数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射1. 集合2. 映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限1. 实数系的连续性2. 数列极限3. 无穷大量4. 收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数1. 函数极限2. 连续函数3. 无穷小量与无穷大量的阶4. 闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章微分1. 微分和导数2. 导数的意义和性质3. 导数四则运算和反函数求导法则4. 复合函数求导法则及其应用5. 高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用1. 微分中值定理2.L Hospital法则3. 插值多项式和 Taylor 公式4. 函数的 Taylor 公式及其应用5. 应用举例6. 函数方程的近似求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor 公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用 LHospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分1. 不定积分的概念和运算法则2. 换元积分法和分部积分法3. 有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（ 1 3）1. 定积分的概念和可积条件2. 定积分的基本性质3. 微积分基本定理第七章定积分（ 4 6）4. 定积分在几何中的应用5. 微积分实际应用举例6. 定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分1. 反常积分的概念和计算2. 反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数1. 数项级数的收敛性2. 上级限与下极限3. 正项级数4. 任意项级数5. 无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数1. 函数项级数的一致收敛性2. 一致收敛级数的判别与性质3. 幂级数4. 函数的幂级数展开精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页5. 用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章 Euclid空间上的极限和连续1.Euclid空间上的基本定理2. 多元连续函数3. 连续函数的性质本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章多元函数的微分学（ 15）1. 偏导数与全微分2. 多元复合函数的求导法则3.Taylor公式4. 隐函数5. 偏导数在几何中的应用第十二章多元函数的微分学（ 67）6. 无条件极值7. 条件极值问题与Lagrange 乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章重积分1. 有界闭区域上的重积分2. 重积分的性质与计算3. 重积分的变量代换4. 反常重积分5. 微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章曲线积分与曲面积分1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分2. 第二类曲线积分与第二类曲面积分3.Green 公式， Gauss公式和 Stokes 公式4. 微分形式的外微分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页5. 场论初步本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式， Gauss公式和 Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出 Green 公式， Gauss公式和 Stokes 公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章含参变量积分1. 含参变量的常义积分2. 含参变量的反常积分3.Euler积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler 积分的计算。第十六章 Fourier级数1. 函数的 Fourier级数展开2. Fourier级数的收敛判别法3. Fourier级数的性质4. Fourier变换和 Fourier积分5. 快速 Fourier变换本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fourier级数的收敛判别法与 Fourier级数的性质，对 Fourier变换与 Fourier积分有一个初步的了解。试题一、解答下列各题1、求极限limtantansinln().xxx2212、.d)1(3xeexx求3、求极限lim.xxxxxx100101010 0100012324、，求设ytdtxyx3022sin5、设，；，求，其中f xxxxxxxfafaa( )()()2211211106、求极限limlnxxx1217、设，求yxxy()ln()31318、求dxxx210231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页9、设，求y xx edyxx( )32110、求由方程常数确定的隐函数的微分xyaayy xdy2323230()( )11、设由和所确定试求yy xxsysdydx( )()(),1121221212、设由方程所确定 求yy xyeyxyx( ),13、若证明xxxx01222,ln()14、求1614xxdx15、求2124xxdx16、.)1)(1(d2xxx求二、解答下列各题1、?,20,问其高应为多少要使其体积最大其母线长要做一个圆锥形漏斗cm2、求曲线与所围成的平面图形的面积yxyx22.3、求曲线和在上所围成的平面图形的面积yxyx2301 ,.三、解答下列各题证明方程在区间，内至少有一个实根xx57412()四、解答下列各题判定曲线在，上的凹凸性yxx() 30第二部分（1） 课程名称 ：微分几何（2） 基本内容 ：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：曲线论 ，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率； Frenet标架与 Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton 公式， Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理。曲面的局部理论 ，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构； Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常 Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。基本要求 ：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。二、讲授纲要第一章 三维欧氏空间的曲线论 1 曲线 曲线的切向量 弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。 2 主法向量与从法向量曲率与扰率教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。 3 Frenet 标架 Frenet 公式教学要求：掌握 Frenet公式，能运用 Frenet公式去解决实际问题。 4 曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。 5 曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。 6 平面曲线的一些整体性质61 关于闭曲线的一些概念62 切线的旋转指标定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页63 凸曲线 * 64 等周不等式 * 65 四顶点定理 * 66 Cauchy-Crofton公式 * 教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式。 7 空间曲线的整体性质71 球面的 Crofton 公式* 72 Fenchel定理* 73 Fary-Milnor 定理* 教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的 Crofton 公式，Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理。第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何 1 曲面的表示 切向量 法向量11 曲面的定义12 切向量 切平面13 法向量14 曲面的参数表示15 例16 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。 2 曲面的第一、第二基本形式21 曲面的第一基本形式22 曲面的正交参数曲线网23 等距对应 曲面的内蕴几何24 共形对应25 曲面的第二基本形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。 3 曲面上的活动标架曲面的基本公式 31 省略和式记号的约定 32 曲面上的活动标架曲面的基本公式 33 Weingarten变换 W 34 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。 4 曲面上的曲率 41 曲面上曲线的法曲率42 主方向 主曲率43 Dupin标线44 曲率线45 主曲率及曲率线的计算总曲率 平均曲率46 曲率线网47 曲面在一点的邻近处的形状48 Gauss映照及第三基本形式49 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。 5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 51 曲面的基本方程 52 曲面论的基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。 6 测地曲率 测地线 61 测地曲率向量 测地曲率 62 计算测地曲率的 Liouville 公式 63 测地线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页 64 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系 65 应用 66 测地扰率 67 Gauss-Bonnet 公式教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。 7 曲面上的向量的平行移动71 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分72 绝对微分的性质73 自平行曲线74 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示75 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。习题：1. 证明推论 2.3.1，2. 设 X，Y为 Banach空间，Xbatx,:)(是连续抽象函数 , 对有界线性算子YXT :，证明：Tx在,ba上R可积，并且babadttxTdttTx)()(。3. 设,baC到,baC中的算子T由tadssxstTx22)()1()(给出，T在任一元素 x处是否F可导？若答案肯定，求导算子)(xT。4.设f是nR到R中的一个1C映射。证明：f在nRx0处沿方向nRh的G微分);(0hxdf等于 grad f (x0) hT, 这里 grad f =（nxfxfxfxf,321）, ;),(21nhhhh在nnexxxxxxxxf132131),;(和),1 ,0, 0,0, 3, 2, 1(h) 1 ,2 , 3, 1,(0nnx的情况下计算);(0hxdf，又问：f在nRx处的F导数是什么？当nnxxxxxf33221)(时求)(xf。5. 设32:RRT由)54,3,(),(222yxyxyyxyxT定义，求T在（ 1，2）处沿方向（ 1，1）的G微分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页解：写yxyxyyxyxT543222，知5432222xyyyxyxT，故所求G微分为152115414421121T。6. 设X、Y是赋范线性空间，T：YX由XxyAxTx,0定义，其Yy0，AB(X, Y )，证明T在Xx处F可微，且求其F导算子。解：oooyAhAxyAxyhxAxThxTXhXx)()()()(,AhyAxo，由于AB(X, Y )，且Thh),0(, 001在x处是F可微的，且AxT)(。7. 设23:RRT由3222),(,)2,23(),(RzyxRxzyyxzyxT确定，求T在（1，2，1）处的F导数。解：采用列向量表示，T将zyx变换成xzyyx22322，故T在zyx处的 F 导数应是变换T的 Jacobi矩阵xyzx222026，在)1, 2, 1(),(zyx处，此矩阵为242026，在列向量表示下，T在（1，2，1）处的F导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：,2420263321321321Rhhhhhhhhh右端即23212124226Rhhhhh故T在（1，2，1）处的F导数就是将),(321hhh变换为)242,26(32121hhhhh的线性变换。备注 1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。备注 2：当23:RRT表示为3222,223RzyxRxzyyxzyxT，我们可得T在zyx处的F导数是：xyzxzyxT222026，即3321321321,222026RhhhhhhxyzxhhhzyxT，故321121hhhT332132121,24226Rhhhhhhhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页或242026121T，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。第三部分1. 高等代数基本定理设K为数域。以 xK表示系数在K上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果)0(,.)(0110axKaxaxaxfnnn，则称 n 为)(xf的次数，记为)(degxf。定理（高等代数基本定理）Cx的任一元素在 C 中必有零点。命题 设)10( ,.)(0110naaxaxaxfnnn，是 C 上一个 n 次多项式， a是一个复数。则存在C 上首项系数为0a 的1n次多项式)(xq，使得)()()(afaxxqxf证明 对n 作数学归纳法。推论0x 为)(xf的零点，当且仅当)(0xx为)(xf的因式（其中1)(degxf）。命题（高等代数基本定理的等价命题）设nnnaxaxaxf.)(110) 10(0na，为 C 上的 n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n个复数naaa,.,21，使).()()(210nxxxaxf证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对 n 作数学归纳法。2高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设K是一个数域， x是一个未知量，则等式0.1110nnnnaxaxaxa（1）（其中0,.,010aKaaan）称为数域K上的一个 n次代数方程 ；如果以Kx带入（ 1）式后使它变成等式，则称为方程（ 1）在K中的一个 根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的)1(n次代数方程在复数域 C 内必有一个根。命题n次代数方程在复数域C 内有且恰有 n个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个 n 次、m次多项式)0(.)(10nnnaxaxaaxf，)0(.)(10mmmbxbxbbxg，如果存在整整数l,nlml,及1l个不同的复数121,.,ll，使得) 1,.,2 , 1()()(ligfii，则)()(xgxf。1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页设101( )nnnf xa xa xa ，其中0,0iaK a。设( )0fx的复根为12,n（可能有重复），则1210112121( )()()()()().nininnnnf xxxxxaxx所以)()1(21101naa；niiiiaa21210202) 1(；.)1(210nnnaa我们记1),(210n；nn21211),(；niiiiiinrrr2121021),(；nnn2121),(（12,n称为12,n的初等对称多项式 ）。于是有定理 2.5 (韦达定理 ) 设101( )nnnf xa xa xa ，其中0,0iaK a。设( )0f x的复根为12,n。则),() 1(211101naa；),() 1(212202naa；).,()1(210nnnnaa命题 给定 R 上 n次方程0.1110nnnnaxaxaxa，00a，如果bai 是方程的一个根，则共轭复数bai 也是方程的根。证明 由已知，1011.0nnnnaaaa. 两边取复共轭，又由于naaa,.,10R，所以1011.0nnnnaaaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页高等代数试题设VVL),(，并且，)(，)(1k都不等于零，但0)(k，证明：，)(，)(1k线性无关答案：按线性无关的定义证明2、令xFn表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，)()(:xfxf，求关于以下两个基的矩阵：（1）1， x，2x，nx，（2）1，cx，! 2)(2cx，!)(ncxn，Fc答：（ 1）000000002000010n（2）00001000010000103、4F表示数域F上四元列空间取7931181332111511A对于4F ，令A)(求)dim(ker(，)dim(Im(解：2)(AR，取4F的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵 AB的列向量恰是这个基的象。又0B，所以2AR)AB(R）（所以2)dim(Im(2)(4)dim(ker(AR解空间的秩4、设F上三维向量空间的线性变换关于基321,的矩阵是6788152051115，求关于基321332123211224332的矩阵3211ATTB211243132T5、令是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件2，证明：（ 1）V)()ker(（2）)Im()ker(V证明：（ 1）V)(，则0)()()()()()(2，)(Ker反之，)(Ker，0)(，V)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页于是V)()ker()()(,V，即)Im()ker(V设)Im()ker(由)Im(，有V，使得）（）（，所以因22),()(,)(又)ker(，所以00）（，于是）（，即0所以0)Im()ker(6、设163053064A，求10A解：特征值21321，特征向量T），（1001T），（0122，T），（1113），（321P则，APP111010PPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页概率易错知识点总结（原创）1、“非等可能”与“等可能”的区别如果一次随机实验中可能出现的结果有N 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/N；如果其中某个事件A 包含的结果有M 个，则事件 A 的概率为 M/N 。2、互斥与对立对立一定互斥，但是互斥不一定对立。不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果 A，B 互斥则 P（A+B）=P（A）+P（B），必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，如果A，B 对立则满足两个条件（ 1）P（AB）=空集；（ 2）P（A+B）=1。3、互斥与独立不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B 互斥则 P（A+B）=P（A）+P（B），事件 A（或者 B）是否发生不影响事件B（或者 A）发生的概率，则 A 和 B 独立。此时 P（AB）=P（A）p（B）；概率为 0 或者 1 的事件与任何事件都独立，如果两个事件存在包含关系，则两个事件不独立；如果0P（A）1，0P（B） 1，如果 A，B 互斥则不独立，如果A，B 独立则不互斥（注意条件）。4、排列与组合这一点还是比较简单的，不过还是有部分同学不太清楚。排列与顺序有关，组合与顺序无关。还有一点要注意；同类相乘有序，不同类相乘无序。5、不可能事件与概率为0 的随机事件这两者之间的关系为：不可能事件的概率P()=0,但是反过来，概率为零的随机事件 A 未必是不可能事件，也就是说，由P(A)=0 推不出 A=,例如连续型随机变量在任何一点的概率都为0。6、必然事件 与概率为 1的事件即必然事件的概率为1，但是概率为 1的事件未必是必然事件，即由P(A)=1 推不出 A=，对于一般情形，由P(A)=P(B)同样不能推得 A=B 即 A=B 仅仅是(A)=P(B)的充分条件。7、有关条件概率，一般记为 P(A|B)表示 B 事件的发生条件下A 发生的概率，这里我要说明的是如果B 是 A 的子集 那么 P(B|A)=P(B)是不对的，按推导P(B|A)=P(AB)/P(A) 只有当 P(A)=1 时原式才等于 P(B);同样可以理解 P(A|B)=1 如果我写出 P(A|B)=1 那么会有一半多的朋友会认为B 是 A 的真子集，其实这是一道93 年的真题，事实上这是一道错题，错就错在“B 是 A 的真子集”是 P(A|B)=1 的充分条件，而不是必要条件，举个例子P(A|B)=P(AB)/P(B)( 这里 P(AB)是服从 01分布的在区间为(0，1/2)的概率， P(B)是服从 01分布的在区间为 0，1/2 概率，他们的比也是 1 但是 A 不是 B 的真子集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页