名师精编优秀资料线性 代 数 重要 知 识 点1、 行 列 式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM4.设 n行列式 D ：将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21( 1)n nDD；将 D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22( 1)n nDD；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将 D 主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于 n阶行列式A ，恒有：1( 1)nnknkkkEAS，其中kS为 k 阶主子式；7.证明0A的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明0 是其特征值；2、 矩 阵1.A 是 n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR， Axb总有唯一解；A与 E 等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师精编优秀资料A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于 n阶矩阵 A ：*AAA AA E 无条件恒 成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、 B 可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA ；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）3、 矩 阵 的 初 等 变 换与 线 性 方 程 组1.一个 mn 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、 B ，若()()r Ar BAB；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EEX，则 A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为 E 时， B 就变成1AB，即：1(,)(,)cA BE A B ；、求解线形方程组：对于n个未知数 n个方程 Axb，如果(, )(,)rA bE x，则 A 可逆，且1xA b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘 A的各行元素；右乘，i乘 A 的各列元素；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师精编优秀资料、对调两行或两列，符号( , )E i j，且1( , )( , )E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且11( ( )( ()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号( )E ij k,且1( ( )( ()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(, )m nr Am n；、()()Tr Ar A；、若 AB ，则()()r Ar B；、若 P 、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max( (), ()(,)()()r A r Br A Br Ar B；（ ）、()()()r ABr Ar B；（ ）、()min(),()r ABr Ar B；（ ）、如果A 是 mn矩阵， B 是 n s矩阵，且0AB，则：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若 A 、 B 均为 n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmmnm、组合的性质：111102nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX ；、*1AA A、1*nAA8.关于 A矩阵秩的描述：、()r An， A中有 n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；（两句话）、()r An， A中有 n阶子式全部为0；、()r An， A中有 n阶子式不为0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师精编优秀资料9.线性方程组：Axb，其中 A为 mn 矩阵，则：、 m 与方程的个数相同，即方程组Axb有 m个方程；、 n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为 n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n个未知数 m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为 mn 矩阵， m 个方程， n个未知数）、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（ n为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相关 性1.m个 n维列向量所组成的向量组A：12,m构成 n m 矩阵12(,)mA；m个 n维行向量所组成的向量组B ：12,TTTm构成 m n 矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解； (101P例 14) 4.()()Tr A Ar A；(101P例 15) 5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 ；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s线性相关，则121,ss必线性相关；若12,s线性无关，则121,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个分量，构成n维向量组 B ：若 A线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组 A 能由向量组B 线性表示，则()()r Ar B；向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解；()(,)r Ar A B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师精编优秀资料向量组 A 能由向量组B 等价()()(,)r Ar Br A B8.方阵 A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAPPP；、矩阵行等价：rABPAB （左乘，P 可逆）0Ax与0Bx同解、矩阵列等价：cABAQB （右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（ P 、Q可逆）；9.对于矩阵m nA与lnB：、若 A 与 B 行等价，则A 与 B 的行秩相等；、若 A 与 B 行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A 的行秩等于列秩；10.若mss nmnABC，则：、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx只有零解0Bx只有零解；、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解；12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：1212(,)(,)rsb bbaaaK（ BAK ）其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则B 组线性无关()r Kr；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当 rs时， K 为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；、对矩阵m nA，存在nmP，nPAE()r An、 P 的行向量线性无关；14.12,s线性相关存在一组不全为0 的数12,skkk，使得11220sskkk成立；（定义）1212(,)0ssxxx有非零解，即0Ax有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n元齐次线性方程组0Ax的解集 S 的秩为：()r Snr；16.若*为 Axb的一个解，12,nr为0Ax的一个基础解系，则*12,nr线性无关；5、 相 似 矩 阵 和 二 次型1.正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质：、 A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij；、若 A 为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；、若 A 、 B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化 ；2.施密特正交化：12(,)raaa11ba；1222111,b ababb b121121112211,rrrrrrrrrb ababababbbb bbbbb; 3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于 实对称阵 ，不同特征值对应的特征向量正交；4.、 A与 B 等价A经过初等变换得到B ；PAQB， P、Q可逆；()()r Ar B， A、 B 同型；、 A与 B 合同TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师精编优秀资料、 A与 B 相似1PAPB；5.相似一定合同、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与 E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TCACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0；0,0iiaA；(必要条件 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页