导数的概念导数的概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。小变化时，函数大体上变化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻理解它的实质准确叙述导数定义并深刻理解它的实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式牢固掌握链式法则牢固掌握链式法则掌握隐函数和参量函数求导法掌握隐函数和参量函数求导法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度速度反映了路程对时间变化的快慢程度 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即如图如图,二、导数的定义二、导数的定义定义定义即即其它形式其它形式关于导数的说明：关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质变化率的本质注意注意: :2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.播放播放单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解特别地特别地例例5 5解解特别地特别地例例6 6解解四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,例如例如,01例如例如,011/1/例例8 8解解六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题思考题解答思考题解答