下下下下回回回回停停停停随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布 复习复习例例1 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24=1,c =24/5解：解：(1)由由确定确定C例例1 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x例例1 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x即即 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：0x1 0y0)上的均匀分布。试求它们的和上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 解解 X与与Y的概率密度分别为的概率密度分别为 显然仅当显然仅当 上述积分不等于零上述积分不等于零 。因此，当因此，当0z2a时，时， 当当-2az0时，时， az=x+az=x-a-aa-azx2a-2aofZ(z)z-2a2ao所得到的分布称做所得到的分布称做辛卜生辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布或称做三角分布分布，其概率密度曲线如图。，其概率密度曲线如图。 则有则有2、M=max(X，Y)及及N=min(X，Y)的分布的分布故有故有推广推广例例6解解例例7 设设X1，X2，Xn相互独立，且都服从相互独立，且都服从(0，1)上的上的均匀分布，试求均匀分布，试求U=max(X1，X2，Xn )及及V=min( X1，X2，Xn )的密度函数。的密度函数。 解解 因为相应于（因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为）上均匀分布的分布函数为 因此因此U的分布函数为的分布函数为 故故U的概率密度为的概率密度为 而而V的分布函数为的分布函数为 故故V的概率密度为的概率密度为 小结小结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布习习习习 题题题题 课课课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点二维随机变量的分布二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性有关概率的计算和随机变量的独立性2.难点难点条件概率分布条件概率分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分 布布条条 件件 分分 布布两两 个个 随随 机机 变变 量量 的的 函函 数数 的的 分分 布布随随 机机 变变 量量 的的 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广二、主要内容二、主要内容二、主要内容二、主要内容二维随机变量二维随机变量(1) 定定义义 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数且有且有(2) 性性质质 (3) n 维随机变量的概念维随机变量的概念二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律离散型随机变量离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为的分布函数为二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度(1) 定定义义 (2) 性性质质 表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的全平面之间的空间区域的全部体积等于部体积等于1.(3) 说说明明 (4) 两个常用的分布两个常用的分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域, 其面积为其面积为 A , 若二若二维随机变量维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称( X,Y )在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.边缘分布函数边缘分布函数 为随机变量为随机变量 ( X,Y ) 关于关于 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.离散型随机变量的边缘分布离散型随机变量的边缘分布 随机变量关于随机变量关于X 和和 Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为联合分布联合分布边缘分布边缘分布连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布同理得同理得 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度(1) 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布随机变量的条件分布同理可定义同理可定义(2) 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性说明说明 (1) 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为二维随机变量的推广二维随机变量的推广其它依次类推其它依次类推.(5) 随机变量相互独立的定义的推广随机变量相互独立的定义的推广随机变量函数的分布随机变量函数的分布 (1)离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布当当 X, Y 独立时独立时,(2)连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布则有则有推广推广三、典型例题三、典型例题例例1解解例例2解解故得故得从而有从而有: : 因此因此求证求证: 随机变量随机变量X没有数学期望没有数学期望.证证 由定义由定义, 数学期望应为数学期望应为由微积分学可知由微积分学可知, 右边的级数发右边的级数发散散. 因此因此, 随机变量随机变量X 没有数学期望没有数学期望.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为备用题备用题备用题备用题例例例例 8-18-1解解由于由于例例8-2 (柯西柯西分布分布) 设随机变量设随机变量X服从柯西分布服从柯西分布, 求求E X .因因X服从柯西分布服从柯西分布, 则其密度函数为则其密度函数为因而其数学期望因而其数学期望E(X)不存在不存在.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例例例例9-19-1解解 已知已知X在在0,60上服从均匀分布上服从均匀分布, 其密度为其密度为电梯于每个正点的第电梯于每个正点的第5分钟、第分钟、第25分钟和第分钟和第55分钟从底层起行分钟从底层起行. 假设在早上的假设在早上的8点的第点的第X分钟分钟到达底层候梯处到达底层候梯处, 且且X在在0,60上服从均匀分上服从均匀分布布求游客等候时间的数学期望求游客等候时间的数学期望. （考研试题）（考研试题）设设Y是游客等候电梯的时间是游客等候电梯的时间(单位单位:分分), 则则因此因此 11.67解解例例 9-2 设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为试求试求 . (考研试题考研试题)解解例例 9-3（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数若记真正卖报数为若记真正卖报数为Y, 则则Y与与X的关系如下：的关系如下：X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布. 如果每卖出一份报如果每卖出一份报可报酬可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童若某报童买进买进n份报份报, 试求其期望所得试求其期望所得. 进一步进一步, 再求最再求最佳佳的卖报份数的卖报份数.因此期望所得为因此期望所得为记所得为记所得为Z, 则则Z与与Y的关系如下的关系如下:则则Y的分布为的分布为当当a, b, 给定后给定后, 求求n使使M n 达到极达到极大大.利用软件包求得计算结果如下利用软件包求得计算结果如下: