14.2不等式选讲第1课时绝对值不等式基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：1.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法知识梳理不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(a，a)(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|c；|axb|c；caxbcaxbc或axbc(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则 |ab| ，当且仅当 时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么 ，当且仅当_时，等号成立.|a|b|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)01.(2015山东改编)解不等式|x1|x5|2的解集.考点自测解答当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；解答(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解答所以a的取值范围为(2，).思维升华解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.跟踪训练跟踪训练1(1)解不等式|x1|x2|5的解集.解答当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2.|ax2|3，1ax5.当a0时，xR，与已知条件不符；解答题型二利用绝对值不等式求最值题型二利用绝对值不等式求最值例例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值.解答x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解答|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.跟跟踪踪训训练练2(1)(2016深圳模拟)若关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解，求d的取值范围.|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1，解答关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d1.又sin y的最大值为1，有|a2|1，解得a1,3.解答题型三绝对值不等式的综合应用题型三绝对值不等式的综合应用例例3(2016石家庄模拟)设函数f(x)|x3|x1|，xR.函数f(x)|x3|x1|(1)解不等式f(x)1；解答(2)设函数g(x)|xa|4，且g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求实数a的取值范围.解答函数g(x)f(x)在x2,2上恒成立，即|xa|4|x3|x1|在x2,2上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像，如图所示.故当x2,2时，若0a4时，则函数g(x)在函数f(x)的图像的下方，g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求得4a0，故所求的实数a的取值范围为4,0.思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.跟踪训练跟踪训练3已知函数f(x)|xa|x2|.解答(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xa对于一切xR恒成立，求实数a的取值范围.解答由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a0恒成立，即(|x3|x7|)minm，由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m1的解集.解答由f(x)的表达式及图像，当f(x)1时，可得x1或x3；123456789108.已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3x2时，有2x13，解得1x2.综上，f(x)3的解集为x|x1.解答12345678910(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范围.由绝对值不等式的性质可得，|x3|x2|(x3)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以a的取值范围是1,9.解答12345678910解答123456789109.(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.解答(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3. 12345678910当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).10.已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；解答12345678910当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0，原不等式的解集是x|0x2.12345678910解答