本材料第 1页共 16页解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握 . 解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理， 问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、 转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1、相邻排列捆绑法：n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这 k 个元素“捆绑在一起” ，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11n kn kA种排法然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有kkA 种方法由乘法原理得符合条件的排列，共11n kkn kkAA种例 1.edcba,五人并排站成一排，如果ba,必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把ba,视为一人， 且b固定在a的右边，则此题相当于4 人的全排列，4424A种，答案：D. 例 2 有 3 名女生 4 名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，4 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A 种排法；女生内部的排法有33A 种，男生内部的排法有44A种故合题意的排法有234234288AAA 种排列插空法：元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 将 n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻()knk，有多少种排法？先把 ()nk 个元素排成一排，然后把k 个元素插入(1)nk个空隙中，共有排法1kn kA种例 3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页本材料第 2页共 16页解：先把科学家作排列，共有55A种排法；然后把5 名中学生插入6个空中，共有56A种排法，故符合条件的站法共有555686400AA种站法例 4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种解析：除甲乙外，其余5 个排列数为55A种，再用甲乙去插6 个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A种，选B. 3、定序问题 -倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法 .将 n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n 个不同元素排列成一排，共有nnA 种排法； k 个不同元素排列成一排共有kkA 种不同排法 于是， k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的kkA 分之一故符合条件的排列共nnkkAA种例 5.edcba,五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边ba,可以不相邻那么不同的排法种数是A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种解析：b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即551602A种，选B. 例 6. A， B，C，D，E 五个元素排成一列，要求A 在 B 的前面且D 在 E 的前面，有多少种不同的排法？解： 5 个不同元素排列一列，共有55A 种排法A，B 两个元素的排列数为22A ；D，E两个元素的排列数为22A因此，符合条件的排列法为55222230AAA种4、标号排位问题-分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页本材料第 3页共 16页续下去，依次即可完成. 例 7.将数字 1，2，3，4 填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种解析：先把1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3 3 1=9种填法，选B. 5、留空排列借元法例 8、一排 10 个坐位， 3 人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。解：由题意，先借7 人一排坐好，再安排3 在 8 个空中找3 个空插入， 最后撤出借来的7 人。得不同的坐法共有773877/ AAA种。6、有序分配问题-逐分法：有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法. 例 9.1有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种解析： 先从 10 人中选出2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1人承担乙项任务，第三步从另外的7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C种，选C. 2学生会的12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，假设每个年级 4 人，则不同的分配方案有A、4441284C C C种B、44412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种答案： 先从 12 人中选出4 人到第一个年级，再从剩下的8 人中选 4人到第二个年级，第三步从剩下的4 人中选 4 人到第三个年级，不同的选法共有4441284C C C种，选A. 7、平均分堆问题-除序法 :例 10. 12 本不同的书，平均分为3 堆，不同的分法种数为多少种。解：先从 12 本书中选出4 本到第一堆， 再从剩下的8 本中选出4本到第二堆， 第三步从精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页本材料第 4页共 16页剩下的 4 本中选 4 本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有444128433C C CA种。8、全员分配问题-分组法 : 例 11.14 名优秀学生全部保送到3 所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析： 把四名学生分成3 组有24C种方法， 再把三组学生分配到三所大学有33A种，故共有234336C A种方法 . 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 25 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480 种B、240 种C、 120 种D、 96 种答案：B. 9、名额分配问题-隔板法 :例 12： 10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析： 10 个名额分到7 个班级，就是把10 个名额看成10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的9 个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种. 10、限制条件的分配问题-分类法 : 例 13.某高校从某系的10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：假设甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；假设乙参加而甲不参加同理也有383A种；假设甲乙都参加，则先安排甲乙， 有 7 种方法，然后再安排其余8 人到另外两个城市有28A种，共有287A433288883374088AAAA种. 11、多元问题 -分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页本材料第 5页共 16页例 141由数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种B、300 种C、 464 种D、 600 种解析：按题意，个位数字只可能是0，1， 2，3，4 共 5 种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,A A AA A AA A AA A个，合并总计300 个,选B. 2从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法不计顺序共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被 7 整除的数的集合记做7,14,21,98A共有 14 个元素 ,不能被 7 整除的数组成的集合记做1,2,3,4,100A共有 86 个元素；由此可知，从A中任取 2 个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486C C，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CC C种. 3从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法 不计顺序有多少种？解 析 ： 将1,2,3,100I分 成 四 个 不 相 交 的 子 集 ， 能 被4整 除 的 数 集4,8,12,100A；能被4 除余1 的数集1,5,9,97B，能被4 除余2 的数集2,6,98C，能被 4 除余 3 的数集3,7,11,99D，易见这四个集合中每一个有25 个元素； 从A中任取两个数符合要；从,B D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求； 此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525CC CC种. 12、交叉问题 -集合法：某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式()()()()n ABn An Bn AB. 例 15.从 6名运发动中选出4 人参加 4 100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =6 人中任取4 人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页本材料第 6页共 16页四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：( )( )()()n In An Bn AB43326554252AAAA种. 13、定位问题 - 优先法：有限制条件， 某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。假设反面情况较为简单时，则用排除法求解例 16. 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，现要派5 名参加比赛， 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 _种用数字作答 解：由题意，先安排3 名主力队员在第一、三、五位置，有33A 种；再安排其余7 名队员选 2 名在第二、四位置有27A 种；由乘法原理，得不同的出场安排共有3237252AA种例 17.1 名老师和4 名获奖同学排成一排照相留念，假设老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4 名同学在其余4 个位置上有44A种方法；所以共有143472A A种。 . 14、多排问题 -单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 18.16 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是A、36 种B、120 种C、720 种D、1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6 个不同的元素排成一排，共66720A种，选C. 28 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2 个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5 个元素任排5 个位置上有55A种，故共有1254455760A A A种排法 . 15、 “至少”“至多”问题-间接排除法或分类法: 例 19.从 4台甲型和5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页本材料第 7页共 16页不同的取法共有A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种 ,选.C解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型2台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台,选C. 16、选排问题 -先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例 20.1四个不同的小球放入编号为1，2， 3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排 3 个有34A种，故共有2344144C A种. 29 名乒乓球运发动，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运发动各2 名，有2254C C种，这四名运发动混和双打练习有22A中排法，故共有222542120C C A种 . 17、部分合条件问题-排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例 21.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种解析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C四面体，但6 个外表和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C个. 2 四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取 4 个不共面的点， 不同的取法共有 A、150 种B、147 种C、 144 种D、 141 种解析： 10 个点中任取4 个点共有410C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C，四个面共有464C44106436141CC种 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页本材料第 8页共 16页18、圆排问题 -直排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序例如按顺时钟不同的排法才算不同的排列，而顺序相同即旋转一下就可以重合的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，以下n个普通排列：12323411,;,;,nnnna aaaaaaaaaa在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!nn种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列 . 例 22.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5 位姐姐站成一圈，属圆排列有44A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5242768种不同站法 . 说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAm种不同排法 . 19、可重复的排列-求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法 . 例 23.把 6名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？解析： 完成此事共分6 步，第一步； 将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案， 依次类推， 由分步计数原理知共有67种不同方案 . 20、元素个数较少的排列组合问题-枚举法：例 24.设有编号为1，2， 3，4，5 的五个球和编号为1，2，3， 4，5 的盒子现将这5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出2 个与盒子对号有25C种，还剩下3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时， 3 号球不能装入3号盒子，当 3 号球装入4 号盒子时， 4，5 号球只有1 种装法， 3 号球装入5 号盒子时， 4， 5 号球也只有1 种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为25220C种. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页本材料第 9页共 16页21、复杂的问题-对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 25.1圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个. 2某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7 小段，其中：向东4段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种. 22、区域涂色问题分步与分类综合法解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类以上三种方法常会结合起来使用。、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？法 1：2401435AA法 2：24023545AA例 28、一个地区分5 个区域 ,现用 4 种颜色给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,则不同的着色方法有多少种? A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页本材料第 10页共 16页法 1.分步：涂有4 种方法，涂有3 种方法，涂有2 种方法，涂有 2 种方法，涂时需看与是否相同，因此分两类。法 2.按用了几种颜色分两类：涂了4 色和 3 色例 29 、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分如图 ，现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色，不同的栽种方法有 _种(用数字作答解法 1：首先栽种第1 部分，有14C种栽种方法；然后问题就转化为用余下3 种颜色的花，去栽种周围的5 个部分如右图所示 ，对扇形 2 有 3 种栽种方法，扇形3 有 2 种栽种方法，扇形 4 也有 2 种栽种方法，扇形5 也有 2 种栽种方法，扇形 6 也有 2 种栽种方法于是，共有432种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域 2 与 6 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从432中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2 与 6 看作一个扇形，其涂色方法相当于用3 种颜色的花对4个扇形区域栽种这种转换思维相当巧妙。综合和，共有141243332(221 1)4(4818)430120CCA种。解法 2：依题意只能选用4 种颜色，要分5 类 1与同色、与同色，则有44A；2与同色、与同色，则有44A； 3与同色、与同色，则有44A；4与同色、与同色，则有44A； 5与同色、与同色，则有44A；所以根据加法原理得涂色方法总数为5 44A=120种23、复杂问题树图法 (选组穷举法 ) 当以上各法还难以解决时，可用画树图的方法解决。虽然原始、笨拙，但清楚、可靠。此法称选组 穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举,探索出其规律.解：以 a, b, c, d 分别代替 4 种颜色的花。 通过树图可知，完成此事共分6 步，第一步有4 方法；二步有 3 方法， 第三步有 2 同方案， 第四步也有2 不同方法第五步有2 种不同方案， 然而第六步有？种不同方案？，不易看清!画出树图，由图知将四、五、六两步并为一步，有5 种方法。43224321724344272AA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页本材料第 11页共 16页于是共有120523424、复杂排列组合问题-构造模型法：例 31.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6 盏亮灯的5 个空隙中插入3 盏不亮的灯35C种方法 ,所以满足条件的关灯方案有10 种. 说明： 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型， 装盒模型可使问题容易解决. 25、复杂的排列组合问题-分解与合成法：例 32.130030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=23 5 7 11 13；依题意偶因数2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取假设干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532CCCCCC个. 2正方体8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3 对异面直线， 可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四面体， 从正方体8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有3 58=174 对. 26、 逆向问题 -方程法例 33. 平面上有相异的11 个点，每两点连成一条直线，共得43 条不同的直线。1这 11 个点中有无三点或三个以上的点共线？假设有共线，情形怎样？2这 11 个点构成多少个三角形？解： 1设假设有x 条三点共线，y 条四点共线，z 条五点共线， ，于是有：C112x(C321) y(C421)z(C521)43 即 23-2x-5y-9z- =0这方程的解只可能是：x=6,y=z=0 或 x=1,y=2,z= =0.由此可知，这11 个点中有 6 条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。2由上可知这11 个点构成三角形个数的情形有C1136C33 159 或 C113C32C42156排列基础例题讲习例 1： 7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列77A5040 7 位同学站成两排前3 后 4 ，共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7 6543217！ 5040 7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页本材料第 12页共 16页解：问题可以看作：余下的6 个元素的全排列66A=720 7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A种；第二步余下的 5名同学进行全排列有55A种则共有22A55A=240 种排列方法 7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一直接法 ：第一步从除去甲、乙其余的5 位同学中选2 位同学站在排头和排尾有25A种方法；第二步从余下的5 位同学中选5 位进行排列全排列有55A种方法所以一共有25A55A2400 种排列方法解法二：排除法假设甲站在排头有66A种方法；假设乙站在排尾有66A种方法；假设甲站在排头且乙站在排尾则有55A种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A662A55A=2400 种小结一： 对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例 2 ： 7 位同学站成一排、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素同学一起进行全排列有66A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法所以这样的排法一共有66A22A1440 种、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A33A 720 种、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一： 将甲、乙两同学 “捆绑” 在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2 个元素放在排头和排尾，有25A种方法；将剩下的4 个元素进行全排列有44A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法所以这样的排法一共有25A44A22A960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，假设丙站在排头或排尾有255A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566AAA种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A种方法，再将其余的5 个元素进行全排列共有55A种方法， 最后将甲、 乙两同学 “松绑”，所以这样的排法一共有14A55A22A 960 种方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页本材料第 13页共 16页小结二： 对于相邻问题，常用“捆绑法”先捆后松 例 3： 7 位同学站成一排、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：排除法3600226677AAA解法二：插空法先将其余五个同学排好有55A种方法，此时他们留下六个位置就称为“空”吧 ，再将甲、乙同学分别插入这六个位置空有26A种方法，所以一共有36002655AA种方法甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A种方法，所以一共有44A35A1440 种小结三： 对于不相邻问题，常用“插空法”特殊元素后考虑 例 4： 从 10 个不同的文艺节目中选6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：从特殊位置考虑1360805919AA解法二： 从特殊元素考虑 假设选：595 A假设不选：69A则共有595 A69A136080 解法三：间接法59610AA136080 例 5： 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解： 甲、乙排在前排24A；丙排在后排14A；其余进行全排列55A所以一共有24A14A55A5760 种方法 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解： “捆绑法”和“插空法”的综合应用a, b捆在一起与e进行排列有22A；此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有23A；最后将a, b“松绑”有22A所以一共有22A23A22A24 种方法 6 张同排连号的电影票，分给3 名教师与3 名学生，假设要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：分类假设第一个为老师则有33A33A；假设第一个为学生则有33A33A所以一共有 233A33A72 种方法例 6： 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：3255545352515AAAAA由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000 大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1 时，十位必须大于等于3 有3313AA种方法；另一类是首位不为1，有4414AA种方法所以一共有3313AA1144414AA个数比 13 000 大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页本材料第 14页共 16页解法二：排除法比13 000 小的正整数有33A个，所以比13 000 大的正整数有55A33A114 个例 7： 用 1，3，6，7，8，9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列第 114 个数是多少？ 3 796是第几个数？解： 因为千位数是1的四位数一共有6035A个， 所以第 114个数的千位数应该是 “3” ，十位数字是“1”即“ 31”开头的四位数有1224A个；同理，以“36” 、 “ 37” 、 “38”开头的数也分别有12 个，所以第114 个数的前两位数必然是“39”, 而“ 3 968 ”排在第 6 个位置上，所以“ 3 968 ” 是第 114 个数 由上可知“ 37”开头的数的前面有60 121284 个，而 3 796 在“ 37”开头的四位数中排在第11 个倒数第二个 ，故 3 796 是第 95 个数例 8： 用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中能被 25 整除的数有多少个？ 十位数字比个位数字大的有多少个？解： 能被 25 整除的四位数的末两位只能为25， 50 两种， 末尾为 50 的四位数有24A个，末尾为 25 的有1313AA个，所以一共有24A1313AA 21 个注：能被 25 整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00 四种情况 用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，一共有3003515AA个因为在这300 个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的” ，所以十位数字比个位数字大的有150213515AA个参考练习1.有 6 张椅子排成一排,现有 3 人就座 ,恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是( ) 2.由 1、2、3、4组成的无重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列an，则 a18=人排成一排 ,其中甲、乙之间至少有一人的排法种数为_ 4. 用 0、 1、2、3、4、5、6 组成满足以下条件的数各多少个？无重复数字的四位数；无重复数字的四位数偶数；无重复数字的四位数且能被5 整除；个位数字大于十位数字的四位数. 5. 三个男生和四个女生安以下条件排成一排有多少种排法？男生排在一起，女生排在一起有；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页本材料第 15页共 16页男女生间隔相排；男生互不相邻；甲乙两人必须相邻. 6.8 人站成一排，不同的站法有种. 6 人站成一排，甲不站头，乙不站尾，不同的站法有种. 5 件不同礼品分送给4 人，每人至少一件，而且礼品全部送出，那么送出礼品的方法数是. 4 个小组，分别从3 个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是. 7.书架上竖排着六本数，现将新购的3 本书上架，要求不调乱书架上原有的书，那么不同的上架方式共有多少种？8.用 0 到 9 这个个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9.圆周上有 8 个点，将圆周等分，那么以其中的 3 个点为顶点的直角三角形共有个. A12 B16 C24 D48 9.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分如图 ，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5 种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种；假设要求 5 种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_种 以数字作答10 在一个正六边形的6 个区域栽种欣赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案；假设要求四种不同的植物全部栽种，则有_种栽种方案【答案】 9 1200，600；10732，480。11. 用 1、2、3、 4、5 这 5 个数字组成没有重复数字的3 位数，其中偶数共有12. 有 9 个男生， 5 个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排有种A .9955PPB.5510PC.101055PPD. 29955PP13. 用 1，2，3， 4，5，6，7 这 7 个数字作全排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，这样的七位数共有A .44PB.3344PPC.334PD. 344P14. 用 0，2，4， 6，9 五个数字组成无重复数字的五位偶数，共有个A .44552PPB.3344552PPPC.333313552PPPPD.33131344PPPP15. 用数字 0，1，2，3， 4 能组成没有重复数字且比20000 大的五位数奇数共有( )个A . 36 B. 30 C.72 D.18 16. 有 3 位老师和5 位学生照相，如果老师不排在最左边且老师不相邻，则不同的排法种数是A .5833PPB.3455PPC.3555PPD.3655PP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页本材料第 16页共 16页17. 一台晚会的6 个节目中有两个小品，如果两个小品不连续演出，共有不同的演出顺序多少种18. 用 0，1，2， 3，4，5 可以组成多少个无重复数字的五位数？五位奇数？五位偶数？19. 某班一天六节课：语文、英语、数学、物理、体育、自习. 按以下要求，分别有多少种排课方法第一节不排体育、自习；数学不排下午，体育不排在第一、四节. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页