自动化专业英语教程自动化专业英语教程教学课件July 28, 2007Email : wanghongwenhebut.edu.cn http: / www.hebut.edu.cnP2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹A 根轨迹根轨迹 1.课文内容简介：主要介绍自动控制原理中根轨迹的定义、幅角与幅值判据、绘制根轨迹的规则、根轨迹法用于系统设计和补偿等内容。2.温习自动控制原理中有关根轨迹的内容。3. 生词与短语factored adj. 可分解的depict v. 描述conjugate adj. 共轭的vector n. 矢量argument n. 辐角，相位counterclockwise adj. 逆时针的odd multiple 奇数倍even multiple 偶数倍P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹plot v. 绘图 n. 曲线图sketch v., n. （绘）草图，素描facilitate v. 使容易，促进coincide v. 一致asymptote n. 渐进线integer n. 整数intersect v. 相交real axis 实轴symmetrical adj. 对称的breakaway point 分离点arrival point 汇合点departure angle 出射角arrival angle 入射角thereof adv. 将它（们）imaginary axis 虚轴passive adj. 被动的，无源的P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹active adj. 主动的，有源的network n. 网络，电路phase-lead n. 相位超前phase-lag n. 相位滞后 4. 难句翻译1 as any single parameter, such as a gain or time constant, is varied from zero to infinity.当任意单一参数，如增益或时间常数，从零变到无穷时。2 These effects increase in strength with decreasing distance.随着到原点距离的减小，它们的作用强度会增加。此处distance指零（极）点到原点的距离。3 Ignoring for the weaker effect of the added pole, which is often placed at 10 times the distance to the origin, the zero忽略常被置于10倍于零点到原点距离处的附加极点的微弱作用，零点P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹5. 参考译文A 根轨迹根轨迹简介简介 控制系统三个基本的性能指标是稳定性、满意的稳态精度和满意的暂态响应。如果已知系统的传递函数，劳斯-胡尔维茨判据会告诉我们系统是否稳定。如果系统稳定，可以确定各种类型输入时系统的稳态精度。为了确定暂态响应的特性，我们需要知道特征方程的根在s 平面上的位置。遗憾的是，特征方程通常不能分解成因式并且是高阶的。 根轨迹技术是一种当任意单一参数，如增益或时间常数，从零变到无穷时确定特征方程的根的位置的一种绘图方法。因此，根轨迹不仅提供系统绝对稳定性而且提供稳定裕量的信息，稳定裕量是描述暂态响应特性的另一种方法。如果系统是不稳定的或暂态响应不令人满意，根轨迹给出可能改进响应的方法并很方便地定性描述这些改进的效果。P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹幅角与幅值判据幅角与幅值判据 没有传输延迟，系统的传递函数可以简化成两个多项式之比如下 根轨迹技术是将特征方程D(s)表示为1和一个新的s的多项式之和。特征方程可以写作 公式中K 是我们关注的参数，-z1， -z2， 是开环零点，-p1， -p2， .是开环极点。K 与s 无关，一定不能出现在多项式Z(s)(2-3A-1)(2-3A-2)P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 和P(s)中。KZ(s)/P(s)这个形式是重要的，这些极点和零点可能是实数或共轭复根。注意在公式(2-3A-2)中，s的系数总是定为1以用于根轨迹运算。 零点是使Z(s)等于零的值，用符号 表示。不要自动认为这个零点也是使系统（闭环）传递函数N(s)也等于零的闭环零点；它可能是，但不一定非是。极点是使P(s)等于零的值，用符号 表示。sn 项代表n 重极点，n 个极点都等于零且位于s 平面的原点。特征方程的根以前已经定义为使D(s)等于零的值。 由于s 是复变量，亟待和零点可能是复数，KZ(s)/P(s) 是复变函数，因此可用一个有幅值和与其相关的角度或叫幅角的矢量来表示。在公式(2-3A-2)右边的每一个分解因子可被看作P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 具有独自幅值和幅角的矢量，如图2-3A-1所示。注意幅角是以水平方向为基准、逆时针方向为正来计量的。 如果我们用极坐标表示每一个因子，得到 图 2-3A-1 根轨迹的幅角和幅值P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 如果我们合并幅值项并将指数项相乘，得到 注意特征方程公式(2-3A-3)，求解KZ(s)/P(s)得 而-1可表示成幅值为1，幅角为奇数倍180的矢量。根据公式(2-3A-3)和(2-3A-4)，我们看到有两个参数使特征方程D(s)等于零，即当K从0增加到无穷大时，有两个参数可以确定系统（闭环）极点。(2-3A-3)(2-3A-4)P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹幅值判据：幅角判据： P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 绘制根轨迹的规则绘制根轨迹的规则 应用幅角和幅值判据，显然根轨迹可由计算机绘出，但是，我们要介绍根轨迹草图的快速绘制方法。以下规则有助于根轨迹的绘制。1. 当K=0时，闭环极点等于开环极点。2. 当K时，闭环极点趋近开环零点。3. 根轨迹的分支数等于开环极点数。当K=0时，分支起始于每一个开环极点。随着K值的增加，闭环极点位置绘出根轨迹，当K时，根轨迹终止于开环零点。4. 如果开环零点少于开环极点（ji），那些无零点趋近的根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷大。渐近线的条数为（i-j）。5. 可从幅角判据中得到渐近线的方向。从所有m个开环零点和n个开环极点到s的矢量具有相同的角度。因此渐近线的角度P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 必须满足 （k=任意整数）。渐近线的角度是均匀分布的。6. 每一条渐近线与实轴有一个交点，与原点的距离为0 7. 根轨迹对称于实轴，因为复数开环极点和零点都是共轭对。 8.实轴上某个区间右侧实轴上的开环零极点数之和为奇数时，这个区间形成根轨迹，因为这个区间上的任一点满足幅角判据。 9.如果实轴上两个开环极点（或两个开环零点）之间有根轨迹，那么实轴上一定存在分离点（或汇合点）。如果附近没有其它的极点和零点，分离（或汇合）点一定位于两个极点（或P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 两个零点）的中间。在图2-3A-2d中，添加极点p3将会推远分离点，类似地，在p3的位置添加一个零点将会吸近分离点。图 2-3A-2 根轨迹图P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 10. 复数开环极点的出射角（或复数开环零点的入射角）是根轨迹最后一个重要的特征。对图2-3A-3上紧挨着p1的根轨迹上的点应用幅角判据。则有从其它零、极点到这一点的矢量角与它们到p1点的矢量角相同。从p1到这点的角度一定满足如下公式： 出射角： 类似地，入射角： 图 2-3A-3 根轨迹的出射角P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹使用根轨迹法作系统设计与补偿使用根轨迹法作系统设计与补偿 根轨迹被用于确定增益以获得预想的阻尼比或时间常数。比例控制设计不改变根轨迹的形状。但如果需要动态补偿，一个串联的补偿器会添加极点和零点到开环极、零点图形中去，以按照预想的方向改变根轨迹的图形。 像图2-3A-4所示的那样，添加一个极点会将根轨迹推离这个极点，添加一个零点会将根轨迹吸近这个零点。随着到原点图 2-3A-4 添加极点或零点的效果P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 距离的减小，它们的作用强度会增加。添加零点可以改善相对稳定性，因为它可以吸引根轨迹、或根轨迹的一部分离开虚轴进入左半平面，较远地离开虚轴。 在模拟控制系统中，通常用无源和有源电路来实现这些非常重要的补偿。包含补偿增益，传递函数具有如下形式： 相位超前时，zp。图 2-3A-5给出了极-零点图形。相位超前补偿近似于PD （比例-微分）控制，经常用 图 2-3A-5 相位超前和相位滞后举例P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 于降低信号噪声，因此而改善稳定性。相位滞后是一种常用的补偿，例如PI （比例-积分）控制，用来改善精度。但是，相位超前可能也改善精度，相位滞后也改善稳定性。 相位超前和相位滞后补偿举例： 在图2-3A-6a中，用相位超前代替比例控制，借助于补偿极点的作用，打算“吸引”比例控制的根轨迹分支回到左半平面 图 2-3A-6 相位补偿P2U3A The Root Locus 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文A 根轨迹根轨迹 上来。忽略常被置于10倍于零点到原点距离处的附加极点的微弱作用，零点被用来满足补偿的需要。 类似地，在相位滞后补偿中也使用一对极-零点。但是，这对极-零点离原点非常近，比图2-3A-6b 所表示的要近得多，画成这样是为了看清楚靠近原点根轨迹的形状。正像到虚线根轨迹上的点的矢量所表示的那样，这样一对极-零点电路对矢量角的影响很小。因此，主要的根轨迹几乎没有什么变化。靠近原点的图形具有图2-3A-4c 的形状。虽然主要的根轨迹几乎没有什么变化，我们感兴趣的增益系数已包含在回路增益函数中，可增加增益系数以改善稳态误差。P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 B 频率相应方法：奈氏图频率相应方法：奈氏图1.课文内容简介：主要介绍自动控制原理中使用频率相应方法的必要性和优点、频率传递函数、奈奎斯特稳定判据、增益裕量和相角裕量等内容。2.温习自动控制原理中讲解频域特性的有关章节。3. 生词与短语periodic adj. 周期性的random adj. 随机的misinterpretation n. 曲解，误译develop v. 导出，引入forcing frequency 强制频率partial fraction expansion 部分分式展开式bracket v. 加括号arbitrary adj. 任意的P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 polar plot 极坐标图tip n. 顶端versus prep. 对 the theory of residues 余数定理 identity n. 一致性，等式omit v. 省略simplicity n. 简单contour n. 轮廓，外形enclose v. 围绕semicircle n. 半圆形radius n. 半径undergo v. 经历net n. 净值；adj. 净值的revolution n. 旋转encircle v. 环绕indentation n. 缺口P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 infinitesimal adj. 无限小的misleading indication 导致错误的读数4. 难句翻译1 The wind loading of a tracking radar antenna, for example, results from a mean velocity component that varies with time plus superimposed random gusts.例如，跟踪雷达天线的风力负载是由一个随时间变化的平均速度成分与叠加的随机阵风组成的。2 , it is only approximate and is subject to misinterpretation.只是近似的而且容易判断错误。3 It is also the negative phase shift (i.e., clockwise rotation) of KZ(s)/P(s) which will make the curve pass through -1.它也是能使曲线通过-1点的KZ(s)/P(s)的负相位移动（即顺时针旋转）的角度。P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 5. 参考译文B 频率响应：奈奎斯特图频率响应：奈奎斯特图简介简介 有时在频域而不是在根轨迹的s域开展研究工作是必要或有益的。因为做系统分析时，根轨迹法需要传递函数，但获得某些元件、子系统以致系统的传递函数很困难、甚至是不可能的。在这种情况下，可用实验方法确定在已知频率和幅值的正弦测试波作用下的频率响应。 输入信号的性质也影响系统分析和设计方法的选择。许多命令输入仅仅是让系统从一个稳态转移到另一个稳态。这类输入可用位置、速度和加速度恰当的步骤进行充分的描述，并适合在s域作分析。但是，当各个步骤的时间间隔减少到系统没有时间到达每一步输入的稳态时，用阶跃表示法和s域作分析就力不从心了。如此快速变化的命令输入（或扰动）可能是周期的、随机的、或二者并存。例如，跟踪雷达天线的风力负载P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 是由一个随时间变化的平均速度成分与叠加的随机阵风组成的。如果这些输入的频率分布可以计算、检测甚至预测，频率响应可用来确定输入对系统输出的作用。 频率响应是一种稳态响应。虽然可以得到某些关于暂态响应的信息，但这些信息只是近似的而且容易判断错误。频率传递函数频率传递函数 有必要建立在频域使用的输入-输出关系，即频率传递函数。讨论具有已知传递函数G(s)的线性系统，施加正弦输入或 公式中r0是幅值，0是输入或强制频率。转换后的输出是P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 C(s)的部分分数展开式为 公式中-r1, -r2, 是传递函数特征方程的根。反变换为 公式中头两项代表来自正弦输入的无阻尼振荡，其它项是暂态响应。如果系统是稳定的，暂态响应将随时间衰减到零，留下来的是稳态响应。P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 系数C1和C2用海维赛德展开定理求得 将结果代入C1和C2，式(2-3B-1)为(2-3B-1)(2-3B-2)P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 因为它们是复变函数 公式中角度是G(j0)的幅角，等于(ImG/ReG)的余切。式(2-3B-2)现可写成 因为括弧内的项等于sin(0t+)，稳态响应可以写成P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 从这些公式中我们看到给一个线性稳定系统施加正弦输入会产生一个正弦稳态响应，输入和输出频率相同，但有一个相角位移 并且幅值可能不同。这个稳态正弦响应被称作系统的频率响应。由于相角是与复变函数G(j0)相关的角度而幅值比(c0/r0)是G(j0)的幅值，G(j0)的情况说明了频域下稳态输入-输出关系。 G(j0)称作频率传递函数并可将传递函数G(s)中的s 用j0替代而得到。因此，如果通过实验可以确定G(j0)，将j0换成s即可得到G(s)。 对一个给定的系统，如果输入频率从零到无穷大每单位时间弧度变化时的幅值比和相角已知，则频率响应可以完全确定。 P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 考虑图2-3B-1传递函数 为 的稳定 一阶系统，频率传递函 数是 ， 公式中的可以是任意频 率。 幅值比是 相角为图 2-3B-1 一阶系统的M, 和极坐标图P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 当输入频率从零增加到无穷大时，我们可以画出M 和随的变化曲线和极坐标图形， 极坐标图形指的是随的变化频率传递函数矢量顶端的轮廓线。在频域，极坐标图、M 和随的变化曲线被用来表示不同类型的复变函数。注意，在频域作研究时为方便起见，每个因子的常数项定为1，而在s域s的最高次数项的系数被定为1。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 在频域，留数定理被用来检测右半平面的根。与根轨迹方法一样，特征方程还是用 1+ KZ(s)/P(s) 的形式，同样函数 KZ(s)/P(s) 可以是或不是开环传递函数。为建立奈奎斯特判据，特征方程可写成多项式之比，即(2-3B-3)P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 比较恒等式(2-3A-2)，我们看到-r1, -r2, 是特征方程的根，-p1, -p2, 是特征方程和KZ(s)/P(s)的极点。为简化起见，原点处的极点和根被忽略。但是，在很多情况下，为找到在s平面极点的位置去分解闭环传递函数D(s)的分母多项式是困难的。 为证明D(s)的稳定性，必要且充分的条件是是没有零点（对闭环传递函数是极点）-ri 在s 平面的右半平面。我们引进奈奎斯特轮廓线D 如图2-3B-2所示，它包含了s平面的整个右半平面。D由从-j到+j的虚轴和半径R的半圆组成。 图 2-3B-2 奈奎斯特轮廓线DP2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 从原理上说，稳定性分析是基于在复平面上当s 沿着封闭轮廓线D顺时针旋转一周时绘制1+ KZ(s)/P(s)的图形。因子(s+ri)和(s+pi)是从-ri和-pi到s的矢量，对任意值s，如果ri 已知，1+ KZ(s)/P(s)的幅值和相位可通过测量图2-3B-2的矢量长度和角度用图形法确定。 注意在虚轴上s=j。当s沿虚轴从=0+ 变化到 时1+KZ(s)/P(s)的图形就是频率响应函数1+ KZ(j)/P(j)的图形。因此频率响应函数可用绘图法确定，根据极-零点分布通过测量得图2-3B-3。图 2-3B-3 奈奎斯特图P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 图2-3B-2表明：如果s 绕D 顺时针旋转一周，每一个D 内极点和零点所构成的矢量(s+ri) 和 (s+pi)顺时针旋转360；而对每一个D 外极点和零点所构成的矢量(s+ri) 和 (s+pi)则不构成净旋转。如果分子上的矢量(s+r1)顺时针旋转360，这将导致复平面上的矢量1+ KZ(s)/P(s) 顺时针旋转360。如果分母上的矢量(s+p1)顺时针旋转360，这将导致矢量1+ KZ(s)/P(s) 逆时针旋转360。D 外部的极点和零点不会导致任何净旋转。结果表述如下： 幅角原理：如果1+KZ(s)/P(s)有R个零点和P个极点在奈奎斯特轮廓图D内，当s沿D顺时针旋转一周时，图形1+KZ(s)/P(s)将按顺时针方向环绕复平面原点N=R-P次。 图形1+KZ(s)/P(s)环绕原点的次数等于图形KZ(s)/P(s)环绕负实轴上-1点的次数。利用这一点，下述结论已得到证明。 奈奎斯特稳定判据：如果而且只要回路增益函数KZ(s)/P(s)的图形逆时针环绕-1点的次数等于KZ(s)/P(s)在右半平面的极点数，则这个反馈系统是稳定的，这些在右半平面的极点称作开环不稳定极点。 P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 对KZ(s)/P(s)在虚轴上有极点的临界情况，通过造一个绕着这些极点、半径为无穷小的半圆形缺口将它们排除在奈奎斯特图之外。做法如图2-3B-4所示，这是常见的在原点有极点的情况。当s环绕D一周时所画出的KZ(s)/P(s)的图形叫奈氏图，需要使用判据来判断系统是否稳定。图 2-3B-4 原点处有极点的情况P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 增益余量和相位余量增益余量和相位余量 大多数实际系统开环是稳定的，这样系统的稳定性要求奈氏图环绕-1点的环绕次数为零。为了确定这一点，事实上并不需要画出完整的奈氏图，画出从0+到+的极坐标图就够了。 简化的奈氏判据：如果KZ(s)/P(s)在右半平面没有极点，闭环系统稳定的必要和充分条件是：随着的增加，-1点位于画出的极坐标图的左边。 例如，回路增益函数的极坐标图表明这是一个稳定系统。如果曲线通过-1点，系统处于临界不稳定状态。为得到足够的相对稳定性，合理的做法是曲线不要离-1点太近。增益余量和相位余量是两个常用的设计数据，它们规定了极坐标图上指定点到-1点的距离。增益余量和相位余量的定义如图2-3B-5所示：图 2-3B-5 增益余量和相位余量P2U3B The Frequency Response Methods: Nyquist Diagrams 第二部分第三单元课文第二部分第三单元课文B 频率相应方法频率相应方法;奈氏图奈氏图 1. 增益余量=1/OC。 2. 相位余量m= 180加上在穿越频率c 时KZ(s)/P(s)的相角，在穿越频率时KZ(s)/P(s)的幅值为1。它也是能使曲线通过-1点的KZ(s)/P(s)的负相位移动（即顺时针旋转）的角度。 增益余量和相位余量都规定了曲线上唯一的一个点到-1点的距离，因此可能使人误解。相位余量在实践中被广泛应用。