精选资料欢迎下载数论 知识要点 小学升初考试中的数论问题， 常常涉及整数的整除性、 带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：1带余除法：若 a，b 是两个整数， b0，则存在两个整数 q，r ，使得a=bq+r（0r b），且 q，r 是唯一的。特别地，如果 r=0，那么 a=bq。这时， a 被 b 整除，记作 b|a ，也称 b 是 a的约数， a 是 b 的倍数。2若 a|c ，b|c ，且 a，b 互质，则 ab|c 。3唯一分解定理：每一个大于1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即其中 p1p2 pk 为质数， a1，a2， ak 为自然数，并且这种表示是唯一的。（ 1）式称为 n 的质因数分解或标准分解。4约数个数定理：设n 的标准分解式为（ 1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）（ ak+1）。5整数集的离散性： n 与 n+1之间不再有其他整数。因此，不等式xy 与xy-1 是等价的。下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。数整除的特征数特点被 2 整除一个整数的个位是0,2,4,6,8中的某一个被 3（或者 9）整除一个整数的各位数字之和能被3（或者 9）整除被 5 整除一个整数的末尾不是5 就是 0 被 4(或者 25)整除一个整数的末两位能被4(或者 25)整除被 8(或者 125)整除一个整数的末三位能被8(或者 125)整除被 11 整除一个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（较大数减较小数）能被11整除被 7(或者 11 或者 13)整除一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（较大数减较小数）能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页精选资料欢迎下载【例题精讲 】例 1. 老师买了 72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了 13.7元，你能帮忙补上中数字吗？练习 1. 马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到 72 只桶共 67.9元，内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例 2. 在算式abcde13abcde1中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求 abcde这个五位数是多少？练习 2. 一个六位数， 他的个位数字是 6，将 6 移动到最前面， 所得的数是原数的4 倍，求这个六位数。例 3. 从 0,3,5,7,这 4 个数中任选 3 个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被 2、3、5 整除的数有多少个？练习 3. 从 1、2、3、4、5 中任取 3 个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被 2 和 9 整除的数有多少个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页精选资料欢迎下载【综合练习 】1. 学校李老师一共买了28 支价格相同的钢笔，共付人民币9. 2 元，已知处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？2. 已知yx1993 是 45 的倍数，求所有满足条件的六位数yx1993 。3. 小明在一张纸上写下了一个没有重复数字的五位数，94 5，其中十位数字和千位数字都看不清楚了，但已知这个数能被75 整除，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个数是多少？4. 在 25 79 这个数的内填上一个数字， 使这个数能被 11 整除， 问应填几？5. 五位数aa235能被 3 整除，它的末三个数字组成的数aa2能被 2 整除，求这个五位数？6. 已知六位数 8919能被 33 整除，那么这个六位数是多少？7. 一个六位数 2356是 88 的倍数，这个数除以88 商多少？8. 有一个整数，用它去除70、110、160 等到三个余数之和是50，求此整数。9. 有一个正整数是一个有2008 位的数，且是 9 的倍数，数字之和是A,A 的数字之和是 B，B的数字之和是 C,求 C是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页精选资料欢迎下载第二节质数与合数的应用【专题简析】根据质数、合数的意义，解答与质数合数有关的问题，学习这部分内容，首先要记住 20 以内、100 以内的质数，有利于顺利解题。【例题精讲 】例 1 分别判断 251，539 是质数还是合数？例 2 A 是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14 都是质数，试求出满足要求的最小质数 A。例 3 如图，四个小三角形顶点处有6 个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6 个质数，它们的和是20。而且每个小三角形顶点圆圈的数之和相等，问这6 个质数的积是多少？【基础练习 】1试判断 507，619，667 是质数还是合数？2 （1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？（2）如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页精选资料欢迎下载3写出 50 以内 5 个连续自然数，要求每个数都是合数。4.A 是一个质数，且 A+4，A+6，A+10 都是质数，试求出满足要求的最小质数A。5把一个一位数的质数A，写在另一个两位质数B 的后面，得到一个三位数，这个三位数是 A 的 119 倍，求 A和 B。6把一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的质数对。7填出下面加法算式中的6 个质数。8 质9 + 质 6 质1 质 质 质【拓展提高 】1 （1）写出 5 个质数，按从大到小的顺序排列，每相邻两数差是12。（2）写出 7 个连续自然数，要求每个数都是合数。2判断数 6666667111111 是质数还是合数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页精选资料欢迎下载3判断数 11111211111 是质数还是合数。1998个 1 1998个 1 4.判断 200320032003是质数还是合数。5.a,b,c都是质数， c 是一位数，且 abc=1993，那么 abc 的和是多少？6一个长方体，它的正面和上面面积之和是299 平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？7有标号是 19 数字的 9 张卡片，甲、乙、丙三人每人拿了3 张卡片，甲的 3张卡片数的积是 48， 乙的 3 张卡片上数的和是15， 丙的 3 张卡片上数的积是63，问甲、乙、丙各拿了哪3 张卡片？8把 110 这 10 个数字围成一个圆圈，使每相邻两个数的和都是质数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页精选资料欢迎下载9有一个数，如果它的数字倒排以后，所得的数仍是这个数，这个数称为回数，如 1991 就是这样的年份，回数具有如下两个性质：（1）1991是一个回数；（2）1991 是一个两位质数回数和一个三位质数回数的积。在1000 年到 2000 年之间的 1000 年中，除了 1991 外，具有性质（ 1） （2）的年份有哪些？10 有四个相同的瓶子里分别装有不同重量的酒，每瓶与其他各瓶分别合称一次，重量分别是 8，9，10，11，12，13 千克。已知 4 只空瓶重量之和及酒的重量之和均是质数，最重的两瓶内共有多少酒？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页精选资料欢迎下载第三节分解质因数【专题简析 】 分解质因数常常运用在实际生活中， 在许多竞赛题中初看起来很难，但他都与乘积有关， 对于这类题目我们可以用分解质因数的方法来解答，因此掌握并灵活应用分解质因数的的知识能解答许多一般方法不能解答的问题。要注意的是在分解质因数的过程中“2”是很特别的，他是质数中唯一一个偶数，而且还经常结合数的奇偶性来考。注意特例（1001=71113）【例题精讲 】例 1. 将 12 个苹果平均分成若干份，共有多少种分法？练习 1. 有 60 个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6 人，不多于 15 人，那么共有多少种分法？例 2. 五个连续自然数的乘积是15120.那么这五个自然数的和是多少？练习. 有 4 个小孩，恰好一个比一个大一岁，4 人的年龄积是 3024，问这 4 个孩子中最大的有多少岁？例 3. 在下面的算式里，里的数字各不相同，求这四个数字的和。 =1995 练习 3. 下面四张小纸片各盖上了一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请完整下面的算式。=5760 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页精选资料欢迎下载例 4. 一个两位数除 310 余 37，这个数可以是多少？练习 4. 237除以一个两位数，所得的余数是 6， 满足这个条件的两位数有哪些？例 5. （质数与合数）两个质数的和是39，求这两个质数的积。练习 5. 两个质数的和是 99，求这两个数的积。例 6. 有 4 个人他们都属虎， 年龄之积是 27664，求这 4 个人的年龄分别是多少？练习 6. 有 6 个人，他们都属龙，年龄之积是17597125，那么他们的年龄之和是多少？例 7. 十个非零且不相等的自然数的和是2002，那么这十个非零自然数的公约数最大是多少？例 8. 一个正整数能分成3 个不同质数的积， 如果这 3 个质数的平方和是 150，求这个正整数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页精选资料欢迎下载练习 8： 一个正整数能分成 3 个不同质数的积，如果这 3 个质数的平方和是 1710，求这个正整数？例 9. 有三个数字能组成6 个不同的三位数，这6 个数的和是 2886，求这 6 个三位数中最小的一个是多少？练习 9：有 3 个数字能组成 6 个不同的 3 位数，这 6 个数的和是 1776，求这 6个三位数中最小的一个是多少？【综合练习 】1、甲数比乙数大 9，两个数的积是792，求甲乙两数分别是多少？2、四个连续奇数的积是19305，求这四个奇数的和。3、在下面算式框内各填上一个数字，使算式成立。 =1995 4. 5100 除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页精选资料欢迎下载5. 三个质数的和是 80，求这三个质数的积。6. 已知三个质数的平方和是7950，求这三个质数的积。7. 已知两个数的和是 60，最小公倍数是 273，求此两数分别是多少？8. 今有三个质数，他们的平方和是7950，求这三个质数的积。9.有四个数字能组成6 个不同的四位数，这6 个数的和是 39996，求这 6 个三位数中最小的一个是多少10.主人对客人说：“院子里有三个小孩， 他们的年龄之积等于72，年龄之和恰恰是我家的楼号， 楼号你是知道的， 你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说： “我还不能确定答案！ ”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子，说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了！ ”请问，主人家的楼号是多少？三个孩子的年龄分别是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页精选资料欢迎下载第四节余数问题【专题简析】在整数除法中， 当不能整除时， 就产生余数。 ab=cd(0db) 是带余除法的基本形式。如果两个自然数 a,b同除以自然数 m，所得余数相同，称作a与 b 对于模 m同余，记作 ab （mod m） 。如 17 与 32 被 5 除，余数都是 2，即 1732 （mod 5） 。【例题精讲 】例 1 被除数、除数、商与余数之和是1100，已知余数是9，商是 18，求被除数和除数。例 2 写出除 109 后余 4 的全部两位数。例 3 有一个不等于 1 的整数，它除 967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？例 4 在 1 与 3000 之间同时被 3，5，7 除都余 2 的数有多少个？例 5 自然数 16510，14893和 14167 除以 m 的余数相同，求 m 的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页精选资料欢迎下载【基础练习 】1用一个两位数除961，余数为 36，求这个两位数。2 719 除以一个两位数，余数4，问这样的两位数有多少个？3两个数相除，商为 8，余数为 16，被除数、除数与商的和是555，除数是几？4. 求 11111 被 13 除的余数。 2001个 1 5. 求 257936733251303255853 除以 11 的余数。6. 自然数 a （a1）除 124，200，352 后得到相同的余数， 这个自然数最大是几？7.在 11000之间同时被 2，3，7 除都余 1 的数有多少个？8.自然数 a除以 4 余 1，自然数 b 除以 4 余 2，那么 a+b的和除以 4 余几？【拓展提高 】1用 47 去除某数余 13，被除数与商之和为8605，求被除数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页精选资料欢迎下载2小红在计算一道除法题时，把被除数211错写成 121，结果商少了 10，而余数相同，求该除法题中的除数。31363除以一个数，商59，且除数比余数大17，求除数和余数。4有一个整数分别去除721，271，127，都有余数，三个余数之和是44，求这个数。5一个十几岁的女孩，把母亲的年龄写在自己年龄之前组成一个四位数，在这个数上加上母女两人岁数之和是3658，问女孩和母亲各多少岁？6.写出 5 个大于零的不同自然数，使其中任意三个自然数的和能被3 整除，这 5个自然数的和最小是多少？7. 437437 43740 除以 23 的余数是多少？1994个 437 8.把 310 粒糖果分给五（ 1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下 37 粒且不够继续分，那么全班有多少人？9求 323264648888被 4 除的余数。10分数139化成小数后，小数点后面第8888 位上的数字是几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页精选资料欢迎下载11.今天是星期天，再过19591999天是星期几？12求 1151278803320除以 11 的余数。13用弃九法检验下面运算是事正确。（1）1256789345=1122798645 （2）3684667=2457228 14.计算 13332133331333 13331333被 7 除的余数。15 如果一个 101位数 3333N5555，这个数能被 7 整除，那么 N 等于多少？50 个 3 50 个 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页精选资料欢迎下载第五节数论常见考题分析【常考题型 1：奇偶性及应用】模拟题 1：有一本 500页的书，从中任意撕下20 张纸，这 20 张纸上的所有面码之和能否是 1999？模拟题 2： 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上 1000等于 1999如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由模拟题 3：桌子上有 11 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6 个，问能否经过若干次翻动，使得11 个杯子的开口全都向下？模拟题 4：甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13 次比赛结果甲是第几名？【常考题型 2：整数的整除】模拟题 1：已知自然数 A 的各个数位上的数码之和与3 A的各个数位上的数码之和相等，证明 A 必能被 9 整除。模拟题 2：两个四位数 A275和 275B的乘积能被 72整除，求 A和 B。模拟题 3： a是一个三位数。它的百位数字是4， a+9 能被 7 整除， a-7 能被 9整除，那么 a是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页精选资料欢迎下载模拟题 4： 要使六位数156ABC能被 36 整除， 而且所得的商最小，那么 A=_ ，B=_C=_ 【常考题型 3：质数、合数与分解质因数】模拟题 1：一个 5 位数，它的各位数字和为43，且能被 11 整除，求所有满足条件的 5 位数？模拟题2： 将 4 个不同的数字排在一起，可以组成24 个不同的四位数（4 3 2 1=24） 。将这 24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5 的倍数；按从大到小排列的话， 第二个是不能被 4 整除的偶数； 按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这 24 个四位数中最大的一个。（7543）模拟题 3：已知=，其中、分别表示不同的数字，那么四位数是多少？（7132）模拟题 4：A、B 两数都只含有质因数3 和 2，它们的最大公约数是36已知 A有 12 个约数， B有 8 个约数，那么 A+B=_.【常考题型 4：约数与倍数 】模拟题 1：在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10 等份，第二种刻度线把木棍分成12 等份，第三种刻度线把木棍分成15 等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？模拟题 2：已知 3724 是 891 的倍数，其中、各代表一个不同的数字，那么三位数代表的是多少？模拟题 3：甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少 ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页精选资料欢迎下载模拟题 4：李老师带领一班学生去种树, 学生恰好被平均分成四个小组, 总共种树667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多, 那么这个班共有学生 _人. 【常考题型 5：余数问题】模拟题 1：有一个自然数，用它分别去除63，90，130 都有余数， 3 个余数的和是 25. 这 3 个余数中最大的一个是多少？模拟题 2：一个自然数在 1000 和 1200 之间，且被 3 除余 1，被 5 除余 2，被 7除余 3，求符合条件的数。模拟题 3：一个大于 1 的自然数去除 300，243，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是 _模拟题 4：一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少【常考题型 6：位值原理 】模拟题 1：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。模拟题 2：一个三位数， 它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4 倍于 25之差，求这个数模拟题 3：a，b，c 分别是 09 中不同的数码，用a，b，c 共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页精选资料欢迎下载模拟题 4：有一个三位数， 如果把数码 6 加写在它的前面， 则可得到一个四位数，如果把 6 加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。【常考题型 7：完全平方数】模拟题 1：一个自然数减去 45 及加上 44 都仍是完全平方数，求此数。模拟题 2：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方模拟题 3：求证： 11,111,1111, 这串数中没有完全平方数模拟题 4：甲、乙两人合养了 n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【综合练习 】1、小明爷爷钓鱼回来，小明问： “爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100 次，可是有 17 次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页精选资料欢迎下载2、 有 12 张卡片， 其中有三张上面写着1， 三张写着 3， 三张写着 5， 三张写着 7 问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？3、有些四位数是7 的倍数，且将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被 3 整除，后面的数能被5 整除，那么所有这样的数中最小的一个是多少？4、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和 b ，将它连续重复写99 次成为：abababab5个99555。如果此数能被 91 整除，那么这个三位数ab5是多少？5、 从左向右编号为 1 至 1991号的 1991名同学排成一行从左向右 1 至 11报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1 至 11报数，报数为11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至 1l 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号？6、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数的乘积等于55872，那么，这两个三位数的和为多少？7、从 1 到 300 中所有能被 3 整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个0？8、各位数码是 0、1 或 2，且能被 225整除的最小自然数是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页精选资料欢迎下载9、从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？10、一个数乘 2 是 4 的倍数，乘 3 是 9 的倍数，乘 4 是 16 的倍数，乘 5 是 25的倍数，乘 6 是 36 的倍数，乘 7 是 49 的倍数，乘 8 是 64 的倍数，乘 9 是 81的倍数 . 这个数最小是多少？11、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。 ”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？12、大雪后的一天， 小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同， 小明每步长 54厘米，爸爸每步长 72 厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60 个脚印。求圆形花圃的周长。13、有一个三位数， 把它的个位数移到百位上， 百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数， 原三位数的 2 倍恰好比新三位数大1， 求原来的三位数。14、某个五位数与 20 万的和的 3 倍，与这个五位数的右端添加一个数字2 所得的数相等，这个五位数是多少？15、爷爷和孙子两人从同一地点反向绕一条环形公路跑步，第一相遇后， 爷爷又跑了 8 分钟回到原地， 已知孙子跑一圈要6 分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数， 爷爷跑一圈要多少分钟？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页精选资料欢迎下载16、六年级五个班共植树100 棵，每个班植树棵数都不同且按由多到少的顺序排列为：一、二、三、四、五班。一班植树棵数刚好等于二、三班植树棵数和，二班植树棵数刚好等于四、五班植树棵数和，三班最多植树多少棵？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页