七年级数学七年级数学上上 新课标新课标 人人 第一章第一章 有理数有理数例1考查角度考查角度1数轴相关知识数轴与有理数的关系如图1 - 8所示,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点A表示的数为()图1 - 8A.30 B.50 C.60 D.80解析由图形中的数据可知5个单位长度为100,每一个单位长度代表20,A点在原点的右侧,距原点3个单位长度,因此点A表示60.故选C.C【解题归纳】数轴的单位长度应根据实际情况进行设置.1.如图所示,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则点A表示的数为( )A.7B.3 C. - 3D. - 2提示:点A实际上是向右移动3个单位长度到达1,故点A表示 - 2.D例2(分类思想)在数轴上,把表示2的对应点移动5个单位长度后,得到的对应点所表示的数是()A.7 B. - 3 C.7或 - 3D.不能确定解析数轴上表示2的对应点向右移动5个单位长度后对应点表示的数为7;向左移动5个单位长度后对应点表示的数为 - 3.故选C.C【解题归纳】在未指明移动方向时,要进行分类讨论.2.在数轴上与表示 - 2的点相距8个单位长度的点表示的数为 . 提示:在表示 - 2的点的左、右两边各有一个点与它相距8个单位长度.6或 - 10例3 (创新题)小红在做作业时,不小心将墨水洒在一个数轴上,如图1 - 9所示,根据图中标出的数值,判断被墨迹盖住的整数共有多少个.图1 - 9解析根据数轴的画法将数轴补全,然后分别数出两段中整数的个数.解:在 - 12.6与 - 7.4之间的整数为 - 12, - 11, - 10, - 9, - 8,共5个;同理在10.6与17.8之间的整数为11,12,13,14,15,16,17,共7个.所以被墨迹盖住的整数共有5+7=12(个).【解题归纳】要确定两个数之间的整数,其方法是通过数轴找出介于两个数之间所有符合要求的点.3.一滴墨水洒在一个数轴上,如图所示,试根据图中标出的数值,求出被墨迹盖住的整数共有多少个?解:( - 52) - ( - 187)+1+(238 - 24+1)=136+215=351(个).考查角度2数轴在实际问题中的应用例4(实际应用题)小明家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上,依次记为A，B，C，D，学校位于小明家西150米,邮局位于小明家东100米,图书馆位于小明家西400米.(1)用数轴表示A，B，C，D的位置(建议以小明家为原点);(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?解析因为本题中小明家、学校、邮局、图书馆都坐落在东西走向的大街上,所以我们可以把大街看作一条数轴,以小明家为原点,向东为正方向画出数轴,再结合数轴可解决后面的问题.(1)用数轴表示A，B，C，D的位置(建议以小明家为原点);解:(1)如图1 - 10所示.图1 - 10(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?解：小明从邮局出发,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,其行走的路程约为508=400(米),由图1 - 10知C,D之间相距500米,此时小明在学校与图书馆之间,距图书馆约100米,距学校约150米.【解题归纳】用数轴表示数时,要根据实际需要,一个单位长度表示的数可大可小,但整体要保持统一,本题中一个单位长度表示50米.4.(情景题)善于观察思考的王新在假期与父亲乘船旅游时,初次知道了轮船的“吃水线”.在港口,他看到一艘货轮装货前后的“吃水线”如图所示.询问爸爸,这告诉我们什么呢?你能帮助王新解决这个问题吗?解:这说明轮船装货后比装货前下沉了10 cm,从而了解所装货物的多少.提示:轮船装货前后浸入水中的深度是靠轮船上的“吃水线”直接显示出来的,以保证轮船的安全航行.考查角度3数轴与相反数相结合在数轴上点A表示的数为7，B，C两点表示的数互为相反数，且点C与点A之间的距离为2，那么点B与点C表示的数分别是多少?例5解:如图1 - 11所示.因为点C与点A的距离为2,所以点C表示的数为9或5. 又因为点B与点C表示的数互为相反数,所以点B表示的数为 - 9或 - 5.【解题归纳】互为相反数的两个数分别在原点的左、右两边,并且到原点的距离相等,反之亦然.【规律方法】数轴是解决许多有理数的问题的重要工具,这里面渗透了数形结合思想.5.已知数轴上的点A和点B分别表示互为相反数的两个数a和b(ab),且A,B两点间的距离是8,求a,b两数.提示:因为a，b两数互为相反数，所以在数轴上表示a,b的两点A，B分别在原点的两侧，且到原点的距离相等，而A，B两点间的距离是8，所以A，B两点到原点的距离都是82=4.解:依题意可知A，B两点到原点的距离都是82=4，而ab，所以a=4，b= - 4.下面两个数互为相反数的是()A. - (+7)与+( - 7)B. - 0.5与 - (+0.5)C. - 1.25与 D.+( - 0.01)与- 考查相反数相关知识考查角度1相反数的判定例6解析因为+( - 0.01)= - 0.01, - =0.01,所以+( - 0.01)与 - 互为相反数.故选D.【解题归纳】判断两个数是否互为相反数,需要对所给的数进行化简,然后再判断两个数是否只有符号不同. D6.下列叙述正确的是 ()A.符号不同的两个数互为相反数B.一个有理数的相反数一定是负有理数C. 与2.75都是 - 2.75的相反数D.0没有相反数C考查角度2开放题例7 任意写出三对除0以外的互为相反数的数.解:答案不唯一.满足条件的相反数,如:2和 - 2,3和 - 3, 和 等.【规律方法】互为相反数的两个数,只是符号不同,一个是正,另一个是负,0的相反数是它本身.考查角度3阅读描述题 阅读下面的文字，并回答问题1的相反数是 1，则1+( - 1)=0；0 的相反数是0，则0+0=0； 的相反数是 ，则 =0.所以,若a,b互为相反数,则a+b=0；若a+b=0，则a，b互为相反数.试用文字语言描述上面的结论.解:若两个数互为相反数,则这两个数的和等于零;若两个数的和等于零,则这两个数互为相反数.【解题归纳】本题通过由特殊到一般的探索,归纳出一般性的结论,体现了由特殊到一般的数学思想. 通过本题,我们体会到做题时,要学会归纳总结.例88.阅读下面内容,然后回答问题:1的相反数是 - 1,2.5的相反数是 - 2.5; - 1的相反数是1, - 2.5的相反数是2.5;0的相反数是0.由上可得:(1)正数的相反数是;(2)负数的相反数是;(3)0的相反数是;(4)相反数小于它本身的数是;(5)相反数大于它本身的数是;(6)相反数等于它本身的数是.负数正数0正数负数0考查角度4相反数与立体图形展开图的综合例9(学科内综合题)如图1 - 12(1)所示的是一个正方体纸盒的表面展开图,请把 - 5,8,5, - 6, - 8,6分别填入六个正方形中,使得折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数.1 - 12(1)解析本题考查正方体的展开图与互为相反数的意义.本题中满足条件的答案有很多种,写出一种即可.解:如图1 - 12(2)所示.(答案不唯一)1 - 12(2)【解题归纳】动手画图,动手实践,充分利用相反数的代数意义是解决问题的关键.【规律方法】相反数是成对出现的,是相互的,单独的一个数不能说是相反数;如果a表示一个有理数,那么 - a即为它的相反数.9.如图所示的是一个正方体纸盒的展开图,若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数,使得它们折成的正方体相对面上的两个数互为相反数,则填入正方形A，B，C内的三个数依次是()A.1，- 2，0B.0，- 2，1C. 2，0，1 D. 2，1，0B多重符号的化简多重符号的化简例10 (1)化简下列各式: - ( - 5), - (+5), - - (+5), - - - (+5);(2)猜想:当+5前面有2007个正号时,化简的结果为 ;当+5前面有2007个负号时,化简的结果为;当+5前面有2008个负号时,化简的结果为 .解:(1) - ( - 5)=5, - (+5)= - 5, - - (+5)= - ( - 5)=5, - - - (+5)= - - - 5= - +5= - 5. (2)5 - 55【规律方法】对于多重符号的化简,当一个数前面有“+”号时,化简结果为正;当一个数前面有偶数个“ - ”号时,化简结果为正;当一个数前面有奇数个“ - ”号时,化简结果为负.5- 5510.化简下列各数.(1) - ( - 2);(2)+( - 2);(3) - (+2);(4) - - ( - 2).解:(1) - ( - 2)=2.(2)+( - 2)= - 2.(3) - (+2)= - 2.(4) - - ( - 2)= - 2.