8 差异分析策略差异分析策略 任何数学问题都存在不同形式的任何数学问题都存在不同形式的差异，没有差异就无须解题，解题过差异，没有差异就无须解题，解题过程实质上就是不断寻找差异和不断消程实质上就是不断寻找差异和不断消除问题的条件和解题目标之间的差异、除问题的条件和解题目标之间的差异、逐步达到条件与结论和谐统一的转化逐步达到条件与结论和谐统一的转化过程。过程。 我们在解题时常常会碰到题目的条件与我们在解题时常常会碰到题目的条件与结论间在其形式、结构、图形或数字间存在结论间在其形式、结构、图形或数字间存在着差异。实践告诉我们，学生解题失败的一着差异。实践告诉我们，学生解题失败的一个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何处着手，实质是找不到题中应消除的差异，处着手，实质是找不到题中应消除的差异，使思维无法展开。若将条件与结论间的差异使思维无法展开。若将条件与结论间的差异称之为目标差称之为目标差, ,那么我们解题的关键就在于那么我们解题的关键就在于设计一个使目标差不断减小的方案。发现了设计一个使目标差不断减小的方案。发现了题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题就可找到突破口。题就可找到突破口。 在使用差异分析策略解题时在使用差异分析策略解题时寻找差异寻找差异是基础是基础消除差异消除差异是目标是目标转化差异转化差异是关键是关键所谓所谓差异分析策略差异分析策略,就是通过分析就是通过分析条件和结论之间的差异条件和结论之间的差异,并不断减少并不断减少目目标差标差(条件与结论之间的差异条件与结论之间的差异)来完成解来完成解题的策略。题的策略。 差异分析是证明三角恒等式问题的常用差异分析是证明三角恒等式问题的常用技巧。证明三角恒等式时，首先要观察已知技巧。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，达到和谐统一美。达到和谐统一美。“和差化积和差化积”、“积化和积化和差差”、“切割化弦切割化弦”、“降次降次”等是我们常等是我们常用的变形技巧。用的变形技巧。 分析分析 左边是左边是和和的形式的形式, ,右边是右边是乘积乘积的形式的形式; ;左边是左边是单角单角, ,右边是右边是半角半角; ;左边是左边是正弦正弦, ,右边是右边是余弦余弦. .如果由左边向右边转化如果由左边向右边转化, ,转化的手段是转化的手段是: :和差化积和利用和差化积和利用2 2倍角公式倍角公式. . 在使用差异分析策略解题时在使用差异分析策略解题时, ,需要需要先找出差异，接下来，寻求二者之间先找出差异，接下来，寻求二者之间的联系，在它们中间搭上一条解题的的联系，在它们中间搭上一条解题的通道。这就需要我们针对具体的问题，通道。这就需要我们针对具体的问题，不断地变换思维的视觉，纵横联系知不断地变换思维的视觉，纵横联系知识体系，全方位多角度的思考问题，识体系，全方位多角度的思考问题，以使以使“寻找差异、发现差异、消除差寻找差异、发现差异、消除差异异”的解题方案快速形成。的解题方案快速形成。分析分析1求证不等式左、右两边存在的主要差异是：右边只有1个字母k, 而左边出现6个不同于k的字母；左边是3项之和，右边只有1项。为了消除这种差异，可考虑运用已知条件将k代换。分析分析2为了消除左、右两边的差异，先保持部分一致,再逐步缩小目标差。分析分析3：两个正数乘积的最简单的几何意义可看作是一个几何图形的面积又有使我们联想到以k为边长的正三角形，构造几何图形如下： 差异分析的各个方面不是孤立差异分析的各个方面不是孤立的的, ,它们既有区别又有联系它们既有区别又有联系, ,有时在有时在一个题目中就含有多方面的目标差一个题目中就含有多方面的目标差, ,因此因此, ,在确定变换的方向和所用公式在确定变换的方向和所用公式时时, ,要以消除某方面的差异为主要以消除某方面的差异为主, ,同同时兼顾其他方向差异的统一。时兼顾其他方向差异的统一。可从消除角的差异切入，将条件角转化为结论角，即解：已知化为，练一练练一练 扬短避长扬短避长选自选自读者读者 日本有一家企业，生产圆珠笔，其产品优势是使用时间长。然而投放市场后销路并不好，原因在于圆珠笔芯中的油墨还没有使用完，笔芯上的圆珠就坏了。这显然是一个致命的质量问题。为此，厂家不惜重金请来许多对笔芯上的圆珠质量进行攻关。但是做了很多努力，效果都不理想，专家断言：只能改进到目前这种效果了。厂家万分苦恼，一筹莫展，圆珠笔生产陷入困境。 后来，这家企业的一名普通的操作工竟然用一个极为简单的方法，轻而易举地解决了这个令许多专家都束手无策的难题。 他只是将笔杆截去了一段。这样，笔芯上的圆珠报废时，油墨也正好使用完了。这家企业凭借这个简单和不可思议的办法走出了困境，赢得了广阔的市场空间。 扬短避长扬短避长选自选自读者读者 其实，这位工人与专家不同之处，就在于逆向思维逆向思维。专家们把精力都习惯地集中在扬长避短上，所以久攻不克；这位工人的方法则是反其道而行之扬短避长扬短避长。 数学问题千差万别、千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的。解题时，人们思考的习惯大多是正面的，顺向的，可有些数学问题如果正面有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应转为反面的、的、顺向进行，则难以解决，这时就应转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略。逆向思考，这就是正难则反策略。这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定。这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一。 9 正难则反策略 数学史上的无数事例，证实了正难则反的强大功效。具体在数学解题中，分析分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、法、反证法、逆推法、排除法、同一法、常量与变量的换位、公式定理的逆用、补常量与变量的换位、公式定理的逆用、补集法集法等方法技巧都是正难则反策略的应用。通常包括逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度逆转角度等。 正与反是矛盾对立的两个方面，在一定正与反是矛盾对立的两个方面，在一定条件下相互转化。这是马克思主义哲学的基条件下相互转化。这是马克思主义哲学的基本原理。许多数学问题同样具备矛盾的两个本原理。许多数学问题同样具备矛盾的两个方面，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之方面，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊关系，利用数学命题间的等价关相关的特殊关系，利用数学命题间的等价关系，就能巧妙地使问题顺利获解。系，就能巧妙地使问题顺利获解。 自从欧几里得的自从欧几里得的几何原本几何原本问世以后，人们试图问世以后，人们试图证明欧氏的第五公设证明欧氏的第五公设（过直线外一点，有且只有一条直线与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）已知直线平行）。然而，足足使一代又一代的一流数学家。然而，足足使一代又一代的一流数学家烦恼了两千多年之久，却仍以效果全无而告终。直到罗烦恼了两千多年之久，却仍以效果全无而告终。直到罗巴切夫斯基、鲍耶时代，他们在前辈数学家以及自己的巴切夫斯基、鲍耶时代，他们在前辈数学家以及自己的失败中，看到了把欧氏第五公设作为定理直接来证明也失败中，看到了把欧氏第五公设作为定理直接来证明也许是不可能的。因此，他们大胆地引进了一条与欧氏第许是不可能的。因此，他们大胆地引进了一条与欧氏第五公设完全相反的命题：五公设完全相反的命题：过平面上直线外一点至少可以过平面上直线外一点至少可以作两条直线与原直线平行。作两条直线与原直线平行。进而，以此为基础展开了一进而，以此为基础展开了一系列的推理，结果并未发现任何矛盾，于是他们敏锐地系列的推理，结果并未发现任何矛盾，于是他们敏锐地洞察到，这将意味着新几何学理论的产生，他们各自沿洞察到，这将意味着新几何学理论的产生，他们各自沿着这条与传统思维方向完全相反的道路走下去，终于发着这条与传统思维方向完全相反的道路走下去，终于发现了几何学的崭新天地现了几何学的崭新天地非欧几何学非欧几何学。历史上把它称。历史上把它称为为“数学中的革命数学中的革命”。 历来以历来以“精确精确”而著称的数学，到了上世纪六十而著称的数学，到了上世纪六十年代却又变得不精确反而年代却又变得不精确反而“模糊模糊”起来了。在一九起来了。在一九六五年，美国的控制论专家查德提出了模糊集合论，六五年，美国的控制论专家查德提出了模糊集合论，这是因为在客观世界中，很多现象和过程表现得并这是因为在客观世界中，很多现象和过程表现得并不确定，彼此之间并无明显的界限，如高矮、瘦胖、不确定，彼此之间并无明显的界限，如高矮、瘦胖、大小、好坏、快慢等，无法用精确的数学语言给予大小、好坏、快慢等，无法用精确的数学语言给予刻划，而只能用粗略的近似处理方法，但又往往与刻划，而只能用粗略的近似处理方法，但又往往与客观实际相差太远。现在科学的发展又需要人们细客观实际相差太远。现在科学的发展又需要人们细致地研究和定量地刻划这些不确定、不分明的模糊致地研究和定量地刻划这些不确定、不分明的模糊现象和过程。因而，这就迫使我们不得不放弃经典现象和过程。因而，这就迫使我们不得不放弃经典数学的精确性要求，转向考虑其反面数学的精确性要求，转向考虑其反面模糊，于模糊，于是产生了现代数学的新兴学科是产生了现代数学的新兴学科模糊数学。它的模糊数学。它的方法和理论已渗透到了现代科学的各个领域，并显方法和理论已渗透到了现代科学的各个领域，并显示出了强大的生命力。示出了强大的生命力。 非欧几何的发现和模糊数学的产生，证非欧几何的发现和模糊数学的产生，证实了正难则反的强大功效。因此，可以说正实了正难则反的强大功效。因此，可以说正难则反这一原则是数学方法论中一个不可多难则反这一原则是数学方法论中一个不可多得的得的“功臣功臣”。所以，在数学教学过程中，。所以，在数学教学过程中，应该注重培养学生掌握并运用这一原则。具应该注重培养学生掌握并运用这一原则。具体在数学解题中体在数学解题中, ,有分析法、反证法、逆推有分析法、反证法、逆推法、同一法、举反例、常量与变量的互换、法、同一法、举反例、常量与变量的互换、公式定理的逆用等策略，往往能绝处逢生、公式定理的逆用等策略，往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程。开拓解题思路、简化运算过程。 在数学史上，有许多著名的问题，从正面百思不在数学史上，有许多著名的问题，从正面百思不解，最后是举反例得到解决。解，最后是举反例得到解决。例如著名的费尔马猜想。例如著名的费尔马猜想。1732年欧拉举出一个反例，当年欧拉举出一个反例，当n=5时，时，f(5)=225142949672976416700417不是质不是质数，从而否定了费尔马猜想。数，从而否定了费尔马猜想。从费尔马猜想被否定，得到一个启示：从费尔马猜想被否定，得到一个启示：证明一证明一个命题为真，固然要经过严格而周密的证明，然而个命题为真，固然要经过严格而周密的证明，然而要推翻一个命题却只需举出一个反例就可达到目的。要推翻一个命题却只需举出一个反例就可达到目的。对一个问题正面思考发生思维受阻时，用正难对一个问题正面思考发生思维受阻时，用正难则反的策略去探求新的解题途径，往往能得到突破则反的策略去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，如果顺推有困难就逆推，直接证有困难性的进展，如果顺推有困难就逆推，直接证有困难就反证。就反证。 有的问题分类讨论情况较为有的问题分类讨论情况较为困难复杂困难复杂, ,而它的反面情形则较而它的反面情形则较为简单为简单, ,这时根据这时根据“正难则反正难则反”原则，我们应反向思维，从反面原则，我们应反向思维，从反面寻找简化或避免讨论的途径。寻找简化或避免讨论的途径。则分析：此题若采用直接证明不易找到突破口，但若从它的反面考虑，则不难找到解决问题的思路。练一练练一练例甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下来块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下来的块数增加一倍这时三人的糖块一样多开始时，丙有块糖，那么乙原有多少块糖？ 分析：以设最后三个人的份数都是“1”，利用逆退法计算每人每次取糖前糖块数所占的份数。最后甲给丙前丙给乙前乙给甲前原有甲11.51.50.75?乙110.51.25?丙10.51132 例甲乙两人轮流报数，要求每人每次按自然数的顺序最少报个自然数，最多报个自然数，谁先报到100，谁就获胜。甲后报，他能必胜吗？ 分析：用逆推法。从最后的结果看起，如果甲获胜，他就报100，那么乙可能报99，或者98，或者97，为此，甲必报96，甲要报96必须先抢报92，甲要抢报92，必须先抢报88，依次类推。甲要获胜，必须抢报所有4的倍数。最小的是4，因为甲先后报数，这是最容易的。 通过以上的例举与分析，我们通过以上的例举与分析，我们可以看到可以看到“正难则反正难则反”策略确实策略确实是一种转化解决问题的好策略，是一种转化解决问题的好策略，它能开拓学生解题思路、打破学它能开拓学生解题思路、打破学生思维定势、简化运算过程、提生思维定势、简化运算过程、提高解题速度。高解题速度。 练一练练一练分析 通过平方将此无理方程转化为有理方程，将出现四次方程，不易求解，不妨将x视为常数，将6视为未知数。解关于x的一元二次方程得思路：分析结构上的差异，左边有分母，右边为一次整式，因此应考虑如何去分母.