-第第九九章章 正正弦弦稳稳态态电电路路的的分分析析重点：重点：1 1 阻抗与导纳的概念及意义阻抗与导纳的概念及意义2 2 正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路的相量分析方法3 3 正弦交流电路的功率分析正弦交流电路的功率分析4. 4. 串联谐振及并联谐振的特点及分析串联谐振及并联谐振的特点及分析9.19.1 阻抗与导纳阻抗与导纳9.1.19.1.1 阻抗及导纳阻抗及导纳一、阻抗1相量形式的欧姆定律 RI I Z ZI IU URRR RR jLI I jXI I Z Z I IU ULLLLL LL1I I jXI I Z Z I IU UCCCCCCjC2阻抗的定义U UZ ZR RR RI IRU UZ ZLL jLI ILU U1Z ZCCjCI IC，端口的电流相量为I I，不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为U U+U U_I I二端口网络则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为U UZ Z |Z |I I3 几个概念图图 11-111-1 阻抗的定义阻抗的定义Z Z |Z | R jX其中，R称为电阻，X称为电抗，而XL L称为感抗，XC1/C称为容抗二、导纳1导纳的定义，端口的电流相量为I I，不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为U U则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为I IY Y |Y |U U2 几个概念Y Y |Y | G jB其中，G称为电导，B称为电纳，而BL1/L称为感纳，BC C称为容纳-9.1.29.1.2 阻抗的意义阻抗的意义1引入的意义使得正弦电路电路的分析计算可以仿照电阻电路的计算方法进行。2阻抗参数的意义Z Z |Z | R jX1）|Z |其中|Z |表征端口电压与端口电流的幅值比， 即表征了电路部分对正弦交流电流的阻碍作用。|Z |越大， 对交流电流的阻碍作用越大比如电容元件通高频、 阻低频的特性分析：| ZC|1/C，电感元件通低频、阻高频的特性分析：| ZL| L。2）其中表征端口电压与端口电流的相位关系， 即表征了电路端口电压超前端口电流的角度。3阻抗三角形与串联电路中的电压三角形有如下所示的 RLC 串联电路i(t)RC+ uR(t)-+ uC(t) -+Lu(t)uL(t)_图图 11-211-2（a a）RLCRLC 串联的正弦交流电路串联的正弦交流电路首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型：I IR1/C+U UR R-+-+LU UC CU UU UL L_U U图图 11-211-2（b b）RLCRLC串联电路的相量模型串联电路的相量模型根据 KVL： U U U U U U RI I jLI I1I I (R jL 1)I IU URLCjCjC则：Z Z U U11 R jL R j(L ) R j(XL XC) |Z |jCCI I其中：|Z |R2 (XL XC)2R2 (L L 1C12)CXL XCU U arctg arctgRR4 感性电路 U UU UL LC|Z|1一个不含独LCI I- U UR R图图 11-3 RLC11-3 RLC 串联电路中的“三角形”串联电路中的“三角形”与容性电路立源的电路部分（二端口-网络）的策动点阻抗为L Z Z | Z | R2 (XL XC)2arctg当 0，即XL XC（性，称该网络为感性负载；当 0，即XL XC（性，称该网络为容性负载；例如：1RL 串联RI I+U U-+LR RU UU UL L_U U1CRL 1C）时，网络端口电压超前网络端口电流，网络呈现感1C）时，网络端口电压滞后网络端口电流，网络呈现容L 根据 KVL：U U U UR U UL RI I jLI I (R jL)I IU UZ Z R jL R jL R jXL|Z |I I则：222其中：|Z |R XLR (L)XL arctgL arctgRR2U U|Z|U UL LLU UI IR R 2RC 串联RI I+U U-+ 1/CR RU UU UC_U U U UR R1/C|Z|U UCU UI I U U U U RI I j1I I(R j1)I IU URCCC根据 KVL：U U11Z Z R j R j R jXC| Z |CCI I则：其中：|Z |R2 XCR2 (212)C arctg3RL 并联 XC arctgR1C arctg 1RRC- I IR RU UI I+L|Z|U UU UU UL LR R_R_U UI ILI IR RI II IL L U U U U RI I jLI IU URLRLU UU URI IRRR则：U UU ULI ILjLjLU UU U11I I I IL I IR ()U URjLRjL根据 KCL：R(L)2U U1LR2Z Z 2 j2211R (L)R (L)2I IRjL所以：4RC 并联I I+1/CU UU UU UR R_R_CU UI IR RI ICI I|Z|I IC1/LU UI I R R U U U U RI I j1I IU URCRLCU UU URI IRRR则：U UI ILC jCU U1jCU U (1 jC)U UI I I IC I IR jCU URR根据 KCL：U U1R2CR2Z Z j11 (RC)21 (RC)2I I jCR所以：9.1.39.1.3 入端阻抗的求取入端阻抗的求取应用“等效”的概念， 可以得出阻抗串并联的等效阻抗，其计算方法与相应的电阻电路的计算方法相同。1串联-Z Z2并联Z ZIY Y 3混联直接根据阻抗的串并联关系求取。4其他Y YI无法使用阻抗的串并联直接求解的混连情况， 以及含有受控源的情况， 均可根据入端阻抗的定义求取。 （加源法，开路短路法）9.29.2 正弦交流电路的计算正弦交流电路的计算9.2.19.2.1 步骤步骤1计算出相应的 LC 对应的感抗与容抗2绘制原电路对应的相量模型3按照 KCL、KVL 及元件的 VCR 计算待求量对应的相量4得出待求量对应的时域量9.2.29.2.2 例题例题 1 1KCLKCL、KVLKVL1已知：有如下所示的RLC 并联i(t)iR(t)+R+C+Lu(t)uR(t)uC(t)uL(t)_首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型：+R+ 1/C+L_根据 KCL：U UU UU U11I I I IR I IL I IC ( jC)U U1RjLRjLjCU U1Z Z 11I I( jC)RjL则：1I I1Y Y jCRjLU U即：-I II IL L I ICU UI IR R U U9.2.39.2.3 例题例题 2 2阻抗的串并联阻抗的串并联已知：电路如图所示，i 5sin2t A，R1，L 0.25H，C 1F。Z ZRRi1(t)i1(t)+I I1+I I2i(t)+1/jCjLI ICLU UU U12u1(t)u2(t)_求：u1(t)，u2(t)o解：I Im50 AI I1 1I I2U ULI IU U1m1m11 0.5j()jCj21Z ZL jL j 20.25 0.5j()(0.5j)(1 0.5j)Z Z Z Z1/Z Z2 0.25 0.5j()（ 0.5j） （ 1 0.5j）o Z ZI I (0.25 0.5j)50 1.25 2.5j 2.795 63.4o(V)Z ZC CmmU URU U1 1Z ZL L0.5j (1.25 2.5j)1.251.250o(V)Z ZR Z ZL L1 0.5jo所以：u1(t) 2.795sin(2t 63.4 ) Vu2(t) 1.25sin 2t V U UU U2mm1m1m9.2.49.2.4 例题例题 3 3阻抗的定义及串并联阻抗的定义及串并联已知：电路如图所示，u(t) 220cos314t Vi1(t) 22cos(314t 45o) Ai1(t) 11 2 cos(314t 90o) A求：1）各表的读数2）R、L、C解：1）求各表的读数 2200oVU UAA1+A2u(t)VCLR_22 45oAI I12-1190oAI I2 I I I I11 j1111j 110o(A)I I12所以，伏特表读数为：220V，干路上的安培表读数为11A，安培表 1 的读数为 15.6A，安培表 2 的读数为 11A。2）求 R、L、C2200o1U UZ ZC j 20 90ooCI I11902 21 20C11C 159(F)2031420所以：U U2200oZ Z2 R jL 10 10 j()oI I11 2 451R 1010L 10 L 0.318(H)314R 10L 0.318HC 159F所以：9.2.59.2.5 例题例题 4 4相量图的应用相量图的应用4-1已知：电路如图所示，R11k，R2a ai(t)+i1(t)i2(t)R1R2u(t)c c+ + ucd-d d_ 2k，L1Ha aI II II I21 1+Z Z1 1R1R2Z Z2U Uabc c+ +-d dU Ucd_jXL-jXCb bLCb b求：1）画出电路对应的定性的相量图2）调节电容 C，使得UcdUab，此时的 C=？解：1）画出相量图a.将输入电压作为参考相量；b.Z Z1 1为感性负载，I I1 1滞后U Uab一定的角度1；c.Z Z2为容性负载，I I2超前U Uab一定的角度2d. R I II I1 111 1，I I2 R2I I2e.画出U Ucd：U Ucd I I1 1R1 I I2R2- I IR I I jL I IR I I1U Uab1 111222jCU Uabf.画出：I I1 1RI I1 11U UcdU ULU UabU UCRI I22I I22）调节 C从几何上分析可见：欲使UcdUab，只需Ucd、Uab均为一个圆的直径就可以了。o 9012这样tg 1tg(90o 2) 即：1tg 21Ltg 1tg 2CR1，R2而：1LCRR2代入前式子：1L R1R2C即：LC 0.5FR R12所以：4-2已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。1C，则Uab 0.5US，且uab超前uS90o。证明： （1）如果（2）改变电阻 R 的值，可以在不改变Uab的同时，改变uab对uS的相位差R +Rrusa a+ +uab-b b_rC证明：画出相量图-a.将输入电压作为参考相量；b.Z Z1 1为容性负载，I I1 1超前U Uab一定的角度1；c.Z Z2为阻性负载，I I2与U Uab同相d. R I II I1 111 1，I I2 R2I I2e.画出U Uab：U Uab I I1 1R I I2r I IR I I1 I I(r r)U US1 112jCU Uf.画出S：I I1 1RI I1 1U UabU UCU USrrI II I22rI I2从该相量图中可以看出， 由于支路 2 中的两个电阻相等， 因此相量U Uabab正好是从相量U US的中点出发的，且相量U UC与相量U UR始终互相垂直，这样相量U Uabab就一定位于以相量U USI I2的中点为圆心，0.5US长为半径的位置上。证明（2）中的内容得证。 j1I IU UC1 1C图中：从几何上分析，要相量U Uabab超前相量U US90 度，只需|U UC|U UR|既可，|1|I I|U U| R|I I|U UC1 1R1 1C所以证明（1）中的内容得证。R 1C即为满足（1）中要求的条件。9.2.69.2.6 例题例题 5 5节点电压法节点电压法5-1已知：电路如图所示，R1 R2 500，C 0.5F，L1H，a 9，us(t) 40cos(1000t 90o)V。iC(t)aiC(t)R2LCR1+us(t)_I IC C500I I9C Cj1000500-2000 j+U US S_求：节点电压u1解：1）绘制原电路的相量模型40 20 2 j (V)U US S22其中-R1 R2 500Z ZL L jL j100011000 j ()11Z ZC 2000j ()6jCj10000.510由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）列写节点电压方程该电路仅有一个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：U U1111()U U1 11 1 aI IC C1R1R2jLR2jC-（1）(2103 2103U U11)U U1 11 1 9I IC Cj1000 j2000500补充受控源支路的方程： jCU U j0.5103U UI IC C1 11 1-（2）联立方程（1）和（2） ，可以解得：10(V)U U1 14所以待求量为：u1(t) 10 2 cos(1000t 45o)V5-2已知：电路如图所示，R11，R2 0.707，C1 C2 0.1F，L 0.05H，us(t) 10 2 cos20tV，is(t) 10 2 sin 20tA。i1(t)Li2(t)iC1(t)iC2(t)R1is(t)C1C2R2+us(t)_j1-10j-j0.5-j0.50.707+10_求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)解：1）绘制原电路的相量模型10 20o10 (V)U US S2其中，10 290o j10 (A)I IS Soi (t) 10 2 sin 20t 10 2 cos(20t 90 )A2s而， 所以Z ZL L jL j200.05 j ()11Z ZC1 Z ZC2 0.5j ()jCj200.1由此可以绘出电路的相量模型如图（b）-2）列写节点电压方程该电路有两个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：1U U111)U U1 1U U2S(1jLR1R1jLjC1(111)U U1U U I I21SR21jLjLjC2即：1 111U U10( )U U1j j0.51 1j21(111)U U1U U ( j10)21j0.707j j0.5 jU U10(1 j)U U1 12( 2 j)U U2 jU U110 j解得：I I1 1所以 U UU US S9.34237.1o(V)U U1 1o3.575120.4 (V)U U21R110 9.342 37.1o 6.18565.7o(A)U UI I2 I IS2 j10 2 3.575120.4o 6.193 114.4o(A)R2ooI IC1 jC1U U1 j29.342 37.1 18.6852.9 (A)ooI IC2 jC2U U2 j23.575120.4 7.15210.4 7.15 149.6o(A) U UU U12I IL j(9.342 37.1o 3.575120.4o) 12.69 133.1o(A)jL所以待求量为：i1(t) 6.185 2 cos(20t 65.7o)Ai2(t) 6.193 2 cos(20t 144.4o)AiC1(t) 18.68 2cos(20t 52.9o)AiC2(t)7.15 2cos(20t 149.6o)AoiL(t) 12.69 2 cos(20t 133.1 )A9.2.79.2.7 例题例题 6 6回路法回路法6 已知： 电路如图所示，R 10，C1 50F，us(t) 100 2 cos(2000t 36.9o)V。C250F6，L1 20mH，L210mH-i3(t)C2i5(t)L1L2i6(t)i1(t)+i4(t)i2(t)us(t)_C1R-j60j40j20+_-j101080+j60求：各个支路电流解：1）绘制电路的相量模型100 236.9o80 j60 (V)U US S2其中，Z ZL L1 jL1 j2000 20103 j40 ()Z ZL L2 jL2 j2000 10103 j20 ()Z ZC111 j10 ()jC1j200050106Z ZC21jC21 j60 ()50j20001066由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）使用网孔法，则网孔电流分别为I I1 1、I I2、I I3即11 U U)I I1 1I I2 jL1I I( jL13SjCjC1111 0)I I2I I1 jL2I I(R jL23jC1jC11 jL I I)I I3 jL2I I( jL1 jL2211 0jC2 ( j10)I I j40I I80 j60( j40 j10)I I1 123 ( j10)I I j20I I 0(10 j20 j10)I I213( j40 j20 j60)I I3 20I I2 j40I I1 0 j10I I j40I I80 j60j30I I1 123 (10 j10)I I j20I I 0j10I I123 j40I I1 20I I2 0解得： 2 20o(A)I I1 1o 4 4180 (A)I I2I I 1 j2 2.236116.6o(A)3则可根据 KCL 求得： I I I I 2 (4) 6 60o(A)I I41 12I I5 I I1 1 I I3 2 (1 j2) 3 j2 3.6 33.7o(A)- I I I I 4 (1 j2) 3 j2 3.6 146.3o(A)I I623所以待求量为：i1(t) 2 2 cos2000tAi2(t) 4 2 cos(2000t 180o)Ai3(t) 2.236 2 cos(2000t 116.6o)Ai4(t) 6 2 cos2000tAi5(t) 3.6 2 cos(2000t 33.7o)Ai6(t) 3.6 2 cos(2000t 146.3o)A9.2.89.2.8 例题例题 7 7戴维南定理戴维南定理7已知：电路如图所示100j200+I I10-j50100_求：I I2 2解：1）将所求支路从原电路中划出100j200+10-j50U Uococ_2）求U Uococoo j50 j1 90oo100 U U100 100 oc100 j502 j2.24 26.6o101(0o90o 26.6o)2.24 4.47 63.4o(V)3）求Z Zo oZ Zo j200 100( j50) j100 j200 100 j502 j1 20 j160o()100j200-j50Z Zo o-4）戴维南等效相量模型为20+j160+I I-63.4o1004.47_所以：U U4.47 63.4o4.47 63.4o4.4763.4oocI I R Z Zo o100 (20 j160)120 j16020053.13o0.0224 116.53o(A)9.39.3 正弦交流电路的功率分析正弦交流电路的功率分析9.3.19.3.1 基本概念基本概念在本节中我们研究如下所示的单口网络，其中单口网络的输入阻抗为Z Z，阻抗角为，可设i(t)+u(t)_网络图图 11-411-4单口网络单口网络u(t) Umcos(t ) 2U cos(t )i(t) Imcost 2I cost瞬时功率的定义p(t) dwu(t)i(t)dtUmcos(t ) ImcostUmImcos(2t ) cos2UIcos(2t ) cos其意义为时间间隔t0到t1之间，给予单口网络的能量：t1w(t0，t1) u(t)i(t)dt w(t ) w(tt010)因此，瞬时功率的意义在于：如果u(t)、i(t)参考方向一致，则p(t)表征流入该单口网络的能量的变化率。此时若p(t) 0，表明能量的确流入该单口网络；若p(t) 0，表明能量流出该单口网络；其中从t 到时间t1时给予单口网络的能量为-w(t1) t1tou(t)i(t)dtu(t)i(t)dt t1t0u(t)i(t)dtt0t1 w(t0) u(t)i(t)dt如果单口网络中仅为电阻元件， 则流入的能量将转换成其他形式的能量 （热能、 光能等）被消耗掉，因此不再可能流出端口，这样pR(t)不可能为负数。如果单口网络中为动态元件， 则流入的能量将转换为其他形式的能量 （如电磁能、电场1212LiL(t)CuC(t)22能等）被存储起来（、） ，因此可能再次流出端口，这样pR(t)可能为正，也可能为负，而动态元件的储能可以增加或减少，但是只可能为正值。9.3.29.3.2 平均功率、视在功率与功率因数平均功率、视在功率与功率因数一、平均功率1定义瞬时功率在一个周期内的平均值，其数学表达式为1P T2单位瓦特或千瓦，W 或 kW3平均功率的计算p(t)dt0T根据平均功率的定义： 我们计算上一节谈到的单口网络的平均功率， 从而分析仅含电阻、电感和电容元件及一个一般性的单口网络的平均功率。P UmIm12cos(2t ) cosdt UIcos(2t ) cosdt00022可以注意到，该积分式中的第一项由于频率为2，因此在 02内积分结果为零；因1TTp(t)dt 122此：UmImcosUI cos21）当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效模型）时， 0P PRUmImcos0 UI cos02U ImmUI2U22 I R Ro2）当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的等效模型）时， 90UmImcos90oUI cos90o20o3）当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的等效模型）时， 90PR-PR4平均功率的意义“平均功率”又称“有功功率” ，表征单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化为其他形式的并且消耗掉的能量。二、视在功率 41视在功率1）定义单口网络的端口电压与端口电流的有效值的乘积UmImcos90oUI cos90o201S UI UmIm22） 单位伏安或千伏安，VA 或 kVA3） 意义一般用来表征变压器或电源设备能为负载提供的最大有功功率， 也就是变压器或电源设备的容量。电机与变压器的容量可以根据其额定电压与额定电流来计算：SNUNIN。二、功率因数1定义定义单口网络的功率因数 cos注意：其中的角度为单口网络的阻抗角， 即单口网络的端口电压超前端口电流的相角大小。2意义提高感性负载的功率因数。 （为什么？请同学查阅资料进行分析）1）提高功率因数的意义充分利用能源充分利用能源P S cos，其中 S 为发电设备可以提供的最大有功功率，但是供电系统中的感性负载（发电机、变压器、镇流器、电动机等）常常会使得cos减小，从而造成 P 下降，能量不能充分利用。增加线路与发电机绕组的功率损耗增加线路与发电机绕组的功率损耗由于P UI cos，所以cos越小，输电电流越大。I PU cos，即在输电功率与输电电压一定的情况下，2而当输电线路电阻为 r 时，输电损耗p I r，因此提高cos，可以成平方倍地降低输电损耗。这对于节能及保护用电设备有重大的意义。2）提高功率因数的条件在不改变感性负载的平均功率及工作状态的前提下，提高负载的功率因数。3）方法-在感性负载两端并联一定大小的电容。4）实质减少电源供给感性负载用于能量互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负载上，转化为其他形式的能量（机械能、光能、热能等）5）相量分析I I+I ILRU U-jXC_jXL感性负载I ICI IC 2 21I IU UI ICI IL图由相量图可以看到，感性负载的电压、电流、有功功率均未变化。但是线路电流有变。IC ILsin1 I sin2而：PPsin1sin2U cos1U cos2P(tg1tg2)UIC所以：U CUXCC ICP(tg1tg2)2UU9.3.39.3.3 无功功率无功功率一、无功功率的定义我们在看一看瞬时功率的表达式：p(t) UI cos UI cos(2t )UI cos UI coscos2t UI sincos2tUI cos(1 cos2t) UI sincos2t前面我们分析了该式中的第一项， 它总是大于零的， 从而推出了有关有功功率的概念及计算。现在我们来看第二项。该分量以角频率2在横轴上下波动，其平均值为零，振幅为UI sin。这样我们定义电路部分的无功功率Q：Q UI sin二、单位乏或千乏，var 或 kvar三、意义-由于在电路中，电源的能量一部分用来消耗在电阻元件上， 转化为其他形式的能量； 另外还有一部分用来与阻抗中的电抗分量进行能量交换。无功功率正是用来表征电源与阻抗中的电抗分量进行能量交换的规模大小的物理量。 当Q 0时，表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或电磁能存储起来；当Q 0时，表示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放出来。关于无功功率的理解：可以用运输过程中的有用功与无用功来类比。四、计算电容：QCUCICsin ZCUCICsin 90o UCIC电感：QLULILsin ZLULILsin 90oULIL五、功率三角形与 P、Q 的关系：S P2Q2，P S cos，Q Ssin对于 RLC 串联的电路，可以用以下三个“三角形”来表明其阻抗、电压相量及功率的大小及相位关系。SU UU UQ|Z|1U UL L U UCLCR RP RU U图图 11-3 RLC11-3 RLC串联电路中的三个“三角形”串联电路中的三个“三角形”9.3.49.3.4 复功率复功率一、复功率的定义设U U Uu，I I Ii， u i* I I Ii而相量I I的共轭复数I I*U I UI( ) UI cos jUI sin P jQU Uuiui因为：我们定义复功率S： *S U UI I P jQ二、计算电阻：2I I*SR U URR RIR电容：-I I* j1I2SC U UCCCC电感：2I I*SL U ULL jLIL三、意义复功率的引入， 可以简化几种功率的计算。 即可以通过复功率的计算直接得出有功功率、无功功率及视在功率的结果。S复功率的守恒如果电路各个部分的复功率为i，则电路总的复功率为S为nS Si 0i1复 功 率 的 守 恒 意 味 着 有 功 功 率 与 无 功 功 率 分 别 守 恒 ：nnnnnS SiPi jQi0Pi 0Qi0i1i1i1，即：i1及i1。9.3.59.3.5 正弦电流电路的最大功率传递正弦电流电路的最大功率传递一、复习直流电路的最大功率传递在第四章中我们讨论过电阻负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题：当RL Ro时，负载从电源获得最大的功率。说明：+RoiUocRL_1该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大， 当内阻为零时，负载获得的功率最大。2线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。也就是说，由等效电阻Ro算得的功率并不等于网络内部消耗的功率。关于该命题的理解可以用以下一个简单的电路来看：+4iiL2442_i1+2i122_(a)(b)I3A图 (a) 中 ，RL，I11.5A，IS 4.5A， 因 此 ， 电 源 发 出 的 功 率22PSUSIS 24 4.5 54W，而负载上获得的功率PRL IRLRL 3 2 18W，功率传递的I 3A效 率 为33% ； 图 (b) 中 ，RL，IS3A， 因 此 ： 电 源 发 出 的 功 率 ：22PSUSIS123 36W，而负载上获得的功率：PRL IRLRL 3 2 18W，功率传递的效率为 50%；-负载可变获得最大传输功率的效率较低， 因此，实际中仅在传输功率较小的情况下 （某些通讯系统及电子线路）中用到该定理。二、正弦稳态电路的最大功率传递定理分析方法与前面的相同。含+源二U UL端网_络I IZ ZS S+I IZ ZL LU UU US SL_Z ZL L设对于负载阻抗Z ZL RL jXL而言，含源二端网络可以进行戴维南等效，其中等效的交流电源为U US S，电源内阻抗为Z ZS S RS jXS。下面我们给定电源及其内阻抗的条件下， 分别讨论负载的电阻即电抗均可独立变化以及负载阻抗角固定只是模可变的两种情况下，获得最大功率传递的公式。1 1负载的电阻及电抗均可独立变化共轭匹配负载的电阻及电抗均可独立变化共轭匹配I I电路电流：U US S(RS RL) j(XS XL)I 电量的有效值：US S(RS RL)2 (XS XL)22US2PL I R RL22(RS RL) (XS XL)因此负载电阻的功率：下面我们就要求出RL及XL在什么情况下，PL最大？由于在功率表达式中，XL只出现在分母中，且以(XL XS)的平方项出现，因此当US2RLPL2(RS RL)2；XL XS时，(XL XS)最小为零，此时 PL才能最大为US2RL2(R R )SL接下来我们来看式子在RL取何值时最大。22USRLd2(RS RL) 2(RS RL)RLUS 024dRL(RS RL)(RS RL)由此可得：RL RS因此，当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得最大功率的条件是：RL RS，XL XS，即：Z ZL RL jXL RS jXS Z Z*S S，也就是说，在这种情况下，负载阻抗与电源内阻抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：US2PL max4RS2 2负载的阻抗角固定而负载的模可变负载与内阻抗匹配负载的阻抗角固定而负载的模可变负载与内阻抗匹配Z ZL RL jXL| ZL| | ZL|cos j | ZL|sin 设负载阻抗为：-I I电路电流：U US S(RS| ZL|cos) j(XS| ZL|sin )I 电量的有效值：US S(RS| ZL|cos)2 (XS| ZL|sin)2US2|ZL|cos)PL22(R |Z |cos) (X |Z |sin)SLSL因此负载电阻的功率：下面我们就要求出| ZL|在什么情况下，PL最大？dPL 0d |ZL|22由此可得：|ZL|RS XS因此，当负载仅改变模， 而不改变阻抗角时，负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等于电源内阻抗的模。这样，在负载为一个电阻RL时，负载获得最大功率的条件就与直流22R R XLSS电源时的情况有所不同，为。在电子线路中，我们常常使用理想变压器使负载获得最大功率，这正是本部分所描述的情况另外要注意： 这种情况下获得的最大功率并非最大可以获得的功率， 当负责的阻抗角也可以变化时，负载可以获得更大的功率。9.49.4 谐振谐振有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振”来对应理解。谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生谐振。谐振电路是一种具有频率选择性的电路， 它可以根据频率去选择某些需要的信号， 而排I IR1/jC-+U U+-+jLR RU UC CU UL LU U_图图 12-112-1RLCRLC 串联电路的相量模型串联电路的相量模型除其他频率的干扰信号。9.4.19.4.1 串联谐振串联谐振1串联谐振的条件我们来看下面这个 RLC 串联的电路：前面我们分析过 RLC 串联电路的复阻抗情况，Z Z |Z |，其中12X XC) arctgL arctgC，RR11jL jC，即：LC时，按照谐振的定义：当1L X XCC 0U U arctgL arctgRR。此时10U UI I22|Z |R (XL XC) R。这里，我们称LC（或|Z |R2 (XL XC)2R2 (L L LL 1CR RU UU UC-图图 12-2 RLC12-2 RLC 串联谐振相量图串联谐振相量图-f012 LC）为谐振频率。谐振时的电压相量图为 12-2。2串联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最小U 不变时，I 最大|Z|Z|ROIf0fU/RROIf0fU/ROf0f图图 12-312-3（a a）Of0f图图 12-312-3（b b）2）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻R 上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电压谐振UC IXCXCXUUL IXLLURR，当X R时，UXU。电力系统中，常常尽量避免谐振，以免击穿电路设备（ L、C 等） ；而电子线路中，常用此方法获得高压。4）选频特性与品质因数Q电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。 Q 越大， 网络选频的选择性越强。1U L C1LUQ CL00UURRRC9.4.29.4.2 并联谐振并联谐振情况情况 1 1I II II IRCI IL+R+ 1/C+LU UU UCU UU ULR_图图 12-412-4RLCRLC并联谐振电路一并联谐振电路一|Z|ROIf0fU/ROf0f图图 12-612-6该RLC并 联 电 路 的 复 阻 抗111Y Y jCY Y RjLR时，电路发生谐振。此时电路呈，当现阻性，阻抗为Z Z |Z |1Y Y， 而Z Z 1 RY Y。可见发生并联谐振的条件仍然为：I ICI IR RI IU U-I IL图图 12-512-5 并联谐振相量图一并联谐振相量图一-01f012 LC） 。LC（或电源频率等于谐振频率谐振时的电流相量图为 12-5：2并联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最大I 不变时，U 最大见图 12-62）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻R 上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电流谐振RRIC IIL IXCXL，当R X时，IX I。4）选频特性与品质因数Q定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。 Q 越大， 网络选频的选择性越强。I II IC+I ILRU U-jXC_jXL感性负载图图 12-712-7RLCRLC 并联谐振电路二并联谐振电路二Q 情况情况 2 2ICILRC 0CR RII0LL实际上的并联电路往往是以下这种模型该 RLC 并联电路的复阻抗Z Z |Z |1Y Y，即I ICI IRI II ICI ILU U图图 12-812-8 并联谐振相量图二并联谐振相量图二当R L时1jCR jLZ Z 11 jRC 2LC(R jL) jCjL1Z Z 11 jRC 2LCRC j(C )LL(R jL)电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为Z Z LRC。01LC（ 或可 见 发 生 并联 谐 振 的条 件 仍 然 为： 电 源 频率 等 于 谐 振频 率1f02 LC） 。谐振时的电流相量图为 12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。9.59.5 频率特性频率特性在前面的内容中， 我们着重讨论固定频率 （同一频率） 情况下正弦交流电路的稳态响应。这一节中，我们开始研究在电路其他参数不变的前提下， 仅改变电路（电源） 的频率时的电-路响应的情况。所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。在前面的内容中， 我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、 电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。9.5.19.5.1 幅频特性与幅频特性曲线幅频特性与幅频特性曲线以网络函数中的策动点阻抗为例。前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：U UZ Z | Z( j)|()I I，其中|Z( j)|为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系， 即表征了在相同电流源大小的情况下， 在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与UU|Z( j)|mIIm电源频率之间的关系。幅频特性曲线在以频率为横轴，|Z( j)|为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应I II II II ICRL+R+ 1/C+LU UCU UU UU ULR_的幅频特性曲线。9.5.29.5.2 相频特性与相频特性曲线相频特性与相频特性曲线其中()表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变化的规律。相频特性曲线在以频率为横轴，()为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲线。9.5.39.5.3 示例示例以前面讲到的 RLC 并联电路为例Z Z 111 jCRjL111 j(C )RL|Z(j)|RQ =50Q =100Q =200幅频特性曲线1/0()Q =20090oQ =100Q =5060oo30R)LRQ 0CR0L前面我们已经得出：，所以：1 j(CR RCR 0o/0o-30o-60这 样 ， 阻 抗 对 应 的 幅 频 特 性 为 ：R|Z Z( j)|021 Q2()00() arctgQ()0相频特性为：因此， 该电路的网络函数策动点阻抗对应的RQ0L，代入上式：RZ Z( j) 01 jQ()0Q0相频特性曲线o-90图图 12-9 RLC12-9 RLC 并联电路的频率特性曲线并联电路的频率特性曲线-幅频特性曲线及相频特性曲线如下， 当电路的品质因数变化时， 相频特性的变化规律同时见图 12-9。|Z(j)|R0.707 R9.5.49.5.4 通频带通频带在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于1谐振时阻抗模的2（=0.707）的频率范围。称为“通频带” 。 通频带的宽度决定了幅频特性曲线的尖锐程度通频带越窄，幅频特性曲线越尖锐， Q幅频特性曲线1/图图 12-1012-10 频率特性的通频带频率特性的通频带值越高，选择性越好；但是通频带太窄，传送信号时越容易产生波形失真。 因此，在利用网络的频率特性进行选频的时候， 往往要综合考虑选择性与通频带这两个方面的问题。见图12-10。09.5.59.5.5 滤波器滤波器低通、高通、带通、带阻、全通。实际上，产生谐振时，电路的幅频特性即为一种带通的滤波性质。这里只介绍一阶滤波器（在网络函数部分将介绍二阶滤波器）1RC 串联电路的低通滤波器11 U UjC U UU Uo oii11 jRCR jC图 中 ， 所 以 其 电 压 放 大 函 数 为 ：U U1H H( j) o1 jRC，U UiH() 其中，网络函数的幅频特性为：() arctg(RC)其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-12。11 (RC)2，网络的相频特性为：H()1R+CU UU Uoi i-0.707O/0()O-45oo图图 12-1112-11RCRC 低通滤波器低通滤波器-902RC 串联电路的高通滤波器 12-13图图 12-1212-12低通滤波器频率特性低通滤波器频率特性-H()10.707C+RU UU Ui io-O/0()o9045o0图图 12-13 RC12-13 RC 高通滤波器高通滤波器图图 12-1412-14高通滤波器频率特性高通滤波器频率特性R U UjRCU U U Uo oii11 jRCR jC在图中，因此，其电压放大函数的表达式为：H H( j) jRCRC90o arctg(RC)1 jRC1 (RC)2RC2o1 (RC)其中，幅频特性为：，相频特性为：() 90 arctg(RC)其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-14H() 3超前滞后网络在电子技术中，该网络常常用在正弦波振荡器（文氏电桥振荡器）中作为选频部分（几个 Hz 到几百 kHz）参见模拟电子技术或高频电子技术，而在自动控制理论中，常常利用其相位超前及滞后的特点。RC+CRU UU Uoi i-图图 12-1512-15 超前滞后网络超前滞后网络在图中，所求的网络函数的表达式为：1/ RU UjCjRCH H( j) o o111( jRC)2 j3(RC) 1U Ui(/ R) ( R) RjCjCjC1 ( R)1jC RjCjCH H( j) 1 ()2 j3() 1CCCRC，该网络函数变为令1 RjC1 RjC-jk3k2 jk(1 k2)k H H( j) 2222 k j3k 1(1 k ) 9kC其中若，则该网络函数变为RCH() 21 (RC)其中，网络函数的幅频特性为：， 网 络 的 相 频 特 性 为 ：1 k2() arctg3k由该相频特性可见， 该网络可以因为电源频率的不同， 使得输出电压超前或者滞后于输入电压（在自控理论中常用） 。2特别地，在满足一定条件时，两者还可以同相，分析如下。当k1即k 1时，3k2 jk(1 k2)1H H( j) (1 k2)2 9k23这说明，该网络的输入电压与输出电压同相， 且输出电压为输入电压的三分之一， 满足1k 1 CCRC。该性质的网络要求电压的输入频率为，即-