第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。稳恒状态圆域上热传导问题欧拉方程。 瞬时状态圆域上热传导问题贝塞尔方程。5.1 贝塞尔方程的引入 5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。可归结为求解如下定解问题令 ，代入方程得 进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:它的解为 (1)5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 由边界条件，可知 在极坐标系下，问题可以写成 5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入再次分离变量,令 ,代入化简得 引入参数 分解5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入本征值 ，将 代入另一方程得n 阶贝塞尔方程. 结合自然周期条件，得本征值问题本征函数5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由条件由条件 得得由温度是有限的，得由温度是有限的，得原 问 题 就 转 化 为 求 贝 塞 尔 方 程 在 条 件 下的特征值和特征函数.做代换 , 并记考虑贝塞尔方程5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入n阶贝塞尔方程的标准形式.方程转化为5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入5.2 贝塞尔方程的求解5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解 用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 的情形.假定方程有如下形式的级数解：其中 为常数。 逐项求导, 有代入方程确定系数 和 ： 比较系数得5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解取取c=n由选取由得因此5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解这样，得到方程的一个特解称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0). 5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解取指标得方程的另一特解 当 n 不为整数时, 和 线性无关所以方程的通解可以表示为 结论：结论： 5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解如果选取得到称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数, 方程的通解也可表示为当 n 不为整数时, 和 线性无关5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解当m,n为整数时，有GammaGamma函数的定义与性质函数的定义与性质 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解 5.3 5.3 n n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解(1) 由得（）取n=N , 在中,由于mN时，所以级数从m=N开始所以，当n为整数时, 与 线性相关此时定义第二类贝塞尔函数为 不为整数. 可以证明 和 线性无关，通解可写为5.3 5.3 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解其中其中C为欧拉常数为欧拉常数 C = 0.5772165.3 5.3 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解5.4 贝塞尔函数的递推公式5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系. 分别令 及 得:微分 J0 的第 2k + 2 项（）（）所以则又5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式一般的, 有上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式分别消去 和 , 可以得到两式相加减贝塞尔函数的递推公式若知道的值, 就可以求出进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值. 5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式. 5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式例例例例5.4 5.4 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解例 求不定积分 .解 由 ，可得5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式5.5 函数展成贝塞尔函数的级数5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数 在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题： 方程的通解为由于 , 由条件 知 , 从而为了求出特征值问题, 必须判明 的零点是否存在,分布情形如何由可得: 贝塞尔函数的零点的结论：贝塞尔函数的零点的结论： (1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的零点; (2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分布.(3) 设 ( )为 的正零点, 则有 5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数与这些特征值相应的特征函数为 的解为5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数贝塞尔函数的正交性 的正平方根称为函数 的模值.的正交性讨论 n 阶贝塞尔函数序列 (m = 1, 2 )在区间(0,R) 上带权 r 正交, 即结论结论5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数结论结论2. 2. 在区间，R上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：其中5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数.6 应用举例例例1 1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标. 考虑到定解条件和 无关, 所以温度 只能是 和 的函数. . .应用举例应用举例应用举例应用举例解解: :问题可归结为求下列定解问题问题可归结为求下列定解问题: :设设由于由于 和和 无关无关, , ,可以化简为问题可以化简为问题. .应用举例应用举例应用举例应用举例由物理意义由物理意义, , , , 且当且当 时时, ,解解(1)(1)得：得： , ,因为因为 时时, , , , .(1).(2)令令代入方程得代入方程得所以所以 , , 令令 , , 即即. .应用举例应用举例应用举例应用举例(2)(2)为零阶非标准的贝塞尔方程为零阶非标准的贝塞尔方程, ,通解为通解为由由 的有界性的有界性, , 可以知道可以知道 , ,由条件由条件 得得 , , 即即 是是 的零点的零点. .用用 ( (n=1,2)=1,2)表示表示 的正零点的正零点, , 综合以综合以上结果可得上结果可得: : . .应用举例应用举例应用举例应用举例从而从而由叠加原理由叠加原理, , 可得原问题的解为可得原问题的解为. .应用举例应用举例应用举例应用举例由初始边界条件得由初始边界条件得故故. .应用举例应用举例应用举例应用举例因为因为所以所以. .应用举例应用举例应用举例应用举例从而从而所求定解问题的解为所求定解问题的解为其中其中 是是 的正零点的正零点. . .应用举例应用举例应用举例应用举例