名师精编优秀教案八年级数学下册教案全等三角形1、 概念理解：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换） 使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。2、 三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“ SAS ”（2）“角边角”简称“ ASA ”（3）“边边边”简称“ SSS ”（4）“角角边”简称“ AAS ”注意：在全等的判定中，没有AAA和 SSA ，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。3、 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。注意：1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边， 角提供方便。二、例题分析：例 1，如图 ABC DEF ，AB和 DE ，AC和 DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。解： AB和 DE ，AC和 DF分别为对应边，另一组对应边是BC和 EF。对应角为：A和 D， B和 E， ACB和 DFE 例 2，如图， ABE ACD ，AB=AC ，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。分析：由 AB=AC ，则 AB和 AC是对应边，可找AB的对角 AEB ，AC的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师精编优秀教案对角 ADC ，则 AEB和 ADC为对应角。 由 A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而 A的对边为BE 、DC为对应边，于是剩下的B、 C是对应角。 AE和 AD是对应边。解：对应边：AB和 AC，BE和 DC ，AE和 AD 对应角： A和 A、 B和 C、 AEB和 ADC AB=AC ，AD=AE ， AB-AD=AC-AE ，即 BD=CE 又由 B=C，DFB= EFC （对顶角相等）于是构成一对全等三角形为BFD和 CFE 。1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是：（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。如图（一）中的AD ，图（二）中的BC 都是相应三角形的公共元素。图 （三） 中如有 BF=CE ， 利用公有的线段FC就可推出 BC=EF 。图（四）中若有DAB= EAC ，就能推出DAC= BAE 。3、三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点只有掌握好全等三角形的各种判定方法，才能灵活地运用它们学好今后的知识。证明三角形全等有五种方法：SAS 、ASA 、AAS 、 SSS 、HL为了判定两个三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。有两组对应角相等时；找精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师精编优秀教案有两组对应边相等时；找有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS ）说明：由以上思路可知两个三角形的六个元素中、若只有一对对应元素相等，或有两对对应元素相等， 则它们不一定全等。因此要得出两个三角形全等必须要有三对对应元素相等才有可能成立。 若两个三角形中三对角对应相等，它们只是形状相同，而大小不一定相等，所以这两个三角形不一定全等。如下图（一）因此要判定三角形全等的三对对应元素中，至少有一对是边。 还要注意一个三角形中的两边及其中一边所对的角对应相等，这两个三角形不一定全等。如图（二）中，ABC和 ABD中， AB=AB ，AC=AD ， B=B但 ABC和 ABD明显皅不全等。注：全等三角形判定没有（AAA ）和（ SSA ）例 3，如图， AD=AE ，D、E在 BC上， BD=CE ，1= 2，求证： ABD ACE 分析：已知条件中已经给出了AD=AE ，BD=CE ，要证明 ABD ACE ，只需证明AD与 BD ，AE与 EC的夹角相等，根据SAS ，定理就可以得出结论。证明： （1）（2）在 ABD和 ACE中（注意书写时必须把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 ）（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师精编优秀教案（4） ABD ACE （SAS ）说明： 全等三角形的论证，是研究图形性质的重要工具，是进一步学习平面几何知识的基础。因为研究图形的性质时，往往要从研究图形中的线段相等关系或角的相等关系入手，发现和论证全等三角形正是研究这些关系的基本方法；另一方面，论证全等三角形又是训练推理论证的起始，是培养逻辑推理能力的关键的一环。三角形全等证明的基本模式是：题设12具体的可以分为四步基本格式。（1） 证明三角形全等需要有三个条件，三个条件中如有需要预先证明的，应预先证出。（2）写出在哪两个三角形中证明全等。（3）按顺序列出三个条件，用大括号合在一起，并写出推理的根据。（4）写出结论。等腰三角形（ 1）一、教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。3、结合实例体会反证法的含义。二、教学重点： 了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。教学难点： 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。三、教学方法：观察法。四、教学过程：复习：1、 什么是等腰三角形？2、 你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、 试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？新课讲解：在证明（一） 一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师精编优秀教案1. 两直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行; 2. 两条平行线被第三条直线所截, 同位角相等 ; 3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ）5. 三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ）6. 全等三角形的对应边相等, 对应角相等 . 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS ）证明过程：已知： A=D, B=E,BC=EF 求证： ABC DEF 证明： A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180） C=180 -( A+B) F=180-( D+E) 又 A=D,B=E（已知） C=F 又 BC=EF （已知） ABC DEF （ASA ）（这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。）议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。）（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。）定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中， AB AC 。求证： B C （引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形：我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？）证明：取BC的中点 D，连接 AD 。ABAC ，BD CD ，AD AD ， ABC ACD (SSS) B=C ( 全等三角形的对应边角相等) （让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做BAC 的平分线，交BC 边于 D；过点 A 做 AD BC。 。学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）ABCFEDDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页名师精编优秀教案想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角， 发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论， 这一结合通常简述为 “三线合一”。 ）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。随堂练习：做教科书第4 页第 1，2 题。 （引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？（学生小结： 通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。）五、作业：1、基础作业：P5 页习题 1.1 1、2。2、拓展作业： 目标检测3、预习作业：P5-6 页议一议等腰三角形（ 2）一、教学目标：1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。3、 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。4、 了解反证法的推理方法。5、 会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。二、教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。教学难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。三、教学方法：探究式教学法自主探究与合作探究四、教学过程：复习回顾：你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、探索发现猜想证明1、 引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）2、 探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）3、证明：（1）例 1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）A C B D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师精编优秀教案已知：如图，在ABC 中， AB AC ，BD ，CE是ABC 的角平分线。求证： BDCE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）证明： （略）此题还有其它的证法吗？（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它证法合作交流完成。）4、议一议1：在上图的等腰ABC 中，如果 ABD 1/3 ABC, ACE 1/3 ACB,那么 BDCE吗？如果 ABD 1/4 ABC, ACE 1/4 ACB呢？由此你能得到一个什么结论？（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。学生分组思考、 交流， 在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。）（3）如果 AD 1/2AC,AE1/2AB, 那么 BD CE吗？如果AD 1/3AC,AE1/3AB, 呢？由此你能得到一个什么结论？议一议 2：把“等边对等角”反过来还成立吗？你能证明？定理证明已知：在 ABC中 B= C 求证： AB=AC （引导学生证明定理）方法如下：（1）（2）课堂小结1：(1) 归纳判定等腰三角形判定有几种方法, (2) 证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）随堂练习：已知：在 ABC中， AB=AC ，D 在 AB 上， DEAC 求证： DB=DE（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）想一想 : 小明说， 在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗 ?如果成立 ,你能证明它 ? 证明 P8 反证法的概念P8课堂小结2：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？A B C A B C D A B C D A B C D EA C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师精编优秀教案（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。）五、作业：1、基础作业：P9 页习题 1.2 1、2、3。2、拓展作业： 目标检测3、预习作业：P10-12 页做一做等腰三角形（ 3）一、教学目标：1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。二、教学重点、难点：关于综合法在证明过程中的应用。三、教学过程：温故知新1、已知： ABC, ACB 的平分线相交于F,过 F作 DEBC,交 AB 于 D,交 AC 于 E (1) 找出图中的等腰三角形(2) BD,CE,DE 之间存在着怎样的关系？(3) 证明以上的结论。2、复习关于反证法的相关知识练习：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）学一学1、 探索问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的思路吗？（把你的思路与同伴进行交流。）定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。2、 做一做： 用两个含 30角的三角尺， 能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。由此你能想到， 在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）证明：在 ABC 中， ACB=90 ， A=30，则 B=60延长 BC 至 D,使 CD=BC, 连接AD ACB=90 ACD=90 AC=AC ABC ADC(SSS) AB=AD( 全等三角形的对应边相等) ABD 是等边三角形E D B A C D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师精编优秀教案BC=21BD=21AB 得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、例题学习等腰三角形的底角为15，腰长为2a ，求腰上的高。已知：在 ABC 中， AB=AC=2a, ABC= ACB=15 度， CD 是腰 AB 上的高求： CD 的长解： ABC= ACB=15 DAC= ABC+ ACB=15 +15=30CD=21AC=21 2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半) 4、练习：课本12 页随堂练习1 四、课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）五、作业：1、基础作业：P13 页 习题 1.3 1、2、3 题2、拓展作业： 目标检测3、预习作业：P15-17 页读一读“勾股定理的证明”直角三角形（ 1）教学目标： 1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。教学过程：一、温故知新1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？（由学生回顾得出勾股定理的内容。）定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。二、学一学1、 问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？A D B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师精编优秀教案已知：在 ABC中， AB2+AC2=BC2求证： ABC是直角三角形a)（！ ）（2）（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。）结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。2、议一议：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等。如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。三角形中相等的边所对的角相等。三角形中相等的角所对的边相等。（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。 ）3、关于互逆命题和互逆定理。（ 1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（ 2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题， 那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）4、练习：（1）写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。（2）试着举出一些其它的例子。（3）随堂练习1 5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。）三、作业A B C A1B2C1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师精编优秀教案直角三角形（ 2）教学目标： 1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。重点：能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理。并且用纸解决问题。难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。- 教学过程：一、复习提问1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？2、 有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）二、探究两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果相等说明理由。如果不相等，应如何改变条件？用自己的语言清楚地说明，并写出证明过程。问题 1，此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？（HL,SAS,ASA,AAS,SSS. 先考虑HL, 在考虑另外四种方法。 ）三、做一做如图利用刻度尺和三角板，能否做出这个角的角平分线？并证明。（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）四、练习随堂练习 P23-1 判断命题的真假，并说明理由1、 锐角对应相等的两个直角三角形全等。2、 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。3、 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、 一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。教师分析讲解。）五、议一议A O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师精编优秀教案NMC图27.2.7AQB如图：已知ACB= BDA=90。要使ACB BDA ，还需要什么条件？把他们写出来，并说明理由。（教学中给予学生时间和空间，鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。）六、小结：1、本节课学习了哪些知识？2、还有那一些方面的收获？线段的垂直平分线、角平分线（一）线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定义：若 AO=BO ，AB a，则 a 叫线段 AB的垂直平分线2、有关定理：定理 1：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。于是就有 : 定理 2：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。数学语言表示为：如图 27.2.7，QA=QB 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上。熟记结论：三角形三边的垂直平分线交于一点。这一点称为三角形的心三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等反之亦成立到三角形的三个顶点的距离相等的点为三角形的心A B C D aoABklmOABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师精编优秀教案EDPBAOMOHGFEDCBAEDPBAOOCBA（二）角平分线1、角平分线定义：若=，则叫 AOB 的角平分线2、有关定理：定理 1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。于是就有 : 定理 2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。数学语言表示为：如图：PDAO ，PEOB 且 PE=PD 点 P 在 AOB 的角平分线上。熟记结论：三角形三个角的角平分线交于一点。这一点称为三角形的心三角形的内心到三角形的三条边的距离相等反之亦成立到三角形的三条边的距离相等的点为三角形的心四、分层练习（A 组）1、已知：如图，MN AB ，垂足为点C， AC=BC ，点 P 是直线 MN 上任意一点。 PA=5，因为直线MN 是 AB 的线，所以 PB= 。2、已知： 如图 OP 平分 AOB ，PDOA 于 D，PEOB 于 E，PD=3，则 PE= 。（理由：角平分线上的到距离相等）第 1 题第 2 题第 5 题3、如图，已知AE=CE ，BDAC ，BA+DA=10 ，则 BC+DC= 。4、三角形中，到三边距离相等的点是（）A 三条边的垂直平分线的交点B 三条角平分线的交点C 三条中线的交点D 三条高的交点NPMCAB第 3 题ECADB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师精编优秀教案第 6 题BCADFEDCBAOCBA5、如图，点O 是等腰 ABC 的内心且AB=AC ，则点 O 是 ABC 三条线的交点，若 BOC=1000，则 A 的度数是。6、如图，在ABC 中，已知点D 在 BC 上，且 BD+AD=BC 。求证：点D 在 AC 的垂直平分线上。7、如图，在 ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 的中点， DEAB ，DFAC ，E、F 是垂足，求证： DE=DF 8、如图，在直线L 上找出一点P，使得点 P 到已知点A、B 的距离相等。B 组 1、如上右图，点O 是 ABC 的内心，则点O 是 ABC 三条线的交点，若 BOC=1000，则 A 的度数是。2、找出一点P，使得点 P 到已知点D、E 的距离相等， 且到 BA 、BC 所在直线的距离相等。3、如图，在 ABC 中， C=90， A=36 ，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于 D，交 AC 于 E，求 EBC 的度数ABCDE第1题第 8 题DECBABIA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师精编优秀教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页