读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思慧华教育五年级下册数学长方体与正方体知识点易错点汇总练习一、长方体和正方体的认识【知识点 1】要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12 互 相 平 行的 棱 长 度相等6 相对的面完全相同8 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12 垂 直 于 正方 形 面 的棱 长 度 相等6 两 个 面 是 正 方形，其余四个面是完全相同的长方形8 正方体12 所 有 的 棱长 度 都 相等6 所有面都是正方形且完全相同8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6 各面是正方形，但不会存在3 个、4个、5 个面是正方形！练习：（1）判断并改正：有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（）有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（）长方体和正方体最多可以看到3 个面。 （）长方体的 12 条棱中，长、宽、高各有4 条。（）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（）一个长方体中最少有4 条棱长度相等，最多有8 条棱长度相等。（）（2）一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4 个侧面是（）形。（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（），它的六个面都是相等的（）形。（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。最少可以看到（）个面。【知识点 2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高） 4 长+宽+高=棱长和 4 长方体棱长和 =下面周长 2+高4 长方体棱长和 =右面周长 2+长4 长方体棱长和 =前面周长 2+宽4 正方体棱长和 =棱长 12 棱长=棱长和 12 棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析： 本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度 =高的长度； 左面和右面的彩带长度=高的长度；30 20cm 20cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思上面和下面的彩带长度 =长的长度。需要彩带的长度 =高4+长2+打结部分长度204+302+10=150cm 练习：（1）看图 2-7 并填空单位：厘米这是一个 ( ) 体，正方体的棱长是 ( ) 厘米，棱长之和是 ( )厘米，每个面的面积是 ( ) 平方厘米。（2）有一个长方体的鱼缸，长50 厘米，宽 30 厘米，高 30 厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（）米的铝合金。（3）一个长方体的棱长总和是 80 厘米，其中长是 10 厘米，宽是 7 厘米，高是（ ）厘米。（4）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 （）厘米。（5）至少需要（）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18 厘米，高 3 厘米的长方体框架。（6）一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（）。（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（8）一个长方体棱长和164cm ，已知长方体的底面周长为72cm ， 长 方 体 的 高 是 多 少cm？【知识点 3】折叠可以组合成正方体: 30m 6m 50m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思经过折叠可以组合成长方体：练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（）【知识点 4】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条长和 4 条宽； （棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条宽和 4 条高； （棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4 条棱。（2）组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条宽；（棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条宽和 4 条高；（棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8 条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少 24 条棱，五个组合减少32 条（公式： 8（N1） ）例如： 将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析： 五个正方体棱长共有125=60 条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32 条，还剩 60-32=28 条；即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为： 14028=5cm ；所以一个正方体的棱长和为：512=60cm 。【知识点 5】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8 个（也就是说每条棱上放2 个小正方体），接着再往大了拼正方体， 就是每条棱上放3 个小正方体即 333=33=27 个，依次类推接下来是444=43=64 个；555=53=125 个从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的 a 倍，宽是小正方体棱长的b 倍，高是小正方体棱长的c 倍，则，大长方体就是由 abc 个小正方体组成的。练习：（1） 用棱长为 1 厘米的小正方体拼一个棱长为6 厘米的大正方体需要 （）个小正方体。（2）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为9 厘米的大正方体需要（）个小正方体。A、8 个B、27 个C、26 个D、64 个（3）用棱长为 2 厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（）个小正方体。A、4 个B、8 个C、16 个D、27 个（4）下列有一些数量的棱长为1 厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。（）A、27 个B、4 个C、1 个D、8 个E、32 个F、125 个（5）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。（6）用（）个棱长为 4cm 的小正方体可以拼出一个长为16cm ，宽和高均为 8 的长方体。（7）一个长方体的盒子里面长5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为 5 厘米的正方体小木块共可以放（）块。（8）两个棱长 1 厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（）平方厘米。二、长方体和正方体的表面积【知识点 1】长方体表面积 =（长宽 +长高 +宽高） 2 = （ab+ac+bc） 2 =（前面面积 +上面面积 +右面面积） 2 正方体表面积 =棱长棱长 6=aa6=6a2 =任意一个面的面积 6 前面面积 =后面面积；左面面积 =右面面积；上面面积 =下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！练习：（1）一个正方体的棱长总和是48 分米，它的棱长是（） ，表面积是（） 。（2）一个长方体长 6 厘米， 宽 4 厘米， 高 3 厘米。 这个长方体上下两个面的面积各是 （）平方厘米，前后两个面的面积各是（）平方厘米，左右两个面的面积各是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。（3）判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍（）（4）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。（5）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。（6）用字母表示正方体（或长方体）的表面积（）；用字母表示长方体的体积公式是（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。（） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C ： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？（8）一个长方体的长是5 分米，宽和高都是4 分米，在这个长方体中，长度为4 分米的棱有（）条，面积是 20 平方分米的面有（）个。（9）一个长方体的金鱼缸，长是8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。（10）一个正方体的底面积是64 平方厘米，它的表面积是（） 。【知识点 2】长方体表面求法的变形：贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5 ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m ，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如： 一款抽纸盒，长宽高分别是20cm ，12cm ，5cm ，上面有长 14cm ，宽 3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？占地面积问题：只求底面面积。例如： 一个长方体蓄水池，长12m ，宽 8m ，深 3m ，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长 20 厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4 厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板 210 张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是0.5 米的正方形 , 长 2.5 米. 如果用铁皮做这样的通风管50 只, 需要多少平方米的铁皮 ? （4）一个房间的长 6 米，宽 3.5 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4 千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是10 厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12 节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21 厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长 50 厘米，宽 30 厘米，高 10 厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200 平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（9）一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为 50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为50cm ，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？（10）一块长方形铁皮长60 厘米，宽 40 厘米，如图， 从四个角上剪去边长是10 厘米的正方形， 然后做成盒子， 这个盒子的表面积是多少平方厘米？【知识点 3】棱长变化对表面积、体积的影响：正方体正方体的棱长扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍；正方体的棱长扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27倍；正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。长方体长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大9 倍，体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2 倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（）倍。（2）正方体的棱长缩小5 倍，它的体积就缩小（）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4 倍，它的表面积就（）。（4）正方体的棱长扩大6 倍，表面积扩大（）倍。（5） 一个正方体的棱长为4 厘米扩大为 2 倍后， 其棱长和为（） 厘米， 表面积为（）平方厘米比原来扩大了（）。（6）一个长方体长扩大2 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（）倍。（7）大正方体的表面积是小正方体的4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（） ；大正方体棱长之和是小正方体的（） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍（8） 把一个正方体切成大小相等的8 个小正方体，8 个小正方体的表面积之和 （） 。A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2 倍 C.等于大正方体表面积的 3 倍（9）一个表面积为 36 平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（）平方厘米。（10）一个正方体棱长缩小2 倍，表面积缩小（）倍，体积缩小（）倍。（11）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（）倍。（12）长方体的长扩大为原来的2 倍，宽不变，高缩小为原来的一半， 体积（）。【知识点 4】立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。正方体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面， 增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如： 两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：（1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。（2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。（3）把一根长 80厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木料锯成长都是40 厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。（4）用两个长、宽、高分别是3 厘米， 2 厘米， 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米。（5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（）。（6）一根长方体木料，长1.5 米，宽和厚都是 2 分米，把它锯成 4 段，表面积最少增加（）平方分米（7）一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长 2 米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根 1.8m 长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为 1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如： 在一个长是 4 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？分析： 以最短的棱为正方体的棱长，即以高为 2cm 的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为： 212=24cm。切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm， 宽为 3-2=1cm，高仍为 2cm，因此所剩部分表面积为： （21+22+12）2=16cm2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面组合， 都将减少两个正方形的面， 减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。练习：（1）把三个棱长是 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（） ，比原来 3 个正方体表面积之和减少了（） 。（2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（） ，体积是（） 。（3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350 平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？（5）一个长方体的长8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？（6）一种长方体积木，长3 厘米，宽 2.5 厘米，高 2 厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？（7）用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32 平方厘米。求所拼长方体的表面积。（9）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1 厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？【知识点 5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3 个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2 个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1 个；用总数 3 个面的 2 个面的 1 个面得 =没有露在外面的小正方体的个数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（知识点 6）小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化挖去的小正方体在 顶点位置 ，则大正方体的 表面积不变 ，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3 个， 挖去后露出来的面也是3 个，所以表面积不变。挖去的小正方体在 棱的位置 ，则大正方体的 表面积增加 ，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2 个，挖去后会露出 4 个面，所以表面积会增大。挖去的小正方体 在面上 ，则大正方体的 表面积也会增加 ，因为原来在面上的小正方体只有 1 个面露在外面，挖去后会露出5 个面，所以表面积会增大。练习：（1）图一是由棱长是2 厘米的小正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。图二图一（2）图二用 12 个小正方体拼成的长方体中，如果拿掉带阴影部分的2 个小正方体，它的表面比原来（）。图中，长方体共有（）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个。图二中三个图中分别有（） 、 （） 、 （）小正方体组成。 第二个长方体中有三个面在外面得正方体有（）个，两个面在外面的正方体有（）个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面的小正方体（） 。在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【知识点 7】单位换算长度单位： mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为10 面积单位： mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100 体积单位： mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000 容积单位： ml、l 相邻两个单位进率为1000 特别的： 1ml=cm3 1l=1dm3 1 方=1m 3不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如： 手指尖约占了 1 立方厘米的空间，即它的体积约为1 立方厘米。一个粉笔盒的体积约为1 dm3。建一游泳池，约要挖土6000 方。 1.36 dm3 =1360 cm3 4.573m 3 =4573 dm3一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3 =5670cm3练习：(1)3.2立方分米 =（）立方厘米 500立方分米 =（）立方米9 立方米 500立方分米 =（）立方米 =（）立方分米3.6 升=（）毫升 =（）立方厘米1700平方厘米 =（）平方分米 =（）平方米2.8 立方分米 =( ) 立方厘米 0.8升=( ) 毫升720立方分米 =( ) 立方米 51000毫升= ( ) 升32 立方厘米 =( ) 立方分米 4.25立方米 =( ) 立方分米=( ) 升(2) 一个水池能装水 400 立方米，这是指（），占地 2 公顷指的是（）。一块橡皮擦的体积约是8( )。一本书的封面约是2( )。运货集装箱的体积约是40( )。一支钢笔长 18( )。一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点 1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积 容积。比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积 =长宽高正方体的体积 =棱长棱长棱长长方体和正方体的体积=底面积高 =右面面积长 =前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思练习：（1）表面积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米（2）一个长方体框架长8 厘米，宽 6厘米，高 4 厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板， 共要（）塑料板是求（），在里面能盛（）升水是求（），这个盒子有（）立方米是求（）（3）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米（4）一个正方体棱长 2 厘米，体积是（）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（）立方厘米。（5）一个菜窖能容纳6 立方米白菜，这个菜窖的（）是 6 立方米（6）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200 平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？（7）一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3 米，宽 1.5 米，深 2 米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？（8）一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，这个长方体的体积是多少？（9）用一根 12 分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（）立方分米。（10）一个长方体，其中三个面的面积分别是15 平方厘米， 20平方厘米， 12 平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？【知识点 2】体积大小的比较对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如： 有一个长为 8 分米，高位 5 分米，体积为 240 平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4 分米，高位 4 分米，宽为 6.5 分米，是否可以放入该容器？分析： 单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。通过计算硬纸盒的长 =8分米宽=240（85）=6 分米高=5分米陶瓷的长 =7.4 分米宽=6.5 分米高=4分米由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思练习：（1）有一个长方形玻璃鱼缸长为5 分米，宽为 3 分米，高为 3 分米里面装有 2.5 分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5 分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？（2）有一个长方体的硬纸盒，长为11 分米，宽为 15 分米，高为 6 分米，现将一个长为12分米，宽为 10 分米，高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？【知识点 3】切割组合对体积的影响将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积。将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和。也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加。例如： 将一块体积为 30 立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10 块，每块石头的体积是多少？分析： 根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积 30 立方米，一共贴出10 块，所以每块石头的体积为：3010=3（立方米）练习：（1）将棱长为 5 厘米的 20 块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？表面积最大是多少？根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化例如： 把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32 平方分米，原来正方体的表面积是（ 96）平方分米，体积是（ 64）立方分米。分析： 根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的面积。因此，正方体一个面的面积为322=16（平方分米），原来正方体的表面积为166=96（平方分米），根据原来正方体一个面的面积=棱长棱长 =棱长的平方 =16，可知 4 的平方 =16 所以原来正方体的棱长为 4 分米，所以，原来正方体的体积为444=64（立方分米）练习：（1）一个长方体，如果高增加3 厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？（2）一个长方体，把它的高增加3 厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了120平方厘米，求原来的体积是多少？（3）一个长方体，把它的高减少厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了200平方厘米，求原来的体积是多少？（4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了 80 平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？（5）一个棱长为分米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（6）一块长 1.2 米, 宽 6 分米, 厚 3 分米的长方体木块 , 可以截出多少块棱长为3 分米的正方体？（7）一段围墙长为 15 米，宽为 38厘米，高为 2.2 米，砌这样的墙每平米大约需要385 块砖，修这段围墙一共需要多少块砖？（8）一块钢材体积为2.7 立方米，现在将其融化后重新铸成长为1 米，底面积为 225 平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？【知识点 5】填土抬高地面类问题例如： 如图，已知 A部分面积为 25 平方米， B部分面积为 36 平方米， A处比 B处高 2 米，如果将 A处推到与 B处同样高， B处大约可以被抬高多少米？A处大约下降多少米？ A B 练习：（1）一支修路队用 90 立方米的石子铺一段路，路宽为10米，铺 3 厘米厚，可以铺多长？（2）一个棱长是20 分米的正方体玻璃容器装满水，然后把水倒入一个长25 分米，宽 16分米的长方体水箱内，求这时水深多少分米？（3）把一个棱长 6 分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9 分米，宽 4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？【知识点 6】不规则物体体积计算方法不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积。一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积。例如： 一个长方体的水槽长18 厘米，宽 12 厘米，高 10 厘米，里面水深 6 厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8 厘米处，这个土豆的体积是多少？分析： 根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为6 厘米和 8 厘米，可见土豆排开水的高度为2 厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=1812（86）=432平方厘米。练习：（1）水面高度为 1.5 厘米，底面积为 30 平方分米水面高度为 5 厘米水面高度为 6.5 厘米分析：要使 A、B 两处地面高度相等， 就相当于将 A 处部分体积分摊至 AB 两处，但分摊前后 A 部分体积并没有改变只是占地面积由原来A 处面积变为 AB 两处的面积。A 部分体积 =252=50 立方米；分摊到AB 两处后体积不变仍为50平方米 =AB 处面积和 B 处抬高的高度，因此50=（25+36）H 解得 H 0.82 米，所以 B 处可以被抬高大约0.82米，A 处大约下降 20.82=1.18米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思求每颗大球的体积是多少？每颗小球的体积是多少？(2) 每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？ 80立方厘米 160立方厘米液面上升或下降类问题练习：（1）一个长方体鱼缸，长80 厘米，宽 60 厘米，深 40 厘米，把一块长30 厘米，宽 24 厘米，高 16 厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米? （2）在一个长 60 厘米，宽 54 厘米，深 45 厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长 12 厘米，宽 18厘米，高 15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？（3）一个长方体鱼缸，长80 厘米，宽 60 厘米，深 40 厘米，把一块长30 厘米，宽 24 厘米，铁块浸入在水中，水面上升厘米, 求铁块的高。（4）在一个长 60 厘米，宽 54 厘米，深 45 厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长 12 厘米，宽 18厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降5 厘米，求铁块的高。（5）一个长方体玻璃容器，从里面量长2 分米，宽 1.5 分米，高 1.8 分米，里面盛了一半水，现在将体积为0.6 立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？【知识点 7】展开图形拼长方体或正方体例如：用一张长60 厘米，宽 40 厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？思路一：从四个角上分别剪去一个边长为厘米的正方形后， 观察思考做成的长方体长是 （） ， 宽是（） ，高是多少？求出它的容积。思路二：从左边剪下两个边长为厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边， 做成一个无盖的长方体， 观察思考做成的长方体长是（） ，宽是（） ，高是多少？求出它的容积。思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为厘米的正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长是（） ，宽是（） ，高是多少？求出它的容积。四、容积与体积的异同【知识点 1】容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=sh V=abh 从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml 体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常为m 、dm 、cm 、mm 练习：（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5 分米、 2.5 分米、3 分米， ，从里面量长宽高分别为 4.9 分米、2.4 分米、2.9 分米，这个鱼缸的容积是 （） ，体积是（） ，如果鱼缸中装满水，水的体积是（） 。（2）一个仓库能容纳150 立方米的大米，这个仓库的（） ，是 150 立方米。【知识点 2】容积和体积的大小关系一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。练习：（1）一个长方体水箱，从外面量长5 分 2 米，宽 1.5 米，高 1 米，水箱厚度为 5 厘米，将水箱内装满水，水的体积是多少？水箱的容积是多少？（2）一个长方体的水池，从里面量长是7.5 米，比高长 2.1 米，宽比高多 1.4 米，若水池里的水面距水池底0.82 米，水池里蓄了多少升水？也就是说容积体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页