学习好资料欢迎下载二次函数【知识要点】1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数. 2. 二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 ， 其 中abackabh4422，. 3. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0x. 4. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同， 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 7. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3） 交点式： 已知图像与x轴的交点坐标1x、2x， 通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （ 4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. （ 5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载的交点， 由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121【经典练习】1二次函数y= x26x 5，当x时，0y，且y随x的增大而减小。2. 抛物线)2(22mmxxy的顶点坐标在第三象限，则m的值为（）A21mm或 B 10mm或 C 01m D1m3抛物线y=x2 2x3 的对称轴是直线（）A x =2 Bx = 2 Cx = 1 D x =1 4二次函数y=x2+2x 7 的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A 3 B 5 C 3 和 5 D3 和 5 5抛物线y=x2 x 的顶点坐标是（）11111A. ( 1, 1 ). (, 1 ). (,). (,)22424BCD6二次函数cbxaxy2的图象，如图1 2 40 所示，根据图象可得a、b、c 与 0 的大小关系是（）A a 0，b0， c 0 B a 0， b0，c0 C a 0，b0，c 0 D a 0， b0，c07小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3 5 t 4 9 t2(t 的单位s；h 中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A 071s B 0.70s C 0.63s D 0 36s 8已知抛物线的解析式为y=（ x 2）2 l，则抛物线的顶点坐标是（）A （ 2， 1）B （2，l）C （2， 1）D （1， 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载9若二次函数y=x2x 与 y= x2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）A这两个函数图象有相同的对称轴B这两 个函数图象的开口方向相反C方程x2+k=0 没有实数根D二次函数y= x2 k 的最大值为1 10抛物线y=x2 +2x 3 与 x 轴的交点的个数有（）A 0 个B 1 个C2 个D 3 个11抛物线y=（ x l）2 +2 的对称轴是（）A直线x=1 B直线x=1 C直线x=2 D直线x=2 12已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则在“a0， b 0， c0， b24ac0”中，正确的判断是（）A、B、C、D、13已知二次函数cbxaxy2(a0）的图象如图所示，则下列结论：a、 b 同号；当x=1 和 x=3 时， 函数值相等； 4a+b=0 ； 当 y= 2 时， x 的值只能取0 其中正确的个数是（）A l 个B 2 个C3 个D 4 个14如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1， 3） ，则此抛物线对应的二次函数有（）A最大值1 B最小值3 C最大值3 D最小值1 15用列表法画二次函数cbxaxy2的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20， 56， 110， 182，274， 380， 506， 650其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A 506 B380 C 274 D 182 16将二次函数y=x2 4x+ 6 化为y=(x h)2+k 的形式：y=_ 17把二次函数y=x2 4x+5 化成 y=(x h)2+k 的形式： y=_ 18若二次函数y=x2 4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=_ _ （只要求写一个）19抛物线y=(x 1)2+3 的顶点坐标是_ 20二次函数y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 1,0） 、 B（3,0） 、 C（0,3）三点，(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。(2)若点（ x0,y0）在抛物线上，且0x0 4, 试写出y0的取值范围。22华联商场以每件30 元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载价x（元）满足一次函数y=162 3x；（ 1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；（ 2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？23某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系） 根据图像提供的信息，解答下列问题：（ 1）求累积利润s（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（ 2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（ 3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？24如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20 米，如果水位上升3 米时，水面CD的宽为10 米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米， （桥长忽略不计）货车以每小时40 千米的速度开往乙地，当行驶到1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时25. 0米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处） ，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？25. 已知直线y 2x b(b 0) 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B; 一抛物线的解析式为y x2 (b 10)x c. 若该抛物线过点B， 且它的顶点P在直线y 2xb 上，试确定这条抛物线的解析式；若过点B 作直线BC AB交 x 轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y 2x b 的解析式 . 26如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正yxCDABO3 4 5 6 -1 -2 -3 s(万元 ) t(月) O 4 32 1 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载方向上，A( 0, 6 )，D ( 4 ，6) ，且 AB=2 10 . （1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3） 在 （2） 中所求的抛物线上是否存在一点P， 使得 SPBD=12S梯形 ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载答案 : 15 2. D 21. (1) (1,4) (2) 5 y0 4 22. (1) W= 3x2+252x 4860 (2) W最大=432 （元）23. (1) S= 12t2 2t (t 0) (2) 当 S=30 时， t=10 (3) 当 T=8 时， S=16 24. (1) y= 125x2(2) 水位约4 小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60 千米 /小时25. (1) y=x2 4x 6 或y=x2 10 (2) y= 2x 2 (提示， RtABC中， OB2=OA OC 26 (1) B( 2, 0) (2) y= 12x2+2x+6 (3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P 点必定在直线BD 下方，P1 (1+21 ，21 3) P2（121 ，21 3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页