7.4.1 7.4.1 7.4.1 7.4.1 定义与基本例子定义与基本例子定义与基本例子定义与基本例子 令令V是数域是数域F上一个向量空间上一个向量空间,是是V的一个线的一个线性变换性变换.定义定义 V的一个子空间的一个子空间W称为称为在线性变换在线性变换之下不变之下不变, 如果如果 . 如果子空间如果子空间W在在之下不变，那么之下不变，那么W就叫做就叫做的的一个不变子空间一个不变子空间. 注意注意:W在线性变换在线性变换之下不变之下不变,指指 , 即即: 并不能说并不能说: 7.4 7.4 不变子空间不变子空间1例例4 令令是是 中以某一过原点的直线中以某一过原点的直线L为轴，旋转为轴，旋转一个角一个角的旋转，那么旋转轴的旋转，那么旋转轴L是是的一个一维不变的一个一维不变子空间，而过原点与子空间，而过原点与L垂直的平面垂直的平面H是是的一个二维的一个二维不变子空间不变子空间. 例例1 1 V本身和零空间本身和零空间0显然在任意线性变换之下显然在任意线性变换之下不变不变. .例例2 2 令令是是V的一个线性变换，那么的一个线性变换，那么的核的核Ker()和像和像Im()在在之下不变之下不变. .例例3 3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变的任意子空间在任意位似变换之下不变. . 2例例5 令令F x是数域是数域F上一切一元多项式所成的向量上一切一元多项式所成的向量空间，空间， 是求导运算是求导运算.对于每一自然数对于每一自然数n，令，令 表示一切次数不超过表示一切次数不超过n的多项式连同零的多项式连同零多项式所成的子空间多项式所成的子空间. 设设W是线性变换是线性变换的一个不变子空间的一个不变子空间.只考虑只考虑在在W上的作用，就得到子空间上的作用，就得到子空间W 本身的一个线性变本身的一个线性变换，称为换，称为在在W上的限制，并且记作上的限制，并且记作 这样，这样，对于任意对于任意 那么那么 在在之下不变之下不变. .如果如果 那么那么 没有意义没有意义. .与与 的区别的区别?37.4.2 7.4.2 7.4.2 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简 由于由于W在在之下不变，所以之下不变，所以 仍在仍在W内，因而可以由内，因而可以由W的基的基 线性表线性表示示. 设设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，维向量空间，是是V的一个的一个线性变换线性变换. .假设假设有一个非平凡不变子空间有一个非平凡不变子空间W. 那么取那么取W的一个基的一个基 再扩充成再扩充成V的的一个基一个基 我们有：我们有：4因此，因此，关于这个基的矩阵有形状关于这个基的矩阵有形状 而而A中左下方的中左下方的O表示一个表示一个 零矩阵零矩阵.这里这里 是是 关于关于W的基的矩阵的基的矩阵.5由此可见，如果线性变换由此可见，如果线性变换有一个非平凡不变子有一个非平凡不变子空间，那么适当选取空间，那么适当选取V的基，可以使线性变换的基，可以使线性变换对应的矩阵中有一些元素是零对应的矩阵中有一些元素是零. .结论结论1 设设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，维向量空间，是是V的的一个线性变换一个线性变换. .假设假设V 有一个在有一个在之下不变的非平之下不变的非平凡子空间凡子空间W. .那么关于那么关于V的一个适当选取的基的一个适当选取的基( (由由W的基扩充成的基扩充成V的基的基), ), 的矩阵为的矩阵为这里这里 是是 关于关于W的基的矩阵的基的矩阵. .6结论结论2 2 如果如果V可以写成两个可以写成两个在在之下不变的之下不变的非平凡非平凡子空间子空间 的直和即的直和即 那么选取那么选取 的一个基的一个基 和和 的一个基的一个基 凑成凑成V V的一个基的一个基 那么那么关于这样选取关于这样选取的基的矩阵是的基的矩阵是这里这里 是一个是一个r阶矩阵阶矩阵, ,它是它是 关于基关于基 的矩阵的矩阵. .而而 是是 nr阶矩阵，它是阶矩阵，它是 关于基关于基 的矩阵的矩阵. . 7结论结论3 如果向量空间如果向量空间V可以写成可以写成s个个在线性变换在线性变换之之下不变的子空间下不变的子空间 的直和，那么在的直和，那么在每一子空间中取一个基，凑成每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，的一个基，关于这关于这个基的矩阵为个基的矩阵为 这里这里 关于所取的关于所取的 的基的矩阵的基的矩阵.8结论结论4 如果向量空间如果向量空间V可以写成可以写成n个个在线性变换在线性变换之之下不变的一维子空间下不变的一维子空间 的直和，那的直和，那么关于么关于V的一个适当选取的基，的一个适当选取的基，关于这个基的矩阵关于这个基的矩阵为对角形矩阵为对角形矩阵.9那么那么 是是 的一个基，而的一个基，而关于这个基的矩关于这个基的矩阵是阵是例例6 令令是是 中以某一过原点的直线中以某一过原点的直线L为轴，旋转为轴，旋转一个角一个角的旋转，那么旋转轴的旋转，那么旋转轴L是是的一个一维不变的一个一维不变子空间，而过原点与子空间，而过原点与L垂直的平面垂直的平面H是是的一个二维的一个二维不变子空间不变子空间. 显然显然取取L的一个非零向量的一个非零向量 ，取，取 H 的两个彼此正交的两个彼此正交的单位长度向量的单位长度向量107.4.3 7.4.3 进一步的例子进一步的例子例例7 如果如果 ，那么，那么证：证：1. 任取任取2. 任取任取11例例8 如果如果 ，那么对任何，那么对任何 证：证： ，那么，那么 12例例9 判定下列子空间在给定的判定下列子空间在给定的 下是否为不变下是否为不变子空间子空间 （1 1） （2 2）（3 3） （4 4） 13解解 (1) (1) 是是. . (2) (2) 否否. . (3) (3) 是是. . (4) (4) 否否. . 14例例1010 是是V上一个线性变换，上一个线性变换，W 是是 生成的子空间：生成的子空间： . . 则则. . 证证： 必要性：必要性：W中不变子空间，中不变子空间， 充分性：如果充分性：如果 是包含是包含的最小子空间，的最小子空间， 15例例1111 设设是是V V上的线性变换，上的线性变换，是是V上的非零向上的非零向量，且量，且 线性无关，但线性无关，但线性相关线性相关. 那么那么 是包含是包含的最的最小不变子空间小不变子空间. 证证 (1)(1) 线性表出线性表出, ,因此因此 这样，这样， 的生成元在的生成元在下的象下的象 全部属全部属 于于 . .所以所以 是一个是一个不变子空间不变子空间16（2）对任何包含对任何包含的不变子空间的不变子空间W， 故故 ， 即即 包含包含W的一个最小子空间的一个最小子空间. 例例12 设设 是是V的一给基的一给基,在在 下的矩阵为下的矩阵为 求包含求包含 的最小子空间的最小子空间. 17解解 算算 的坐标为（用的坐标为（用“( )”“( )”表示表示取坐标）取坐标）中线性无关中线性无关 18的坐标排成的行列式为：的坐标排成的行列式为： 19因此因此 是包含是包含 的最小子空间的最小子空间. . 注意到注意到 与与 是等价向量组，因此是等价向量组，因此 207.4 7.4 不变子空间不变子空间一、内容分布一、内容分布 7.4.1 定义与基本例子定义与基本例子 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子进一步的例子二、教学目的二、教学目的 1掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法性变换的不变子空间方法 2会求给定线性变换的一些不变子空间会求给定线性变换的一些不变子空间三、重点难点三、重点难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。定线性变换的一些不变子空间。21