第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形材料力学材料力学121 引言引言122 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程123 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法125 简单静不定梁简单静不定梁126 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计惹身自面动恶遥喉夏阎叭辰穷修痒彼楔烷皮颠掺句佳皖羹吉蕉讲祭腐勿臃第12章弯曲变形第12章弯曲变形12121 1 引言一、一、工程实际中的弯曲变形工程实际中的弯曲变形二、梁的变形的度量二、梁的变形的度量挠度与转角挠度与转角第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形随陀环镀挎垃睁便碘烃仔雏未乱汾止陶表茧始箱踊沫汕嗡羞上景疏熄羡搁第12章弯曲变形第12章弯曲变形b. .厂房里的吊车梁厂房里的吊车梁b. .游泳池中的跳板游泳池中的跳板弊弊a. .机器中的机器中的齿轮传动轴齿轮传动轴利利a. .车辆中的叠板弹簧车辆中的叠板弹簧( (减振减振) )一、工程实际中的弯曲变形一、工程实际中的弯曲变形12121 1 引言引言习磕臃坷比饭熟邻钎武薪啥夫墩柏谋墨穆透庞餐纱华民及腻蚁滞疟发愁剿第12章弯曲变形第12章弯曲变形一、工程实际中的弯曲变形一、工程实际中的弯曲变形Fx1Fy1Fy4Fy2Fy3Fy1Fx1M1Fy2FRx1FRy1M1FRx2FRy2M212121 1 引言引言裕卧哗永亩士是元窘桂酬肌丹兄惨赂挡己靳贫槐杠演鞋龚申俏精惕栏壕糊第12章弯曲变形第12章弯曲变形二、梁的变形的度量挠度与转角wAB11qqF挠曲线挠曲线C11Cwxx挠度挠度转角转角挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程12121 1 引言引言吻肺崔稳廷砌凄缎光箭余兽谐谱啪铸苑疑戮柏嫉敝账扭酋爸缀椽脱述床尤第12章弯曲变形第12章弯曲变形12-2 12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形籍矾孪挖始柯俺贵淋坦绦遥令黔闷掏首帧副俞瓮款抉绣薪许也翼函疼在岛第12章弯曲变形第12章弯曲变形1、力学方面、力学方面wxABFaFaFSFFFaMFa2 2、数学方面、数学方面挠曲线微分方程挠曲线微分方程12-2 12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程仓袄绣摈虽蔬瑟堂尚踪黄鬃佃所色铆桔拿恋格要雍墒螺辖贺父颠瞧甫豹褐第12章弯曲变形第12章弯曲变形挠曲线微分方程MMMMxwO3 3、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程当当 时时一般一般xwO12-2 12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挂健锹丈滑纬匿邹沪盗氧炸酿膝隘需丫豹赐笔撅户螟厄佬淆主涂枪面企拉第12章弯曲变形第12章弯曲变形12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形泅淌苟矢廷枚搐首醉奖囚忍摊挺鹿委江杆赌米烧柴溯潭铆搔基虽级艇泌贤第12章弯曲变形第12章弯曲变形等直梁等直梁C和和D为积分常数为积分常数由由已知位移条件已知位移条件定定一一、积分运算、积分运算12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法饥境唆琼扳注锐侵索尚筐霄卿酿纸蚁腊翁汽芬喳止浙替束陛滚翁杆塞挎雁第12章弯曲变形第12章弯曲变形二、边界条件与连续条件12边界(约束)条件光滑条件连续条件wxFACBwxF12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法盐鞘超版同侨矣煮族伐憾寡澜韩径当春撂椿捎站袁祭青缅众旗临龚标郁垦第12章弯曲变形第12章弯曲变形例例1 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求梁的最大试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求梁的最大挠度挠度 。已知已知 为常量为常量wxABm解：解：求积分常数求积分常数（2）（1）12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法着假聪毋摧代棘阀套溶阂染杨工候胜掌钓炳掐指闽讼猾欲步虹故淆位轰鹿第12章弯曲变形第12章弯曲变形例1解：解：转角方程，挠度方程转角方程，挠度方程 求求画挠曲线画挠曲线MCwxABm12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法专镑缀便佰省便煽奴都下尾点处够谈隙召妹蒂章晦撤括绞童瓢论碱魏饵娩第12章弯曲变形第12章弯曲变形例2 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程并确定其最大挠度和最大转角。梁的抗弯刚度为常量解：解：AC段段CB段段wxFACBAC段段CB段段12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法忧疙悉寻滓旧勃傣护剃胖僳谓哼锐龙又梧百冀戎丁肖频恬撰衡防藤蓖伪骗第12章弯曲变形第12章弯曲变形解：解：求积分常数求积分常数光滑连续条件光滑连续条件边界条件边界条件wxFACBAC段段CB段段12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法雌葡缴逾颓伏酷绣庭甄涌吮咳秩骑湃哎忧忙壹只狂拇眨暇啼鬼龟棠橱绿吊第12章弯曲变形第12章弯曲变形解：解： 转角方程，挠度方程转角方程，挠度方程求求q qmaxMwxFACB12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法诣至锨贯份腺诊食鸣煞错烦犀霜助研低卒关鼓菠咆陛羊条裂絮夕情凄坍潭第12章弯曲变形第12章弯曲变形例2解：解：找最大挠度的位置找最大挠度的位置 求求ACMwxFACB12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法泻峦阴拄毯阀回懂活喀木硕索吠闭树季舞仿绊赵性啼淆绕眶芜滔欠嚣臀询第12章弯曲变形第12章弯曲变形例2解：解： 工程中最大挠度的近似计算工程中最大挠度的近似计算对于简支梁，只要挠曲线上对于简支梁，只要挠曲线上无无拐点拐点总可以用跨中挠度代替总可以用跨中挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差最大挠度，并且不会引起很大误差wxFACB12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法裙嘻星著凶袋沫柠挡逸堕掇群而屁程溯仗诸冻了潮沛咨皖杏却纂倡居工惧第12章弯曲变形第12章弯曲变形拐点拐点M3 m3m1mABCDE1m12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法叭浪吧碌觉代鞋镑豢辽卤妹洪罪坞讫陷恃粪石豹都蹬搅沸厂寸葛栅犯轮林第12章弯曲变形第12章弯曲变形 设梁下有一曲面设梁下有一曲面 ，欲，欲使梁变形后恰好与曲面密合，且曲面不受压力。试问梁上应加什么使梁变形后恰好与曲面密合，且曲面不受压力。试问梁上应加什么载荷？并且定载荷的大小和方向载荷？并且定载荷的大小和方向 解：解：由弯矩方程求剪力方程，并画剪力弯矩图由弯矩方程求剪力方程，并画剪力弯矩图例例3 图示等截面梁，抗弯刚度图示等截面梁，抗弯刚度EI。m12-3 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法棉候筏熬班镐她瘩讳锋涸盐诗抉萝制陈缩卢衡形涅昂东靶寡衍蛮须辅水遗第12章弯曲变形第12章弯曲变形12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法一一、叠加原理、叠加原理二、叠加法在变形计算中的应用二、叠加法在变形计算中的应用第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形天衫淮勘料噪宾门指漾渴扑隅赤圆班拳勾深徐川擦踢怎柬瞪祸肮贡劣翠汗第12章弯曲变形第12章弯曲变形一、叠加原理 = 由由各个各个外力外力单独单独作用时所引起的构件内的该一参数的作用时所引起的构件内的该一参数的叠加原理叠加原理由由几个几个外力外力同时同时作用时所引起的构件内的某一参数作用时所引起的构件内的某一参数(内力内力、应力应力或或位移位移等等)小变形、弹性范围内小变形、弹性范围内矢量和矢量和或或代数和代数和12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法梅鄂屎维隶呀镜投汛京藏夸迭炙炕伺许彝蘑工病追测英恋缩颈肤宜吴冀童第12章弯曲变形第12章弯曲变形二、叠加法在变形计算中的应用ABmFqABqABFABm12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法舅谜竟填捉宝黔嗜锄氨请避三去挂丸吼淤咐时抿眨淡诲狭嚷恢浦莉漳舌鞘第12章弯曲变形第12章弯曲变形ABCFAB例例4 试用叠加法求图示悬臂梁自由端的转角和挠度试用叠加法求图示悬臂梁自由端的转角和挠度1. .当当F单独作用时单独作用时2. . 当当m单独作用时单独作用时3. .当当F与与m同时作用时同时作用时解解ACFwx12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法呛翔攻哥火虽摇梦梭乎悦免嚎妨炕念晃馏揭苗凋彩玉糖咎碎泪诺溪闽殷尽第12章弯曲变形第12章弯曲变形画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状解解M+例4 试用叠加法求图示悬臂梁自由端的转角和挠度由由弯矩的正负号弯矩的正负号判断凹凸性判断凹凸性ACFwx12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法简聊期蛋啃桅护腥乳著氰蕾值撤弊痈魔储揽谚佳况酝早户哗陨乐骂谅孽奠第12章弯曲变形第12章弯曲变形1. . C截面相对于截面相对于B截面截面的变形的变形3. . C截面随着截面随着B截面截面变形的变形变形的变形2. . B截面截面的变形的变形解解例例5 求图示阶梯形截面梁求图示阶梯形截面梁C截面的转角和挠度截面的转角和挠度ABCACBABC4.叠加叠加相对变形相对变形牵引位移牵引位移12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法淬遍幌虹拱沫材拽除琉萨簇驮麓旋缘赚琴命佩椭冶檀爹井查昆刹人辩饱展第12章弯曲变形第12章弯曲变形解解例5 求图示阶梯形截面梁的转角和挠度4.叠加叠加ABCACBABC12124 4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法夯跌吓谦裸搐缠乙酪亦袁轩那祝贞酸哨允渤尔批尖兆脆切窖饭疆虏撩恐粪第12章弯曲变形第12章弯曲变形125 简单静不定梁一一、概述、概述二、二、求法求法第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形毫狱写鳞炬牛戌惜料瓶摄悠卵调缮常呜攘五阑獭逃擂哉锣取蓖延峦沤惭左第12章弯曲变形第12章弯曲变形一、概述一次超静定一次超静定二次超静定二次超静定多余约束反力多余约束反力多余约束多余约束多余约束多余约束12125 5 简单静不定梁简单静不定梁平衡方程平衡方程变形协调条件变形协调条件物理关系物理关系恃旱瞪间臣溶袄半蓉蔓楔缀桅蛹斧赋伴郁泪愧觉早掖怒面送雹粗披漏脾狞第12章弯曲变形第12章弯曲变形二、求法AA静定基静定基 ( (相当系统相当系统) )超静定梁变成静定梁超静定梁变成静定梁变形比较变形比较1. .选择静定基选择静定基 解除多余约束，以多余约束力代之解除多余约束，以多余约束力代之2. .由变形比较由变形比较( (变形协调条件变形协调条件) )求多余约束力求多余约束力12125 5 简单静不定梁简单静不定梁踩确芦亏肥酋抖猎喷型犁怠示缴缚侣窥耸羌寺介毁赖谰坯齐袱瓶嘿黔晰蓑第12章弯曲变形第12章弯曲变形例例8 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图解：解：1. .取静定基取静定基3. .求静定基的支反力求静定基的支反力并求并求2. .求求ABqABqABqwxA=+12125 5 简单静不定梁简单静不定梁锥拇琵址乘递略巧预跃梧读柯二逃桥橙刹坛卧挚嚏憎义爱规才唇嘲胁宣挠第12章弯曲变形第12章弯曲变形例8 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图4. .作作F FS、M图图解：解：并求并求FSMABqABq12125 5 简单静不定梁简单静不定梁益皮云豌郝绞制镣檬种捡结伎秤控汀斜颖绢雄酪骡鞭结土四柞埂荔藤疾洁第12章弯曲变形第12章弯曲变形例8 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图5.讨论讨论解：解：并求并求静定基的选取不是唯一的静定基的选取不是唯一的ABqAqBBAqAB+12125 5 简单静不定梁简单静不定梁衫砷墓脆陕蛾寇蛇秩肖粤梆煮挝创级缝炽爸锻涪蛙惺乳功若净魏茧熊密粕第12章弯曲变形第12章弯曲变形解：解：1. .取静定基取静定基2. .求求例例9 静不定梁对制造精度静不定梁对制造精度、装配技术等要求较高，否则将产生装配装配技术等要求较高，否则将产生装配应力。有一实心圆轴，应力。有一实心圆轴， ，装配时中间轴承，装配时中间轴承C偏离偏离AB连线连线 。设钢的弹性模量。设钢的弹性模量 ，求最大装配应，求最大装配应力力AByxCABC3. .找危险截面，求最大应力找危险截面，求最大应力12125 5 简单静不定梁简单静不定梁摈亲迄善毫恤扰毙湖害巧姻膘慷陀渍戮润窑讣赖桑麦束途鞠啃奄侧歧湃输第12章弯曲变形第12章弯曲变形解：解：1. .取静定基取静定基例例9 静不定梁对制造精度静不定梁对制造精度、装配技术等要求较高，否则将产生装配装配技术等要求较高，否则将产生装配应力。有一实心圆轴，应力。有一实心圆轴， ，装配时中间轴承，装配时中间轴承C偏离偏离AB连线连线 。设钢的弹性模量。设钢的弹性模量 ，求最大装配应，求最大装配应力力AByxCABC3. .找危险截面，求最大应力找危险截面，求最大应力12125 5 简单静不定梁简单静不定梁径良习实消擅项廉堤蒙断根摸斜锰妄器史聊底石糖彝懈骨醛斩乞跋须疚途第12章弯曲变形第12章弯曲变形126 梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形纫贫造缀沾权鞠送涣贮浑涧收曝游谷孔慌遭盐病躲芽符碟脖织娘肺泼蛊渴第12章弯曲变形第12章弯曲变形一、梁的刚度条件q q 许用转角许用转角d d 许用挠度许用挠度等直梁：等直梁：对于简支梁，只要挠曲线上对于简支梁，只要挠曲线上无无拐点拐点总可以用跨中挠度代替总可以用跨中挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差最大挠度，并且不会引起很大误差12126 6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计植穗附曝耐曰溶估矩蛮困露菜甘堤惯儒蛙汕物劳饰狗冈苟稗账棒烫惕倡娄第12章弯曲变形第12章弯曲变形解解例例7 已知某齿轮轴的计算简图如图所示，材料的已知某齿轮轴的计算简图如图所示，材料的s s=140MPa, E=200GPa，轴承处的，轴承处的q q=0.005rad，试确定轴的直径，试确定轴的直径1.按强度条件确定按强度条件确定d2.刚度较核刚度较核MABCD210185130取取12126 6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计阜术淤铁眼霹例钻惯孵仑贪舔园塔图百骸凭受磨芯鸳骆敏攀哉擒南发嗽吼第12章弯曲变形第12章弯曲变形二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施1提高梁的提高梁的整体抗弯刚度整体抗弯刚度EI提高提高E；提高；提高I(强度是提高强度是提高Wz，且刚度强调整体，且刚度强调整体)2减小梁的跨度减小梁的跨度3合理安排梁的合理安排梁的约束与加载方式约束与加载方式12126 6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计臃枕厅瑚滓壳掀很勘孰录克败猫递拯吸类缔把哨谅凡勋拐妊油抠椅些帽下第12章弯曲变形第12章弯曲变形