3.1.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念计数的需要计数的需要自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）表示相反意义的量表示相反意义的量解方程解方程x+3=1整数整数测量、分配中的等分测量、分配中的等分解方程解方程3 x=5有理数有理数度量的需要度量的需要解方程解方程x2=2实数实数解方程解方程x2=1NZQR自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）整数整数有理数有理数实数实数合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？中，该问题能得到圆满解决呢？思考？思考？引入一个新数：引入一个新数：规定规定规定规定 一元二次方程一元二次方程 在实数集在实数集范围内的解是范围内的解是 ？引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系例如例如（1 1）i i2 2=-1=-1=-1=-1; ; ; ; （2 2）实数实数实数实数可以与可以与可以与可以与i i进行四则运算，进行四则运算，进行四则运算，进行四则运算，叫做叫做叫做叫做虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位， 并并并并规定规定规定规定： 引入的新数引入的新数引入的新数引入的新数i， 进行进行进行进行四则运算四则运算四则运算四则运算时，原有的时，原有的时，原有的时，原有的加法、乘加法、乘加法、乘加法、乘法运算律法运算律法运算律法运算律( (交换、结合、分交换、结合、分交换、结合、分交换、结合、分配配配配) )仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立 1.实数实数a与与i相加，记作：相加，记作： 2.实数实数b与与i相乘，记作：相乘，记作： 3.实数实数a与与bi相加，记作：相加，记作：bia+bi 这些运算都可以写成这些运算都可以写成这些运算都可以写成这些运算都可以写成a+bia+bia+bia+bi（a,bRa,bRa,bRa,bR) ) ) )的形式的形式的形式的形式 a+i全体复数组成的集合叫做全体复数组成的集合叫做全体复数组成的集合叫做全体复数组成的集合叫做复数集复数集复数集复数集, , 一般用一般用一般用一般用C C表示表示表示表示 . . C C= = = = a+bi | a,bR 一、复数的有关概念一、复数的有关概念1.1.复数的定义复数的定义 z = a + b i (a,bR)实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部 知知知知 识识识识 探探探探 究究究究复数通常用字母复数通常用字母z表示，表示，记作记作:z =a+bi （aR， bR），把这一表示形式叫做），把这一表示形式叫做复数的代数形式复数的代数形式。把形如把形如a+bi（aR，bR）的数叫）的数叫复数复数,其中其中i叫叫虚数单位虚数单位。（完成104页练习1） 2.2.如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别分别相等相等，那么我，那么我们就说这们就说这两个复数相等两个复数相等注：注：2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了等，而不能比较大小了.即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知i5i+41 1、请指出下列复数的实部与虚部。、请指出下列复数的实部与虚部。、请指出下列复数的实部与虚部。、请指出下列复数的实部与虚部。0特别的，当特别的，当特别的，当特别的，当a=a= 0 0 且且且且b=b= 0 0 时，时，时，时，z=0z=0当当当当b=b= 0 0 时，时，时，时，z z为为为为实数实数实数实数当当当当b b 0 0 时，时，时，时，z z为为为为虚数虚数虚数虚数当当a= 0 且且b 0时，时，z为为纯虚数纯虚数对于复数对于复数z= a+bi（aR，bR）非纯虚数的虚数：非纯虚数的虚数：a 0,b 0复数复数a+bia+bi复数集，虚数集，实数集，复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？纯虚数集之间的关系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集3、复数的分类、复数的分类（完成104页练习2）例例1: 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 （1）实数？）实数？ （2）虚数？（）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数例例2: 已知已知 ，其中其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得解题思考：解题思考：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想1.1.虚数单位虚数单位i 的引入的引入解决了负数不能开平方的矛盾，解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成都可以写成 abi（a，bR）的形式）的形式.2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部 、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数