利辛县郑小集利辛县郑小集中学中学三边之间的关系三边之间的关系a a2 2b b2 2c c2 2（勾股定理）；勾股定理）；锐角之间的关系锐角之间的关系 A A B B 9090边角之间的关系（锐角三角函数）边角之间的关系（锐角三角函数）tanAtanAa ab bsinAsinA ac1、cosAcosAb bc cabc解直角三角形的依据解直角三角形的依据2、30，45，60的三角函数值的三角函数值304560sinacosatana1450450300600在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念lh（2 2）坡度）坡度tan tan h hl l概念反馈概念反馈（1 1）仰角和俯角）仰角和俯角视线视线铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线仰角仰角俯角俯角（3 3）方位角）方位角30304545B BO OA A东东西西北北南南为坡角为坡角解直角三角形解直角三角形：(如图如图)1.已知已知a,b.解直角三角形解直角三角形(即求：即求：A A，B B及及C C边边) )2. 已知已知A，a.解直角三角形解直角三角形 3.已知已知A，b. 解直角三角形解直角三角形4. 已知已知A，c. 解直角三角形解直角三角形bABCac只有下面两种情况：只有下面两种情况： （1）已知两条边；）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角）已知一条边和一个锐角【热点试题归类热点试题归类】题型型1 三角函数三角函数1.（20062006，大连，大连）在）在RtABC中，中，C=90，AB=5，AC=4，则sinA的的值为_2.（20062006，旅顺口区，旅顺口区）在）在RtABC中，中，C =90，BC=4，AC=3，则cosA的的值为_3.（20062006，温州，温州）如）如图1，在，在ABC中，中，C =90，BC=5，AC=12，则cosA等于（等于（ ） D4.（20062006，成都，成都）如）如图2，在，在RtABC中，中，ACB =90，CDAB于点于点D，已知，已知AC=BC=2，那么，那么sinABC=（ ）， A AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED5.（20062006，攀枝花，攀枝花）如）如图3所示，所示，AB是是 O的直的直径，弦径，弦AC、BD相交于相交于E，则等于（等于（ ）6（20062006，海淀区，海淀区）计算：算：|-|+（cos60-tan30）+A D 题型题型2 解直角三角形解直角三角形1.（20062006，烟台，烟台）如）如图4，在矩形，在矩形ABCD中中DEAC于于E， 设ADE=a， 且且cos=AB=4，则，则AD的长为（的长为（ ），A3 B2.（20062006，烟台，烟台）2002年年8月在北京召开的国际数月在北京召开的国际数学家大会会标如图学家大会会标如图5所示，它是由四个相同的直所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 若大正方形的面积是若大正方形的面积是13，小正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为，直角三角形的较长直角边为a， 较短较短直角边为直角边为b，则，则a+b的值为（的值为（ ） A35 B43 C89 D97BB题型题型3 解斜三角形解斜三角形1.（20062006，盐城，盐城）如图）如图6所示，已知：在所示，已知：在ABC中，中，A=60，B=45，AB=8， 求求ABC的的面积（结果可保留根号）面积（结果可保留根号）2.（20062006，广安市，广安市）如图，海上有一灯）如图，海上有一灯塔塔P，在它周围，在它周围3海里处有暗礁，海里处有暗礁， 一一艘客轮以艘客轮以9海里海里/时的速度由西向东航时的速度由西向东航行，行至行，行至A点处测得点处测得P在它的北偏东在它的北偏东60的方向，继续行驶的方向，继续行驶20分钟后，到分钟后，到达达B处又测得灯塔处又测得灯塔P在它的北偏东在它的北偏东45方向，问客轮不改变方向继续前进有方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？无触礁的危险？解：过C作CDAB于D， 设CD=x在RtACD中，cot60= 在RtBCD中，BD=CD=x x+x=8 解得x=4（3-）=16（3-）=48-16，AD=xABCD=84（3-SABC=）2解：过P作PCAB于C点，据题意知： AB=9=3，PAB=90-60=30， PBC=90-45=45，PCB=90 PC=BC 在RtAPC中， PC3 客轮不改变方向继续前进无触礁危险 tan30=， 即=，3.（20062006，成都，成都）如）如图，某校九年，某校九年级3班的一个班的一个学生小学生小组进行行测量小山高度的量小山高度的实践活践活动部分同部分同学在山脚点学在山脚点A测得山腰上一点得山腰上一点D的仰角的仰角为30，并，并测得得AD 的的长度度为180米；另一部分同学在山米；另一部分同学在山顶点点B测得山脚点得山脚点A的俯角的俯角为45，山腰点，山腰点D的俯角的俯角为60请你帮助他你帮助他们计算出小山的高度算出小山的高度BC（计算算过程和程和结果都不取近似果都不取近似值） 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=90，AF=903解：如图设BC=x， 解得x=90+90（x-90） FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE=BE=（x-90）=x-90 DE=FC， 4.（20062006，天津，天津）如）如图，在，在观测点点E测得小山上得小山上铁塔塔顶A的仰角的仰角为60，铁塔底部塔底部B的仰角的仰角为45已知塔高已知塔高AB=20m，观察点察点E到地面的距离到地面的距离EF=35m，求小山，求小山BD的高（精确到的高（精确到0.1m，1.732）4解：如图，过C点作CEAD于Cx-x 解得x=10AB=AC-BC， 即20=BD=BC+CD=BC+EF设BC=x，则EC=BC=x 在RtACE中，AC=x，+10+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高为623m=10题型题型4 应用举例应用举例1（20062006，浙江台州，浙江台州）有人说，数学家就是不）有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人小敏想用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人小敏想知道校园内一棵大树的高（如图知道校园内一棵大树的高（如图1），她测得），她测得CB=10米，米，ACB=50，请你帮助她算出树高，请你帮助她算出树高AB约为约为_米（注：米（注：树垂直于地面；树垂直于地面；供选用数据：供选用数据：sin500.77，cos500.64，tan501.2）12 2.（20062006，成都，成都）如图）如图2，小华为了测量所住楼，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和米和15米，米，已知小华的身高为已知小华的身高为1.6米，米，那么分所住楼房的高度那么分所住楼房的高度为为_米米3（20062006，烟台，烟台）如图）如图3，两，两建筑物建筑物AB和和CD的水平距离为的水平距离为30米，从米，从A点测得点测得D 点的俯角点的俯角为为30，测得，测得C点的俯角为点的俯角为60，则建筑物，则建筑物CD的高为的高为_米米48 20 4.（20062006，盐城，盐城）如）如图，花，花丛中有一路灯杆中有一路灯杆AB在灯光下，小明在在灯光下，小明在D 点点处的影的影长DE=3米，沿米，沿BD方向行走到达方向行走到达G点，点，DG=5米，米，这时小明的影小明的影长GH=5米米 如果小明的身高如果小明的身高为1.7米，求路灯杆米，求路灯杆AB的高度（精确到的高度（精确到0.1米）米）4解：设AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路灯杆AB的高度约为6.0米5.（20062006，晋江，晋江）如）如图，在两面，在两面墙之之间有一个底有一个底端在端在A点的梯子，当它靠在一点的梯子，当它靠在一侧墙上上时，梯子，梯子的的顶端在端在B点；当它靠在另一点；当它靠在另一侧墙上上时，梯子，梯子的的顶端在端在D点已知点已知BAC= 65，DAE=45，点，点D到地面的垂直距离到地面的垂直距离DE=3m，求点，求点B到地面的垂直距离到地面的垂直距离BC（精确到（精确到0.1m）5解：在RtADE中，DE=3DAE=45， sinDAE=AD=6 又AD=AB， 在RtABC中，sinBAC=BC=ABsinBAC=6sin655.4 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米，6.（20062006，南安，南安）如）如图，我市某广，我市某广场一灯柱一灯柱AB被一被一钢缆CD固定，固定，CD 与地面成与地面成40夹角，角，且且DB=5m，现要在要在C点上方点上方2m处加固另一条加固另一条钢缆ED，那么，那么EB的高的高为多少米？（多少米？（ 结果保留三果保留三个有效数字）个有效数字）6解：在RtBCD中，BDC=40，DB=5m， tanBDC= BC=DBtanBDC=5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略，7.（20062006，哈尔滨市，哈尔滨市）如）如图，在，在电线杆上的杆上的C处引位引位线CE、CF固定固定电线杆，拉杆，拉线CE和地面成和地面成60角，在离角，在离电线杆杆6米的米的B处安置安置测角角仪，在，在A处测得得电线杆杆C处的仰角的仰角为30，已知，已知测角角仪AB高高为1.5米，求拉米，求拉线CE的的长（结果保留根号）果保留根号）7解：过点A作AHCD，垂足为H 由题意可知四边形ABDH为矩形， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH= ， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2在RtCDE中 ， CED=60，sinCED=CE=（4+）（米）DH=1.5，CD=2+1.5 答：拉线CE的长为（4+）米8（20062006，攀枝花，攀枝花）已知：如）已知：如图，在山脚的，在山脚的C处测得山得山顶A的仰角的仰角为45，沿着坡度，沿着坡度为30的斜的斜坡前坡前进400米到米到D处（即（即DCB=30，CD=400米）米），测得得A的仰角的仰角为60，求山的高度，求山的高度AB9.（20062006，苏州，苏州）如）如图，在一个坡，在一个坡角角为15的斜坡上有一棵的斜坡上有一棵树，高，高为AB当太阳光与水平当太阳光与水平线成成50时，测得得该树在斜坡的在斜坡的树影影BC的的长为7m，求，求树高（精确到高（精确到0.1m）在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45，AB=BC， 即8解：如图，作DEAB于E，作DFBC于F，在RtCDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30=400=200（米）CF=CDcos30=400=200 （米）+xx+200=200x=200， AB=AE+BE=（200+200）米在RtADE中，ADE=60，设DE=x米， AE=tan60x=x（米） BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15， BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15）6.2（m） 答：树高约为6.2m9解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则ADCDu这节课你有哪些收获?u你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗?题型题型5 综合与创新综合与创新1.（20062006，绵阳，绵阳）小明）小明骑自行自行车以以15千米千米/小小时的的速度在公路上向正北方向匀速行速度在公路上向正北方向匀速行进，如，如图1，出，出发时，在，在B点他点他观察到察到仓库A在他的北偏在他的北偏东30处，骑行行20分分钟后到达后到达C点，点，发现此此时这座座仓库正好正好在他的在他的东南方向，南方向，则这座座仓库到公路的距离到公路的距离为_千米（参考数据：千米（参考数据：1.732，结果果保留两位有效数字）保留两位有效数字）1.8 2.（20062006，烟台，烟台）先将一矩形）先将一矩形ABCD置于直角坐置于直角坐标系中，使点标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在分别落在x轴、轴、y轴上（如图轴上（如图2），）， 再将此矩再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30（如图（如图3），若），若AB=4，BC=3，则图（，则图（2）和图）和图（3）中点）中点B的坐标为的坐标为_，点，点C的坐标为的坐标为_答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）；图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（）3.（20062006，浙江台州，浙江台州）数学活）数学活动课上，小敏、小上，小敏、小颖分分别画了画了ABC和和DEF， 数据如数据如图，如果，如果把小敏画的三角形面把小敏画的三角形面积记作作SABC，小，小颖画的三角画的三角形面形面积记作作SDEF，那么你，那么你认为（ ）ASABC SDEF BSABC SDEF CSABC =SDEF D不能确定不能确定小敏画的三角形 小颖画的三角形C4.（2006，上海）已知：如，上海）已知：如图，在，在ABC中，中，AD是是边BC上的高，上的高，E 为边AC 的中点，的中点，BC= 14，AD=12，sinB=，求：（，求：（1）线段段DC的的长；（2）tanEDC的值的值CD=BC-BD=14-9=5（2）E是RtADC斜边AC的中点， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC=4解：（1）在RtABD中，AB=15BD=95.（20062006，浙江绍兴，浙江绍兴）某校教学楼后面）某校教学楼后面紧邻着一着一个土坡，坡上面是一个土坡，坡上面是一块平地，平地， 如如图所示，所示，BCAD，斜坡，斜坡AB长22m，坡角，坡角BAD=68，为了防止山体滑坡，保障安全，了防止山体滑坡，保障安全， 学校决定学校决定对该土坡土坡进行改造行改造经地地质人人员勘勘测，当坡角不超，当坡角不超过50时， 可确保山体不滑坡可确保山体不滑坡（1）求改造前坡）求改造前坡顶与地面与地面的距离的距离BE的的长（精确到（精确到0.1m）；（）；（2）为确保安全，确保安全，学校学校计划改造划改造时保持坡脚保持坡脚A不不动，坡，坡顶B沿沿BC削削进到到F点点处， 问BF至少至少是多少米（精确到是多少米（精确到0.1m）？）？（参考数据：参考数据：sin680.927 2，cos680.374 6，tan682.475 1，tan500.766 0，cos500.642 8，tan501.191 8）5解：如图，（1）作BEAD，E为垂足AE=ABcos68=22cos688.24， BF=AG-AE=8.888.9 （m） 即BF至少是8.9m则BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4（m）（2）作FGAD，G为垂足，连结FA，则FG=BE AG=17.12，1.73）6.（20062006，南京，南京）如）如图，小，小岛A在港口在港口P的南偏的南偏西西45方向，距离港口方向，距离港口81海里海里处甲船从甲船从A出出发，沿沿AP方向以方向以9海里海里/时的速度的速度驶向港口，乙船从向港口，乙船从港口港口P 出出发， 沿南偏沿南偏东60方向，以方向，以18海里海里/时的速度的速度驶离港口，离港口，现两船同两船同时出出发，（1）出）出发后几小后几小时两船与港口两船与港口P的距离相等？的距离相等？（2）出）出发后几小后几小时乙船在甲船的正乙船在甲船的正东方向？方向？（结果精确到果精确到0.1小小时）（参考数据：（参考数据：1.41，6解：（1）设出发后x小时时两船与港口P的距离相等 根据题意，得81-9x=18x， 解这个方程，得x=3 出发后3小时两船与港口P的距离相等 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45=18xcos60 解这个方程，得x3.7 出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向（2）如图，设出发后x小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处，连结CD过点P作PECD，垂足为E则点E在点P的正南方向1.（20062006，福建泉州，福建泉州）如）如图，一架，一架长4米的梯子米的梯子AB斜靠在与地面斜靠在与地面OM 垂直的垂直的墙ON上，梯子与地上，梯子与地面的面的倾斜角斜角为60（1）求）求AO与与BO的的长；（2）若梯子）若梯子顶端端A沿沿NO下滑，同下滑，同时底端底端B沿沿OM向右滑行向右滑行如如图，设A点下滑到点下滑到C点，点，B点向点向右滑行到右滑行到D点，并且点，并且AC：BD=2：3， 试计算梯子算梯子顶端端A沿沿NO下滑多少米；下滑多少米；如如图，当，当A点下滑到点下滑到A点，点，B点向右滑行到点向右滑行到B点点时，梯子，梯子AB的中点的中点P也随之运也随之运动到到P点，若点，若POP=15，试求求AA的的长题型题型6 中考新题型中考新题型 2.（20062006，浙江舟山，浙江舟山）如果正方形网格中的每一个小）如果正方形网格中的每一个小正方形正方形边长都是都是1， 则每个小格的每个小格的顶点叫做格点点叫做格点（1）在）在图中，以格点中，以格点为顶点画一个三角形，使点画一个三角形，使三角形的三三角形的三边长分分别为3，2 （2）在）在图中，中，线段段AB的端点在格点上，的端点在格点上，请画出以画出以AB为一一边的三角形，使的三角形，使这个三角形的面个三角形的面积为6（要求至少画出（要求至少画出3个）个）（3）在）在图中，中，MNP的的顶点点M、N在格点上，在格点上，P在小正方形的在小正方形的边上，上，问这个三角形的面个三角形的面积相当相当于多少个小方格于多少个小方格的面的面积？在你解？在你解出答案后，出答案后，说说你的解你的解题方法方法 （3）若在（）若在（1）的条件下，）的条件下，SAMN：SABE=9：64，且且线段段BF与与EF的的长是关于是关于y的一元二次方程的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个的两个实数根，求数根，求BC的的长3.（20062006，哈尔滨，哈尔滨）已知：如）已知：如图，AD为RtABC斜斜边BC上的高，点上的高，点E为DA延延长线上一点，上一点，连结BE，过点点C作作CFBE于点于点F，交，交AB、AD于于M、N两两点点 （1）若）若线段段AM、AN的的长是关于是关于x的一元二次的一元二次方程方程x2-2mx+n2-mn+ m2=0的两个实数根，的两个实数根， 求求证：(1)AM=AN （2）若）若AN=，求求DE的长；的长；