八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 问题问题1 1 如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个上修建一个泵站，分别向泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P 可使输气管线最短可使输气管线最短1 1、两点之间，线、两点之间，线段最短。段最短。2 2、三角形两边之、三角形两边之和大于第三边和大于第三边问题问题2牧马人从牧马人从A A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l饮马，饮马，然后到然后到B B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走过的地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走过的路径最短？路径最短？探索新知探索新知BAlBAlC当当C C点在直线点在直线l l的什么位置时，的什么位置时，AC+CBAC+CB的和最小的和最小？联想问题联想问题1 1的解决方法的解决方法BAlClCBA思考：思考： 能把能把A、B两点转化到直线两点转化到直线l的异侧吗？的异侧吗？BAlC分析：分析：1、做点、做点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B，连接，连接CB B 2、AC+CB=AC+CB ，如果，如果AC+CB 的和最小，的和最小，那么那么AC+CB的和就最小的和就最小作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC