1.2 2排列 排列及有关概念排列、排列数与排列数公式 名师点拨名师点拨1.排列的定义中包括两个基本内容,一是“取元素”,二是“按照一定的顺序排成一列”.前者容易理解,但要注意这n个元素必须是“不同”的;后者“一定的顺序”表示与位置有关,这里的位置应视具体情况而定.2.只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列,都不是同一个排列.3.在定义中规定mn,如果mn,有的书上称作选排列,如果m=n,称作全排列. 【做一做1】下面问题中,是排列问题的是()A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选11人组成足球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.答案A答案:D 【做一做3】由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列an,则a72等于()A.1 543B.2 543C.3 542D.4 532解析容易得到千位为1时组成四位数的个数为 =24,则千位为2,3,4,5时均有四位数24个,由于243=72,四位数由小到大排列,可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3 542,故选C.答案C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)若两个排列的元素相同,则两个排列是相同的排列.()(2)式子Anm中m不能为0.()(4)在同一排列中,同一元素不能出现两次.()(5)(n+1)!-n!=nn!.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二探究三思维辨析【例1】 判断下列问题是不是排列问题.(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能?(2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能?(3)会场有50个座位,要求选出3个座位安排3位客人就座,有多少种不同的方法?探究一探究二探究三思维辨析分析判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序,有顺序且是从n个不同的元素中任取m(mn)个不同的元素的问题就是排列,否则就不是排列.解(1)不是.因为加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时与两元素位置无关.(2)是.做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样.(3)是.“入座”问题同“排队”一样,与顺序有关,故选3个座位安排3位客人是排列问题.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 排列有两层含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1判断下列问题是否是排列问题:(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果?(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?解(1)是.选出的2人,担任正、副班长,即与顺序有关.(2)是.显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,即与顺序有关.(3)是.点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系,即与顺序有关.探究一探究二探究三思维辨析分析(1)直接运用排列数的公式计算.(2)用排列数的公式展开得方程,然后求解.要注意x的取值范围,并检验根是否合理.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 排列数公式的应用(1)排列数的第一个公式 =n(n-1)(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点.(2)排列数的第二个公式 ,适用于与排列数有关的证明、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“mn且m,nN+”的运用.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析【例3】 (1)写出从4个不同元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列,并指出有多少种不同的排列.(2)用0到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数?分析(1)直接依据排列的定义来解.(2)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,此方法一般是直接分步法;或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类,再安排一般的元素(或位置),即先分类后分步.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 解答排列应用题时,要注意以下几点:(1)仔细审题,明确题意,明确题目中的事件是什么,可以通过什么样的程序来完成这个事件,进而选用相应的模型计算,不能乱套公式,盲目计算.(2)明确问题的限制条件,注意特殊元素和特殊位置,必要时可画出框图或树形图帮助思考.(3)由于排列应用题中的各种情况比较复杂,单纯利用排列知识不能解决问题,应结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理来分析,合理地进行分类或分步,通过讨论来解决问题.(4)对于有限制条件的较为复杂的问题,通常有正向思考和逆向思考两种思路.正向思考时,要设法将较复杂的问题进行分解后直接求解.逆向思考时,先求不带限制条件的所有情况,再减去不符合限制条件的情况,也就是间接求解.另外,分析排列情况时,要防止重复和遗漏.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练 3(1)有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招一名新员工,且3名大学生全部被聘用,若不允许兼职,则共有多少种不同的招聘方案?(2)有一部电影,被安排到4个单位去放映,每个单位放映1场,不同的放映方式有几种?解(1)将5家招聘员工的公司看成5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学生,则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题,所以不同的招聘方案共有 =60种.(2)不同放映方式,即4个单位的所有排列,故共有 =24种不同的放映方式.探究一探究二探究三思维辨析因错用排列所需要的步骤而致误【典例】6个人站成前后三排,每排2人,有多少种不同的排法?易错分析排列问题中,6人排三排,每排2人,与排两排,每排3人,还是一排6人,其排列情况是一样的.千万不要因步骤出错而致误.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得纠错心得 1.首先要分清是分类还是分步,这是一个大的原则,一般情况下,对于较为复杂的问题,多是先分类,再在每一类中分步解决.2.其次要分清题型,可将题目大体分为诸如特殊位置(元素)类、相邻问题类、插空问题类等,再利用相应方法计算.3.最后注意应用正难则反的解题思想,即间接法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练 七人并排站成一排,如果甲、乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是.答案:3 60012341.下列问题属于排列问题的是()从10个人中选2人分别去种树和扫地;从10个人中选2人去扫地;从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.A.B.C. D.解析根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.答案A12342.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲B.甲乙丙,乙丙甲C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙D.甲乙,甲丙,乙丙解析选出两人,两人的不同站法都要考虑.答案C123412344.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复),并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示种不同的信号.答案:15