区间上仍是凹的（或凸的）。则曲线在整个区间上仍是凹的（或凸的）。则曲线在整个区间上仍是凹的（或凸的）。20高等数学37凹凸性练练 习习 题题21高等数学37凹凸性22高等数学37凹凸性练习题答案练习题答案23高等数学37凹凸性第五题图第五题图24高等数学37凹凸性