3.1导数的概念及运算基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.导数与导函数的概念导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作 .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.知识梳理f(x0)2.导数的几何意义导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(为常数)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x0)0x1cos xf(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_sin xexaxln a4.导数的运算法则导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x) ；(3) (g(x)0).5.复合函数的导数复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知识拓展知识拓展1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.3.af(x)bg(x)af(x)bg(x).4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.()考点自测1.(教材改编)若f(x)xex，则f(1) .答案解析2ef(x)exxex，f(1)2e.1因为(cos x)sin x，所以错误；答案解析3.(教 材 改 编 )曲 线 y 5ex 3在 点 (0， 2)处 的 切 线 方 程 为 .答案解析5xy20因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.4.(教材改编)若过曲线y 上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为 .答案解析5.(教材改编)函数f(x)x3的斜率等于1的切线有 条.答案解析2y3x2，设切点为(x0，y0)，题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一导数的计算题型一导数的计算例例1求下列函数的导数.(1)yx2sin x；(2)yln x ；解答y(x2)sin xx2.(sin x)2xsin xx2cos x.解答(3)y ；解答(4)ysin(2x )；解答(5)yln(2x5).解答令u2x5，则yln u，(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.思维升华跟踪训练跟踪训练1 (1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0 .答案解析f(x)2 016ln xx 2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.1(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1) .答案解析2f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义题型二导数的几何意义命题点命题点1求切线方程求切线方程例例2(1)(2016南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则 的值为 .答案解析(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .答案解析xy10点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点命题点2求参数的值求参数的值例例3(1)(2016徐州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .答案解析e设切点坐标为P(x0，y0)，由yex，得 ，从而切线方程为 ，又切线过定点(0，0)，从而 ，解得x01，则me.几何画板展示几何画板展示(2)(2016苏州暑假测试)已知函数f(x)x1 ，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，则实数k .答案解析则f(x0)k，即1 k，且kx01x01 ，1e几何画板展示几何画板展示命题点命题点3导数与函数图象的关系导数与函数图象的关系例例4 如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为右图中的 .答案解析导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0， y0)的切线方程， 可设切点为(x1， y1)， 由求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.思维升华答案解析3设切点的横坐标为x0，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.答案解析1典典例例若存在过点O(0，0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.错解展示求曲线的切线方程现场现场纠错系列纠错系列3现场纠错纠错心得几何画板展示几何画板展示课时课时作作业业123456789101112131.(2016天津)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为 .答案解析3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.1415162.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为 .答案解析因为切线过点(0，0)，所以ln x01，123456789101112131415163.若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为 .答案解析y3x26xp，设切点为P(x0，y0)，123456789101112131415164.若f(x)2xf(1)x2，则f(0) .答案解析4f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.123456789101112131415165.(2016江苏扬州中学期中)若x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，则k .答案解析e212345678910111213141516答案解析由题意可知f(x) ，g(x) ，123456789101112131415167.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a .答案解析1f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.所以函数在(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1).将(2，7)代入切线方程，得7(a2)13a，解得a1.123456789101112131415168.(2016南京模拟)曲线ylog2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 .答案解析123456789101112131415169.若函数f(x) x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .答案解析2，)f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，12345678910111213141516*10.已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为 .答案解析1123456789101112131415166答案解析1234567891011121314151612.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.1答案解析f(1)2f(1)1，则f(1)1.1234567891011121314151613.已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.0答案解析1234567891011121314151614.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1，2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_答案解析12345678910111213141516(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；解答在点P(2，4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.12345678910111213141516(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解答1234567891011121314151616.设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；解答12345678910111213141516(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解答12345678910111213141516