第1讲简谐运动第十二章机械振动与机械波光电磁波与相对论内容索引基础知识梳理命题点一简谐运动的规律命题点二简谐运动图象的理解和应用命题点三受迫振动和共振课时作业盘查拓展点基础知识梳理11.简谐运动(1)质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向 .(2)平衡位置：物体在振动过程中 为零的位置.(3)回复力定义：使物体返回到 的力.方向：总是指向 .来源：属于 力，可以是某一个力，也可以是几个力的_ 或某个力的 .平衡位置回复力平衡位置平衡位置效果合力分力简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置吗？答案深度思考深度思考不是，是回复力为零的位置.2.简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件弹簧质量要忽略无摩擦等阻力在弹簧弹性限度内摆线为不可伸缩的轻细线无空气等阻力最大摆角小于5回复力弹簧的 提供摆球 沿与摆线垂直方向(即切向)的分力平衡位置弹簧处于 处最低点周期与振幅无关T2能量转化 与动能的相互转化，机械能守恒 与动能的相互转化，机械能守恒弹力弹性势能重力原长重力势能做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度如何变化？答案深度思考深度思考一定减小.3.简谐运动的公式和图象(1)简谐运动的表达式动力学表达式：F ，其中“”表示回复力与位移的方向相反.运动学表达式：x ，其中A代表振幅，2f表示简谐运动的快慢，t代表简谐运动的相位，叫做 .kxAsin(t)初相(2)简谐运动的图象从 开始计时，函数表达式为xAsin t，图象如图甲所示.从 处开始计时，函数表达式为xAcos t，图象如图乙所示.平衡位置最大位移4.受迫振动和共振(1)受迫振动系统在 作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于 的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率) .(2)共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者 时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图所示.驱动力驱动力无关相等1.如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为A.1 Hz B.3 HzC.4 Hz D.5 Hz基础题组自测基础题组自测答案解析受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为1 Hz，选项A正确.2.有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是答案解析(1)质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？ 3.(人教版选修34P5第3题)如图所示，在t0到t4 s的范围内回答以下问题.答案在01 s,23 s内位移方向跟它的瞬时速度方向相同；在12 s,34 s内位移方向跟它的瞬时速度方向相反.(2)质点在第2 s末的位移是多少？答案(3)质点在前2 s内走过的路程是多少？ 0答案 20 cm4.(人教版选修34P12第4题)如图所示为某物体做简谐运动的图象，在所画曲线的范围内回答下列问题. 答案0.6 s、1.2 s、1.4 s(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时刻的回复力相同？ 答案0.2 s、1.0 s、1.2 s(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时刻的速度相同？ 答案0、0.2 s、0.6 s、0.8 s、1.0 s、1.2 s和1.4 s(3)哪些时刻的动能与0.4 s时刻的动能相同？ 答案0.10.3 s、0.50.7 s、0.91.1 s和1.31.5 s(4)哪些时间的加速度在减小？ 答案00.1 s、0.30.5 s、0.70.9 s、1.11.3 s(5)哪些时间的势能在增大？命题点一简谐运动的规律2简谐运动的五大特征受力特征回复力Fkx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为对称性特征关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等 (多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y0.1sin (2.5t) m.t0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g10 m/s2.以下判断正确的是A.h1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程是0.2 mD.t0.4 s时，物块与小球运动方向相反【例1】题眼答案解析物块沿竖直方向做简谐运动.小球恰好与物块处于同一高度.题组阶梯突破题组阶梯突破1.关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是A.位移减小时，加速度减小，速度也减小B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平 衡位置时，速度方向与位移方向相同D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时， 加速度方向与速度方向相反答案解析2.一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x 处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x 处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是A.t1t2 B.t1t2C.t1t2 D.无法判断答案解析根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大可知，振子第一次从平衡位置运动到x A处的平均速度大于第一次从最大正位移处运动到x A处的平均速度，而路程相等，说明t1t2.故A、C、D错误，B正确.命题点二简谐运动图象的理解和应用31.根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位(如图所示).(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定.(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴.(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.2.利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性(如图) (1)相隔t(n )T(n0,1,2，)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向.(2)相隔tnT(n0,1,2，)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲F乙21C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两振子的振动频率之比f甲f乙21甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示，则可知【例2】答案解析3.如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动.以平衡位置O为原点，建立Ox轴.向右为x轴正方向.若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为题组阶梯突破题组阶梯突破答案解析开始计时时振子位于正向最大位移处向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A项对.4.如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图象如图乙所示，下列说法正确的是A.t0.8 s时，振子的速度方向向左B.t0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处C.t0.4 s和t1.2 s时，振子的加速度完全相同D.t0.4 s到t0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小答案解析5.如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：(1)写出该振子简谐运动的表达式；见解析答案解析由振动图象可得A5 cm，T4 s，0(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？见解析答案解析由题图可知，在t2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值.(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？见解析答案解析振子经过一个周期位移为零，路程为45 cm20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的位移x0，振子的路程s2520 cm500 cm5 m.命题点三受迫振动和共振41.自由振动、受迫振动和共振的关系比较 振动项目自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即TT驱或ff驱T驱T0或f驱f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(5)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2.对共振的理解(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当ff0时，振幅A最大.(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.A.f固60 Hz B.60 Hzf固70 HzC.50 Hzf固60 Hz D.以上三个都不对 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则【例3】答案解析驱动力频率/Hz304050607080受迫振动振幅/cm10.216.827.228.116.58.3题组阶梯突破题组阶梯突破6.如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动.观察B、C、D摆的振动发现A.C摆的频率最小B.D摆的周期最大C.B摆的摆角最大D.B、C、D的摆角相同答案解析7.在实验室可以做“声波碎杯”的实验，用手指轻弹一只玻璃酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500 Hz.将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉.下列说法中正确的是A.操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大B.操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波C.操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率D.操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz，且适当增大 其输出功率答案解析5盘查拓展点单摆模型单摆模型模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件：(1)圆弧运动；(2)小角度往复运动；(3)回复力满足Fkx. 如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，RAB.甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：【典例】答案解析(1)两球第1次到达C点的时间之比；(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？答案解析1.解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长l及等效加速度g；最后利用公式T2 或简谐运动规律分析求解问题.2.易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解.建模感悟建模感悟课时作业61.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是A.位移 B.速度 C.加速度 D.回复力答案123456789102.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsin t，则质点A.第1 s末与第3 s末的位移相同B.第1 s末与第3 s末的速度相同C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同答案解析123456789103.做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的 ，则单摆振动的A.频率、振幅都不变B.频率、振幅都改变C.频率不变、振幅改变D.频率改变、振幅不变12345678910答案解析4.如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图象如图乙所示.由振动图象可以得知A.振子的振动周期等于t1B.在t0时刻，振子的位置在a点C.在tt1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动答案解析123456789105.(多选)一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是A.质点振动频率是4 HzB.在10 s内质点经过的路程是20 cmC.第4 s末质点的速度最大D.在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同答案解析12345678910由题图可知，该简谐运动的周期为4 s，频率为0.25 Hz，在10 s内质点经过的路程是2.54A20 cm.第4 s末质点的速度最大.在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反.故B、C正确.6.(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是A.甲、乙两单摆的摆长相等B.甲摆的振幅比乙摆大C.甲摆的机械能比乙摆大D.在t0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆12345678910答案解析7.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则A.此单摆的固有周期约为0.5 sB.此单摆的摆长约为1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动12345678910答案解析由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T2 ，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动.8.(多选)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象.取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示.则下列说法中正确的是12345678910A.弹簧振子的周期为4 sB.弹簧振子的振幅为10 cmC.t17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cmD.若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm答案解析123456789109.(多选)如图所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，A点位置恰好为弹簧的原长.物体由C点运动到D点(C、D两点未在图上标出)的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0 J，重力势能减少了2.0 J.对于这段过程说法正确的是A.物体的动能增加1.0 JB.C点的位置可能在平衡位置以上C.D点的位置可能在平衡位置以上D.物体经过D点的运动方向可能指向平衡位置12345678910答案10.一质点做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示.答案12345678910(1)求t0.25102 s时质点的位移；解析(2)在t1.5102 s到t2102 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？答案解析变大变大变小变小12345678910由题图可知在t1.5102 s到t2102 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大.(3)在t0到t8.5102 s时间内，质点的路程、位移各多大？答案解析34 cm2 cm12345678910