第四章第四章 平面任意力系平面任意力系第第4 4章章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 简化结果的分析简化结果的分析 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 结论与讨论结论与讨论 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算 物体系的平衡物体系的平衡第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 4-1 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 1.力的平移定理力的平移定理AF FBd F FF F AF F BM=F. d=MB(F) 可以把作用于刚体上点可以把作用于刚体上点A的力的力 F 平行移到任一点平行移到任一点B，但必，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新对新作用点作用点B的矩。的矩。MM第四章第四章 平面任意力系平面任意力系(b)F为什么钉子有时会折弯？为什么钉子有时会折弯？为什么钉子有时会折弯？为什么钉子有时会折弯？FF(a)(b)图示两圆盘运动形式是否一样？图示两圆盘运动形式是否一样？图示两圆盘运动形式是否一样？图示两圆盘运动形式是否一样？MF F FM第四章第四章 平面任意力系平面任意力系F3F1F2O2.平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢主矢和和主主矩矩OOFRMOF1M1F1 =F1 M1=MO(F1) F2M2F2 =F2 M2=MO(F2) F3M3F3 =F3 M3=MO(F3) 简化中心简化中心简化中心简化中心O OFR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)第四章第四章 平面任意力系平面任意力系主矢主矢FRMO主矩主矩OxyMOFR 平面任意力系向作用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点的矩等于力系对于点O的主矩。的主矩。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-2 4-2 平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析 F FR R=0=0，MMO O00 F FR R 0 0，MMO O=0=0 F FR R 0 0，MMO O 00 F FR R=0=0，MMO O= =0 0 1. 1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形 F FR R=0=0，MMO O00 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系O FRO2 . 2 . 平面任意力系简化为一个合力的情形平面任意力系简化为一个合力的情形平面任意力系简化为一个合力的情形平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理 F FR R 0 0，MMO O=0=0 合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心 F FR R 0 0，MMO O 00 FROO dFRFRdMO(FR) = FRd = MO = MO(Fi)MO(FR) = MO(Fi) 平面任意力系的合力对平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的力系中各力对同一点矩的代数和。代数和。FROMoO 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 F FR R=0=0，MMO O= =0 0 原力系平衡原力系平衡定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。3 . 3 . 平面任意力系平衡的情形平面任意力系平衡的情形平面任意力系平衡的情形平面任意力系平衡的情形第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-3 4-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0MO=0平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。数和也等于零。平衡方程平衡方程第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。2 2a a Pa aMABCDF FAxAxF FAyAyFBxy解：解：解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象解上述方程，得解上述方程，得（2 2）画受力图）画受力图）画受力图）画受力图（3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解例例例例 题题题题 1 1第四章第四章 平面任意力系平面任意力系AF FA AMAAF FAxAxF FAyAyMAAABqlF F（1）固定端支座）固定端支座求：求：A处约束反力。处约束反力。既不能既不能移动移动，又不能，又不能转动转动的约束的约束 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束固定端约束简图固定端约束简图例例例例 题题题题 2 2第四章第四章 平面任意力系平面任意力系（2）分布载荷的合力）分布载荷的合力q(x)载荷集度载荷集度载荷集度载荷集度P Pd dP PdP=q(x)dxq(x)AB合力大小：合力大小：由合力之矩定理：由合力之矩定理：合力作用线位置：合力作用线位置：合力作用线位置：合力作用线位置：hxdxlx第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 两个特例两个特例(a) 均布载荷均布载荷Ph(b) 三角形分布载荷三角形分布载荷Phlq0qlxx第四章第四章 平面任意力系平面任意力系ABqlF F解：取解：取 AB 梁为研究对象梁为研究对象解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得FAxFAyMAP第四章第四章 平面任意力系平面任意力系2 2a a Pa aMABCDF FAxAxF FAyAyFB 解解 法法 1解上述方程，得解上述方程，得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系2 2a a Pa aMABCDF FAxAxF FAyAyFB 解解 法法 2解上述方程，得解上述方程，得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 解解 法法 3解上述方程，得解上述方程，得2 2a a Pa aMABCDF FAxAxF FAyAyFB第四章第四章 平面任意力系平面任意力系（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线） 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式基本形式基本形式基本形式基本形式二力矩式二力矩式二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式三力矩式三力矩式FRBAx第四章第四章 平面任意力系平面任意力系FDECBAaaaMP P例例例例 题题题题 3 3求：三杆对三角平板求：三杆对三角平板ABC的约束反力。的约束反力。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系F FA AF FB BF FC CP PACaaaMB解得解得:解：取三角形板解：取三角形板ABC为研究对象为研究对象第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-4 4-4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程yxo（A、B两点的连线两点的连线不得与各力平行）不得与各力平行）F3F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量二力矩式二力矩式二力矩式二力矩式第四章第四章 平面任意力系平面任意力系解：取梁解：取梁ABCD为研究对象为研究对象解得：解得：已知：已知：F = 2kN，q = 1kN/m求：求： A、B支座反力。支座反力。例例例例 题题题题 4 4FNAFNBNBPD1m2m1mABCFq第四章第四章 平面任意力系平面任意力系P2P1ABPbeal求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。例例例例 题题题题 5 5第四章第四章 平面任意力系平面任意力系P2P1ABPbealF FNBNBF FNANA解：取起重机为研究对象解：取起重机为研究对象 （1）满载时，其限制条件是：满载时，其限制条件是：FNA0（2）空载时，其限制条件是：空载时，其限制条件是：FNB0因此，因此，P2必须满足：必须满足：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-5 4-5 物体系的平衡物体系的平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题 静定体系：静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目未知量数目等于独立平衡方程数目 超静定体系：超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFAEPAQCBDED1m2m1mABCFq第四章第四章 平面任意力系平面任意力系已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN， sin=4/5例例例例 题题题题 6 6求：支座求：支座A、C的反力。的反力。AQCBPFAxFAyFCxFCy解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象解上述方程，得解上述方程，得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系AQCBPFAxFAyFCxFCy解上述方程，得解上述方程，得PABFBxFByFAxFAy解得解得:(2)取取AB为研究对象为研究对象代入（代入（3）式得）式得第四章第四章 平面任意力系平面任意力系EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：求：A、E的约束的约束反力和反力和BC杆内力。杆内力。例例例例 题题题题 7 7解：解：(1) 取整体为研究对取整体为研究对象象解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系CDqCDFDxFDy(2) 取曲杆取曲杆CD为研究对象为研究对象解得：解得：FC第四章第四章 平面任意力系平面任意力系BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy FB解：解：(1) 取取BC为研究对象为研究对象解得解得:(2) 取取AC为研究对象为研究对象解得解得:求：支座求：支座A、C 的反力。的反力。例例例例 题题题题 8 8已知：已知：M = 10kNm, q=2kN/m第四章第四章 平面任意力系平面任意力系500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：求：D、E 的约束反力。的约束反力。解：解：(1)取取CDE为研究对象为研究对象解上述方程，得解上述方程，得(2)取整体为研究对象取整体为研究对象解得解得:第四章第四章 平面任意力系平面任意力系500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFBGEBFGxFGyFB(3) 取取BEG为研究对象为研究对象解得解得:代入（代入（3）式得）式得:第四章第四章 平面任意力系平面任意力系解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEF FNENEB求：求：A、D、B的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 10 10第四章第四章 平面任意力系平面任意力系BDA(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：PDFEF FNENEBFDyFDxFBxFByFAxFAy(3) 取取ADB杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)第四章第四章 平面任意力系平面任意力系PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：求：A、D的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 11 11解：解：(1)取取BC杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：(2)取取AB杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：代入（代入（3）式解得：）式解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系CD(3)取取CD杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：FDxFDyMD第四章第四章 平面任意力系平面任意力系qMABCDEH2m2m2m2m1m1m求：求： A、B的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 12 12已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm解：解：(1) 取取DE杆为研究对象杆为研究对象qMEDFDxFDyFHEH第四章第四章 平面任意力系平面任意力系qMABCDEH2m2m2m2m1m1m(2) 取取BDC杆为研究对象杆为研究对象BCDFCxFCyFNB(3) 取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：FNBFAxFAyMA第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-6 4-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的； 杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接； 载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上； 重量平均分配在节点上。重量平均分配在节点上。理想桁架理想桁架桁架是一种由杆件彼此在两端用铰桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为头称为节点节点。 节点法节点法 截面法截面法 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。 例例例例 题题题题1313解：解：(1) 取整体为研究对取整体为研究对象象解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC(2) 取节点取节点C为研究对象为研究对象解得：解得：20kNF1F2CFAyF4FAxAF3(3) 取节点取节点 A为研究对象为研究对象解得：解得：依此类推，可求得依此类推，可求得其余各杆内力。其余各杆内力。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC求：桁架求：桁架6、7、8各杆的力。各杆的力。 例例例例 题题题题1414解：解：(1) 取整体为研究对取整体为研究对象象解得：解得：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC(2) 根据解题的需根据解题的需要，假想用一截面要，假想用一截面截断体系。截断体系。(3) 取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。mn220kNCF610kNA1345F7F8FAxFAyD第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aaaaaaP21ABECD求：桁架求：桁架1、2杆的力。杆的力。 例例例例 题题题题1515解：解：(1) 取整体为研究对取整体为研究对象象解得：解得：FAxFAyFNB(2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象PEF2F3F4F5第四章第四章 平面任意力系平面任意力系aaaaaaP21ABECDFAxFAyFNB(2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象PEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6(3)取节点取节点 A 为研究对为研究对象象第四章第四章 平面任意力系平面任意力系F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：图示桁架中受力求：图示桁架中受力为零的杆件。为零的杆件。 思思思思 考考考考 题题题题 解：由节点法可知解：由节点法可知(a)图中受力为零的图中受力为零的(b)杆件有：杆件有：3、12、9。(b) 图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：1、3、4、13、14、12、11、21。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系结论与讨论结论与讨论1. 力的平移定理：力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。2. 平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即作用线通过简化中心作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主的主矩，即矩，即第四章第四章 平面任意力系平面任意力系3. 平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主主 矢矢主主 矩矩合成结果合成结果说说 明明F FR R 0 0 F FR R= = 0 0 MO = 0MO0MO 0MO = 0合合 力力合合 力力力力 偶偶平平 衡衡此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心通过简化中心合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关况下主矩与简化中心的位置无关4. 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：一点的主矩都等于零，即：第四章第四章 平面任意力系平面任意力系（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线） 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式基本形式基本形式基本形式基本形式二力矩式二力矩式二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式三力矩式三力矩式第四章第四章 平面任意力系平面任意力系5. 其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：如下：力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目共线力系共线力系共线力系共线力系平平 衡衡 方方 程程平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系1122第四章第四章 平面任意力系平面任意力系6. 桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法： 节点法：节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于2个。个。 截面法截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于3。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系