3.6 3.6 圆内接四边形圆内接四边形1复习回顾：复习回顾： 什么是三角形的外接圆？什么是圆什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？的内接三角形？2什么是圆的内接四角形什么是圆的内接四角形？什么是四边形的外接圆？什么是四边形的外接圆？ 定义：定义：如果一个四边形的所有顶点都在一如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上个圆上,那么这个四边形叫做那么这个四边形叫做圆的内接四边圆的内接四边形形,这个圆叫做这个圆叫做四边形的外接圆四边形的外接圆. 思考思考:（1）任意三角形都有外接圆吗？）任意三角形都有外接圆吗？（2）任意四边形都有外接圆吗）任意四边形都有外接圆吗?3OC CA AB BD DOC CA AB BD DOC CA AB BD D注：一个三角形一定有一个外接圆，注：一个三角形一定有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆但一个四边形不一定有外接圆45任意画一个圆，在圆上依次取四个点任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？度数之和，你发现了什么？6证法一证法一已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，求证：，求证：DAB+DCB=180DAB+DCB=180，B+D=180B+D=180同理可得：同理可得：DAB+DAB+ DCB=180DCB=1807已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，求证：，求证：A+C=180A+C=180，B+D=180B+D=180证法二证法二8 几何语言几何语言 四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O A+C=180A+C=180 B+D=180B+D=180圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补91 1、已知圆内接四边形有一个内角、已知圆内接四边形有一个内角是是50500 0，求它的对角的度数，求它的对角的度数2 2、 若若O O内接四边形内接四边形ABCDABCD中满足中满足A=CA=C，B=DB=D，则四边形，则四边形ABCDABCD是怎样的特殊的四是怎样的特殊的四边形？边形？ 做一做做一做10若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪个为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立选项可能成立（ ）（A）ABCD 1 2 3 4 （B）ABCD 2 1 3 4 （C）ABCD 3 2 1 4 （D）ABCD 4 3 2 1B补充练习：补充练习：11例题讲解例题讲解 例例1 如图如图,ABC的外角平分线的外角平分线AD交外交外接圆于接圆于D,求证求证:DB=DC.解：解： AD AD是是EACEAC的平分线的平分线DAC=DAEDAC=DAE四边形四边形ABCDABCD内接于内接于 O OB BAD+AD+BCD=180BCD=180（圆内接四边形的对角互补）（圆内接四边形的对角互补）又又 B BAD+AD+DAE=180DAE=180BCD=DAE( ? ) BCD=DAE( ? ) 而而DBC=DAC DBC=DAC ( ? ) ( ? ) DAC=DAE DAC=DAE DBC=DCB DBC=DCB DB=DC DB=DC121 1、如图，、如图，ABAB为为O O的直径，已知的直径，已知BAC=40BAC=40, ,求求D D的大小的大小2 2、圆内接四边形、圆内接四边形ABCDABCD中中,A:B:C,A:B:C=2:3:7,=2:3:7,则则A=A= B=B= C=C= D=D= 。404060601401401201203 3、任意画一个矩形，再、任意画一个矩形，再画出它的外接圆画出它的外接圆设 A=2x, ,则C=7x.A+C=180.A+C=180,x=20,x=20. . 作业题作业题13 例例2 如果要把直径为如果要把直径为30cm30cm的圆柱形原木锯成的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如如果这根原木长果这根原木长15m15m，问锯出的木材的体积为多少，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？立方米（树皮等损耗略去不计）？14直径直径AC=BD=30cmAC=BD=30cmAO=BO=15cmAO=BO=15cmSS正方形正方形ABCDABCD=15=1515151/21/24=4504=450（cmcm2 2）=4.5=4.51010-2-2（m m2 2）V=4.5V=4.51010-2-215=0.67515=0.675（m m3 3）答答:沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材，若原木长为15m,其体积为0.675m3.解：如图，设圆木的截面为圆O，要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能大，正方形ABCD应内接于圆O. 正方形ABCD的各个内角都是直角，得它的两条对角线是圆O的直径，且这两条对角线互相垂直。 所以只要在圆O内作互相垂直的直径AC和BD,就可以作出面积最大的正方形ABCD.152 2 2 2、已知、已知、已知、已知: : : :如图以等腰三角形如图以等腰三角形如图以等腰三角形如图以等腰三角形ABCABCABCABC的底边的底边的底边的底边BCBCBCBC为直径的为直径的为直径的为直径的O O O O分分分分别交两腰别交两腰别交两腰别交两腰ABABABAB、ACACACAC于点于点于点于点D D D D、E E E E，连结连结连结连结DEDEDEDE，求证：，求证：，求证：，求证：DEBCDEBCDEBCDEBC。 1 1、已知、已知: :四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，AA5050， D-B D-B 4040求求B B、C C、D D的度数的度数作业题作业题A AB BC CO OD DE E165 5、圆内接四边形、圆内接四边形ABCDABCD中中, , ABAB、BCBC、CDCD、DADA的度数之比为的度数之比为1:2:3:41:2:3:4 ，求四边形，求四边形ABCDABCD各内各内角的度数角的度数3 3、圆内接四边形圆内接四边形ABCDABCD中中,ADC,ADC与与ABCABC 的比为的比为3:23:2，求，求B B、D D的度数。的度数。4 4、已知四边形、已知四边形ABCD, ABCD, A A、B B、C C、D D的度数之比为的度数之比为3:1:2:53:1:2:5 ，判断这个四边形是，判断这个四边形是不是圆内接四边形？并说明理由。不是圆内接四边形？并说明理由。176 6、求证：圆内接平行四边形是矩形。、求证：圆内接平行四边形是矩形。O OC CD DB BA A已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是圆的内接四是圆的内接四边形并且边形并且ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。18补充补充已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD的四个顶点在的四个顶点在O O上，上，A A100100，点，点E E在在BCBC的延长线上，求的延长线上，求DCEDCE的度数。的度数。E E圆内接四边圆内接四边形的形的性质性质：圆内接四边圆内接四边形的每一个形的每一个外角都等于外角都等于它的内角的它的内角的对角对角19 1.如图如图, O1 ,O2 交于点交于点M,N ,直线直线AB过过M,与与 O1 , O2 分别交于点分别交于点A,B,直线直线CD过点过点N,与与 O1 , O2 分别交分别交于点于点C,D,求证求证:AC/BD. 分析分析:两圆相交的问题两圆相交的问题,公公共弦是沟通两圆的桥梁共弦是沟通两圆的桥梁.拓展拓展20小结小结1、定义：定义：如果一个四边形的所有顶点都在一如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上个圆上,那么这个四边形叫做那么这个四边形叫做圆的内接四边形圆的内接四边形,这这个圆叫做个圆叫做四边形的外接圆四边形的外接圆.2、圆内接四边形的性质定理、圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补21