第二十四章第二十四章 一元二次方程一元二次方程 学习新知学习新知检测反馈检测反馈九年级数学上九年级数学上 新课标新课标 冀教冀教 学学 习习 新新 知知 一个长为10 m的梯子斜靠墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端在地面上滑动的距离也是1 m吗？ 你能列方程解决这个问题吗？问题思考问题思考设梯子的底端在地面上滑动设梯子的底端在地面上滑动的距离的距离x m,于是得方程于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2.整理得整理得x2+12x15=0. 问题：这个方程是不是我们前边学过的问题：这个方程是不是我们前边学过的方程？方程？ 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m,求这个长方形存车处的长和宽.共同探究一共同探究一（3）如何设未知数，根据题中等量关系怎样列方程？思考下列问题：（1）分析题意，题中的已知条件是什么？（2）分析题意，题中的等量关系是什么？（4）分析下面小明和小亮列方程的做法，他们的解题思路和所列方程是否正确？小明的做法小明的做法设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x m, 则它的长为 m.根据题意，可得方程整理，得小亮的做法小亮的做法 设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x m，则它的宽为（90-2x）m.根据题意，可得方程整理，得共同探究二共同探究二x2+12x15=0；（4）你能类比一元一次方程的概念，给出一元二次方程的定义吗？ 请口答下面问题 （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）上面方程中未知数x的最高次数是几次？（3）方程两边都是整式吗？归纳：一元二次方程满足三个条件：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次；（3）方程两边都是整式定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.下列各式是否为一元二次方程：（1）2x2=9；（ ） （2）2x2-1=3y；（ ） （3）4x2+3=2x；（ ）（5）5x2-2x+3；（ ） （6）2x（x+2)=5x-2；（ ） （7）3x(x-1)=3x2-5.（ ）（ ）是不是是不是是不是是共同探究三共同探究三思考思考1 1：类比一元一次方程的一般形式，你能不能写出一元二次方程的一般形式？ 一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c =0（a0）二次项二次项一次项一次项常数项常数项提示：提示：a是二次项系数；b是一次项数（任何一个一元二次方程都能化成一般形式；当一元二次方程的二次项系数a=0，b0时，方程为一元一次方程.）思考2：（1）任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式？（2）一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）（2）（3）（4）分析：分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），因此，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理，再根据有关概念求解.解：(1)原方程可化为：其中二次项系数为4，一次项系数为-3，常数项为-12 (2)原方程可化为：其中二次项系数为6，一次项系数为-13，常数项为-4(3)原方程可化为：其中二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-48(4)原方程可化为：其中二次项系数为5，一次项系数为6，常数项为2共同探究四共同探究四将这个数值代入一元二次方程，如果方程左右两边相等，则该数值是方程的根；如果方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根. 思考：1.什么是一元二次方程的解？使一元二次方程两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫做这个方程的根.2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根？ 做一做：在下列各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？（1）（2）（3）【知识拓展知识拓展】1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件：（1)是整式方程；（2)只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0，左边是关于未知数的二次整式.3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，所以写项或系数时，要先化成一般形式，并且都包括前边的符号.4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个数值代入一元二次方程，如果方程左右两边相等，则该数值是方程的根；如果方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根.5.如果已知a是一元二次方程的根，把x=a代入方程，方程左右两边相等，可以求待定系数的值，整体思想是常用的数学思想.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.课堂小结课堂小结1.一元二次方程概念需要满足三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），易错点是忽略强调a0.3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式，书写时应注意包括前边的符号.检测反馈检测反馈1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）2x2+5=0 ； ax2+bx+c=0 ； （x-1）（x+2）=x2-1 ；A. 2个 B.3个 C. 4个 D. 5个解析解析：一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，同时注意二次项系数不为0.满足这四个条件，中二次项系数可能为0，化简后不含有二次项，不符合定义，故选B.B2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A.7x2，2x，0 B.7x2，-2x，无常数项 C.7x2，0，2x D.7x2，-2x，0解析：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项所以该方程中二次项、一次项、常数项依次是7x2，-2x，0，故选D.D3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）A.-3 B.3 C.0 D.0或3解析：把x=2代入方程，得4+2m+2=0，解得m=-3，故选A.A解析：根据一元二次方程概念知未知数x的最高指数是2，且二次项系数不为0，得m2-2=2，m-20，解得m=-2，故填-2.4.若 是一元二次方程，则m= .-25.根据题意填空.（1）如果两个连续奇数的积是323，求这两个数，如果设其中较小的一个奇数为x，你能列出求解x的方程吗？_ ，一般形式为_ (2)如图，在宽为20 m，长30 m的矩形场地上，修 筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要 使耕地的面积为500 m2，若设路宽为x m，则可列方程为_，一般形式为 .x(x+2)=323x2+2x-323=0(20-x)(30-x)=500x2-50x+100=0 解析：解析：（1）根据题意中两个奇数的积是323，列方程，得x(x+2)=323,化简，得x2+2x-323=0.故填x (x+2)=323，x2+2x-323=0.（2 2）将两条道路平移到矩形的边处，矩形的长为（）将两条道路平移到矩形的边处，矩形的长为（30-30-x x）m,m,宽为宽为(20-(20-x x)m)m，根据余下的耕地面积为，根据余下的耕地面积为500 m500 m2 2，列方程，得，列方程，得（20-20-x x)(30-)(30-x x)=500,)=500,化简，得化简，得x x2 2-50-50x x+100=0.+100=0.故填故填(20-(20-x x)(30-)(30-x x)=500, )=500, x x2 2-50-50x x+100=0.+100=0.