高等数学高等数学主要内容n一、基本初等函数的导数一、基本初等函数的导数n二、函数四则运算求导法则二、函数四则运算求导法则n三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则n四、隐函数求导法则四、隐函数求导法则高等数学高等数学一、常数和基本初等函数的导数一、常数和基本初等函数的导数高等数学高等数学二、函数的四则运算的求导法则二、函数的四则运算的求导法则定理定理 如果函数如果函数在点在点x处可导，则它处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处可处可导，并且导，并且高等数学高等数学证证(3)(3)高等数学高等数学高等数学高等数学推论推论高等数学高等数学高等数学高等数学例例1 1解解例例2 2 求函数求函数的导数的导数.解解高等数学高等数学例例3 3解解同理可得同理可得高等数学高等数学例例4 4解解同理可得同理可得高等数学高等数学定理定理3即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则高等数学高等数学推广推广高等数学高等数学例例6 6解解解解例例5 5高等数学高等数学例例7 7解解高等数学高等数学例例6 6解解解解例例5 5高等数学高等数学例例7 7解解 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。 高等数学高等数学复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 如设如设 那么对于复合函那么对于复合函数数 ，我们有如下求导法则：，我们有如下求导法则： 例例8求求 的导数的导数解：解： 设设 由由 得得 即即高等数学高等数学例例9 9解解高等数学高等数学例例1010解解例例1111解解高等数学高等数学四、隐函数的导数四、隐函数的导数1.1.定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.高等数学高等数学例例1212所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数解解 将方程两边分别关于将方程两边分别关于求导，求导，得得高等数学高等数学例例2 2解解:所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.高等数学高等数学例例1414解解解得解得高等数学高等数学例例1515生物群体总数的生长规律为生物群体总数的生长规律为为生物群体在为生物群体在t t时刻的总数，时刻的总数，均为常数，且均为常数，且试求生长率试求生长率高等数学高等数学解解 原方程原方程整理得整理得方程两边对方程两边对t求导求导高等数学高等数学参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?高等数学高等数学由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得高等数学高等数学例例9 9解解高等数学高等数学 所求切线方程为所求切线方程为高等数学高等数学例例1010解解例例1111解解高等数学高等数学五、高阶导数的定义五、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义高等数学高等数学记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,高等数学高等数学高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1212解解高等数学高等数学例例1313解解高等数学高等数学例例1414解解同理可得同理可得高等数学高等数学例例15 15 求函数求函数的二阶导数的二阶导数.解解高等数学高等数学小结小结1.注意注意2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;高等数学高等数学3.已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或或初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.4.任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本高等数学高等数学练习练习解解解得解得高等数学高等数学思考题思考题高等数学高等数学思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，高等数学高等数学思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.高等数学高等数学思考题解答思考题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和作业p79-22-(1)至(4) 预习 2-3,4高等数学高等数学1.练习练习对吗对吗? ?高等数学高等数学