目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式第二节洛必达法则 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化( 或 型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、存在 (或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则) 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间)证证: 无妨假设在指出的邻域内任取则在以 x, a 为端点的区间上满足柯故定理条件定理条件: 西定理条件,存在 (或为 )目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1. 定理 1 中换为下列过程之一:推论推论 2. 若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解: 原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !洛洛洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 原式 思考思考: 如何求 ( n 为正整数) ?洛洛目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式型未定式存在 (或为)定理定理 2.证证: 仅就极限存在的情形加以证明 .(洛必达法则)目录 上页 下页 返回 结束 1)的情形从而目录 上页 下页 返回 结束 2)的情形. 取常数可用 1) 中结论目录 上页 下页 返回 结束 3)时, 结论仍然成立. ( 证明略 )说明说明: 定理中换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解:原式例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形.原式洛洛洛洛洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x 1 时,目录 上页 下页 返回 结束 例4.例3. 说明说明:1) 例3 , 例4 表明时,后者比前者趋于更快 .例如,事实上用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若例如例如,极限不存在不能用洛必达法则 ! 即 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例5. 求解解: 原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式例例6. 求通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求解解: 利用利用 例例5例5 通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求解解: 注意到原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例3例例9. 求法法1. 直接用洛必达法则.下一步计算很繁 ! 法法2. 利用例3结果.原式例3 例例3目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限不存在 , 说明3) 原式分析分析:说明3)目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:3.原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 则4. 求解解: 令原式洛洛洛洛目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三节 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 :解解:备用题备用题洛洛目录 上页 下页 返回 结束 则原式 =解解: 令(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)目录 上页 下页 返回 结束 解解:原式 =第三节 洛洛