回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值ab xyo（4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）注意微元法的本质）二、小结二、小结思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗吗？解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积二、极坐标系情形二、极坐标系情形解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积解解利用对称性知利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为练练 习习 题题练习题答案练习题答案 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 方程为方程为解解解解补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中解解体积元素为体积元素为二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答交点交点立体体积立体体积练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形二、直角坐标情形解解所求弧长为所求弧长为解解曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、参数方程情形三、参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形四、极坐标情形解解解解平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式五、小结五、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为二、水压力二、水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积微元面积微元三、引力三、引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关练练 习习 题题练习题答案练习题答案第六章习题课第六章习题课微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容1 1、理论依据、理论依据2 2、名称释译、名称释译3 3、所求量的特点、所求量的特点4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5) 细棒的质量细棒的质量(6) 转动惯量转动惯量(7) 变力所作的功变力所作的功(8) 水压力水压力(9) 引力引力(10) 函数的平均值函数的平均值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例2 2解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例例3 3解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为测测 验验 题题测验题答案测验题答案