弹塑性力学第十章弹塑性力学第十章第十章第十章 弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理 弹弹性性力力学学的的解解法法之之一一为为弹弹性性力力学学边边值值问问题求解体系题求解体系静力法。静力法。 在在前前面面各各章章中中就就围围绕绕平平面面问问题题、扭扭转转问问题题和和空空间间轴轴对对称称问问题题进进行行了了具具体体分分析析和和研研究。究。7/20/20242各向同性线性材料的应力应变关系各向同性线性材料的应力应变关系10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语将几何关系引入上式将几何关系引入上式 U=U( ui ) 应变能是位移的函数应变能是位移的函数 7/20/20249 代入U Uc c表达式各向同性线性材料的应力应变关系各向同性线性材料的应力应变关系10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语7/20/20241010-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语应变能、应变余能的计算举例应变能、应变余能的计算举例xolP图示等截面杆，承受轴图示等截面杆，承受轴向荷载向荷载P 作用。杆截作用。杆截面面积为面面积为A,材料应力材料应力应变关系分别为应变关系分别为（1） =E ，(2) =E 1/2.试计算外力功试计算外力功T 、应变应变能能U 和应变余能和应变余能Uc。解：解：（1） =E 7/20/20241110-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语xolP T = U =Uc= P l/2 l= Pl/(EA) P = N = lEA/l, U = l 2EA/(2l), Uc = P 2 l/(2EA),（2） =E 1/2T = U =7/20/20241210-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语xolP T=U7/20/20241310-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语xolPUc =P l U =P l -U7/20/20241410-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语作作业业：图图示示结结构构各各杆杆等等截截面面杆杆，截截面面面面积积为为A,结结点点C承承受受荷荷载载P作作用用,材材料料应应力力 应应 变变 关关 系系 分分 别别 为为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试试计计算算结结构构的的应变能应变能U 和应变余能和应变余能Uc。lPCBAx ylC7/20/2024151.21.2可能位移可能位移 ui(k) 和可能应变和可能应变 ij(k)：可能应变可能应变 ij(k)：由：由ui(k)通过几何方程导出的通过几何方程导出的 可能位移可能位移ui(k)：在：在V内连续且可微，在内连续且可微，在 su上上满足满足：10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语7/20/2024161.31.3可能应力可能应力 ij(k)： ij,j(k)+fi =0(a)在在s s 上满足上满足(b)满足式满足式(a)、（、（b)满足静力方程满足静力方程可能应力可能应力 ij(k)：在V内满足内满足 10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语7/20/202417 两两种种可可能能位位移移ui(k1)和和ui(k2)之之差差称称为为虚虚位位移移 ui，而而由由两两种种可可能能位位移移状状态态对对应应的的可可能能应应变变 ij(k1) 、 ij(k2)之差之差称为虚称为虚应变应变ij 。1.41.4虚位移虚位移 ui和虚应变和虚应变 ij ： ui =0 在在su上齐次位移边界条件。上齐次位移边界条件。ij =( ui,j + uj,i )/2 在在V V内内10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语7/20/2024181.5 1.5 虚应力虚应力 ij ：在在s 上上:njij = 0；ij = ij(k1 )- ij(k2 ) 10-1 几个基本概念和术语几个基本概念和术语在在V内：内：ij,j = 0满足齐次静力方程。满足齐次静力方程。7/20/20241910-2虚功方程虚功方程2.12.1虚功方程虚功方程Su S 在给定体力、面力和约束情在给定体力、面力和约束情况下，况下，如果找到两种状态如果找到两种状态:第一种状态：第一种状态： 在给定的体力在给定的体力 f fi i和面力和面力 ，已知（找到），已知（找到）可能应力状态可能应力状态 ij(k1)在在V V内：内： ij(k1)+fi =0 ; ; 在在s =s : : 7/20/202420第二种状态：第二种状态： 弹性体处于可能变形状态弹性体处于可能变形状态 ui(k2) 、 ij(k2) 则第一种状态外力在第二种状态可能位移作则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。种状态可能应变上作的虚变形功。 虚功原理虚功原理10-2虚功方程虚功方程在在s =su: : 7/20/2024212.22.2虚功方程的证明：虚功方程的证明：10-2虚功方程虚功方程7/20/20242210-2虚功方程虚功方程7/20/202423代入虚功方程左端，得代入虚功方程左端，得并注意并注意 虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。质虚功方程成立。 则则 We=Wi 10-2虚功方程虚功方程7/20/202424虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。设可能状态（虚设状态）。qP=110-2虚功方程虚功方程7/20/20242510-3功的互等定理功的互等定理将虚功方程用于线弹性体可导出功的互将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。等定理。同一弹性体处于两种真实状态。第一种状态：第一种状态： 满足所有方程。满足所有方程。 第二种状态：第二种状态： 满足所有方程。满足所有方程。7/20/20242610-3功的互等定理功的互等定理根据虚功方程根据虚功方程第第一一种种状状态态的的外外力力在在第第二二种种状状态态的的相相应弹性位移上做功应弹性位移上做功第第二二种种状状态态外外力力在在第第一一种种状状态态的的相相应应弹弹性性位位移上做功移上做功7/20/20242710-3功的互等定理功的互等定理对于线弹性体本构关系对于线弹性体本构关系W12=W217/20/20242810-3功的互等定理功的互等定理功的互等定理优点：功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。变形的角度来处理问题。PPb第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。位移上所做的功。第第一一状状态态：一一对对力力P P 作作用用在在直直杆杆的的垂垂直直方方向向，局局部部效效应应，在杆两端点伸长在杆两端点伸长 ？7/20/20242910-3功的互等定理功的互等定理第二状态第二状态：让一对力：让一对力Q Q 作用同一杆两端点，很作用同一杆两端点，很易求得一对力易求得一对力Q引起杆横向缩短引起杆横向缩短 。对两种状态应用功的互等定理对两种状态应用功的互等定理 P = Q Q第二状态引起的第二状态引起的 易求易求: :QQx7/20/20243010-3功的互等定理功的互等定理QQx7/20/202431 10-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理4.14.1虚位移原理虚位移原理 运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，的状态， ij、fi、 、;而第二状态为可能变而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分形状态，为真实状态位移的变分: ui =0 在在su 上上 ui 、 ij =( ui,j + uj,i )/2 在在V V 内内虚设状态虚设状态7/20/20243210-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功设的齐次可能位移上做功弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功虚位移方程。虚位移方程。7/20/20243310-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理代入原虚位移方程代入原虚位移方程将虚位移方程重新改写将虚位移方程重新改写7/20/20243410-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理代入原虚位移方程代入原虚位移方程虚虚位位移移方方程程为为平平衡衡方方程程和和力力的的边边界界条条件的积分形式。件的积分形式。虚位移原理举例虚位移原理举例7/20/20243510-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理虚位移原理举例虚位移原理举例图图示示受受均均布布荷荷载载q作作用用的的等等跨跨连连续续梁梁，EI为为常常数数，中中间间支支座座为为弹弹性性支支座座。试试用用虚虚位位移移原原理理写写出出梁梁的的挠挠曲曲线线方程和边界条件。方程和边界条件。lACBqlx z解解：图图示示连连续续梁梁在在荷荷载载作作用用下下，产产生生挠挠曲曲线线w(x)、内力内力和和支座反力。支座反力。设设连续梁有虚位移连续梁有虚位移 w，C点虚位移点虚位移 wC。7/20/20243610-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z虚位移方程虚位移方程利用对称性利用对称性利用对称性利用对称性在计算薄在计算薄梁的内梁的内力虚功时，只考虑梁力虚功时，只考虑梁的正应力的正应力 x 作的虚功。作的虚功。7/20/20243710-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z7/20/20243810-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z分部积分，得再积分，得7/20/20243910-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z虚位移方程为虚位移方程为7/20/20244010-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z得平衡微分方程和力的平衡微分方程和力的边界条件（由虚位移边界条件（由虚位移方程得到）方程得到）7/20/20244110-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lACBqlx z得平衡微分方程和力的平衡微分方程和力的边界条件（由虚位移边界条件（由虚位移方程得到）方程得到）而事先要求满事先要求满足的位移边足的位移边界条件界条件7/20/20244210-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理4.24.2最小势能原理最小势能原理 1 1弹性体的总势能弹性体的总势能 (k)=U (k)(ui(k)+V (k)(ui (k)= (k)(ui(k)7/20/20244310-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理 (k)=U (k)(ui(k)+V (k)(ui (k)= (k)(ui(k)（1 1） 和和 给定给定; ;（2 2）已将几何关系引入）已将几何关系引入 ij =(ui,j +uj,i )/2 ;（3 3）ui(k)为可能位移：为可能位移： 在在su上上 ; ; 7/20/20244410-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理2 2由由 (k)(k) 中寻求真实位移中寻求真实位移 ui(k)为为可可能能位位移移, ,有有无无穷穷多多。因因此此，与与其对应的势能其对应的势能 (k)也有无穷多。也有无穷多。要从要从 (k) 中找真实位移：中找真实位移： （1）=0（2 2）引入本构关系）引入本构关系 真实位移应满足的方程。真实位移应满足的方程。7/20/20244510-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理取取 =0 , ,得得 引入本构关系引入本构关系 虚位移方程虚位移方程7/20/20244610-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理或或 ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。为可能位移，同时满足本构方程。而而=0=0，表明由，表明由ui(k)导出导出 ij(k)满足静力满足静力方程，所以由方程，所以由=0=0 即为真解应满足的即为真解应满足的控制方程。控制方程。 7/20/20244710-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理最小势能原理的表述最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能使势能 为驻值（极值）。为驻值（极值）。如果可能位移使如果可能位移使 的变分的变分=0，则该，则该位移相应应力必满足静力方程。位移相应应力必满足静力方程。=0等价等价与静力方程。与静力方程。7/20/20244810-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理作业：图示梁受荷载作用，试利用最小势能作业：图示梁受荷载作用，试利用最小势能原理导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。原理导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。 y qEI x l M7/20/20244910-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理最小势能原理举例最小势能原理举例（1）已已知知图图示示桁桁架架各各杆杆EA相相同同，材材料料的的弹弹性性关关系系为为 = E ，试试用用势势能原理求各杆内力。能原理求各杆内力。lPCBAx ylC解：解：计算图示桁架的总势能计算图示桁架的总势能 =U +V = ( uc、vc )应变能应变能应变能应变能 7/20/20245010-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lPCBAx ylC则，应变能为则，应变能为 7/20/20245110-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lPCBAx ylC荷载势能为荷载势能为 =U +V =由总势能由总势能 的变分的变分 = 0，得，得7/20/20245210-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lPCBAx ylC解得解得7/20/20245310-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理lPCBAx ylC各杆内力为各杆内力为各杆内力为各杆内力为 7/20/20245410-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理(2)已已知知图图示示a b 薄薄板板（厚厚度度t =1）无无体体积积力力作作用用，试试用用最最小小势势能能原原理理求求位移。位移。xq2yq1ab解解：图图示示薄薄板板受受双双向向压压缩缩作作用用，可可猜猜应应力力和和应应变变为为常量。常量。所以，位移为所以，位移为x,y的线性式的线性式. .采用最小势能原理求位移采用最小势能原理求位移7/20/20245510-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理xq2yq1ab位移边界条件位移边界条件 x =0: u=0, y=0: v=0考虑位移边界条件考虑位移边界条件考虑位移边界条件考虑位移边界条件取位移：取位移： u =A1x, v =B1y薄板薄板的总势能的总势能 = U +V 7/20/20245610-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理xq2yq1ab平面应力问题：平面应力问题：代入应变能表达式，得代入应变能表达式，得7/20/20245710-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理 u =A1x, v =B1y代入上式，得代入上式，得7/20/20245810-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理荷载势能荷载势能V 为为xq2yq1ab =7/20/20245910-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理由总势能由总势能 的变分的变分 = 0，得，得解得解得7/20/20246010-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理和最小势能原理代回代回u = A1 x , v=B1 y，得，得求得应力为求得应力为 x = -q1 , y = -q2 , xy = 07/20/202461 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理5.1 5.1 虚应力原理虚应力原理1 1虚应力方程虚应力方程运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和和 ij 、fi、 、第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）力的变分）ij；满足：满足： ij,j = 0 在在 V V内内 njij = 0 在在s s 上上（在（在s 上无面力）上无面力） 7/20/202462 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理ij在在 su上产生上产生 Xi（在（在su上有反力）上有反力） Su S Xi 根据虚功方程根据虚功方程 2 2虚应力方程表达虚应力方程表达 弹性体的应变与位移处于相容状态，对于弹性体的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的齐次容许应力任意虚设的齐次容许应力ijij及位移边界上的及位移边界上的虚反力虚反力 X Xi i，虚应力在应变上做的虚功等于虚，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移反力在给定位移 上做的虚功。上做的虚功。7/20/202463 Rc RB RA 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理3 3虚应力原理举例虚应力原理举例图图示示受受均均布布荷荷载载q作作用用的的等等跨跨连连续续梁梁，EI为为常常数数。试试用用虚虚应应力力原原理理求求梁梁的的反反力力和弯矩。和弯矩。lABCqlx z解解：连连续续梁梁在在荷荷载载q作作用用下下，产产生生挠挠曲曲线线、内内力力和和支座反力。支座反力。根据平衡关系，知根据平衡关系，知7/20/202464 RA RB RC Rc RB RA 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理梁的弯矩为梁的弯矩为设设连续梁有虚反力和虚连续梁有虚反力和虚弯矩弯矩：lABCqlx z应用虚应力方程应用虚应力方程lCAlx zB7/20/202465 RA RB RC Rc RB RA 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理lABCqlx zlCAlx zB在在 su 上无位移上无位移7/20/202466 Rc RB RA 10-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理lABCqlx z得得解得解得7/20/20246710-5 10-5 虚应力原理和最小余能原虚应力原理和最小余能原理理5.25.2最小余能原理最小余能原理已知变形体在体力已知变形体在体力 fi、面力、面力 作用及在位作用及在位移边界上有给定位移移边界上有给定位移。定义：定义：由可能应力状态由可能应力状态 ij(k)表示表示 c(k)=U c( ij(k)+V c(Xi (k)= c(k)( ij(k) 变形的总余能变形的总余能1 1 变变 形形 体体 的的 总总 余余 能能 c c( (k k) )7/20/20246810-5 10-5 虚应力原理和最小余能原虚应力原理和最小余能原理理 c(k)=U c( ij(k)+V c(Xi (k)= c(k)( ij(k) 变形的总余能变形的总余能而而 Xi (k)=nj ij(k)在在su 上（位移边界上的反力）上（位移边界上的反力）应变余能应变余能位移边界的余能位移边界的余能 由由 ij(k)导出的在导出的在 su 边界上的反力边界上的反力7/20/20246910-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理结构总余能结构总余能 c(k)由可能应力由可能应力 ij(k) 定义。定义。 ij(k) 满足满足 在在V V 内：内： ij(k) + fi = 0在在 s =s : （1） c=02 2由由 ijij(k)(k)定义的总余能中找出真实应力定义的总余能中找出真实应力 ijij（2 2） 引入引入 关系式关系式逆弹性关系逆弹性关系7/20/20247010-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理 c=0，即，即虚应力方程虚应力方程7/20/20247110-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理由于由于ijij 满足自平衡的应力状态满足自平衡的应力状态: : ij,j = 0 在在 V V 内内, ,njij = 0 在在 s 上上c=0 为一个虚应力方程为一个虚应力方程, ,则则 ij(k)为为可能变形状态，可能变形状态，而而 ij(k)已满足静力方程，已满足静力方程， 由由 ij(k)导导出出的的 ij(k)、ui(k)满满足足几几何何方方程程及及位位移移边界条件。边界条件。7/20/20247210-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理因此，由因此，由c=0表明由表明由 ij(k)中找出真实应力中找出真实应力 ij。3 3最小余能原理表述：最小余能原理表述： 在在应应力力满满足足平平衡衡微微分分方方程程和和应应力力边边界界条条件件的的前前提提下下，如如果果由由应应力力导导出出的的相相应应应应变变还还满满足足相相容容条条件件，则则该该应应力力必必使使总总余余能能 c为为极极值；值；或或可可能能应应力力使使得得总总余余能能的的变变分分c=0,则则由该应力导出相应位移必满足相容条件。由该应力导出相应位移必满足相容条件。7/20/20247310-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理EIB x l qEI y lACRBRC最小余能原理举例最小余能原理举例两两跨跨连连续续梁梁受受均均布布荷荷载载 q作作用用的的弯弯曲曲问问题题，试试用用最最小小余余能能原原理求解。理求解。RA解解:（1 1）确定梁的可能应力状态）确定梁的可能应力状态：梁的弯曲问题可选取支座反力梁的弯曲问题可选取支座反力RB 为广义为广义可能应力可能应力梁的弯矩和其它梁的弯矩和其它支座反力可由支座反力可由RB 表示表示。7/20/20247410-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理EIB x l qEI y lACRBRCRA2确定结构的总余能确定结构的总余能 c(k)7/20/20247510-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理 c(k)=U c(R B )+V c(R B )3由余能的变分由余能的变分c=0 确定确定RB 7/20/20247610-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理即即积分，解得积分，解得7/20/20247710-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理代入代入可可得得梁梁的的最最后弯矩方程后弯矩方程7/20/20247810-5 10-5 虚应力原理和最小余能原理虚应力原理和最小余能原理作作业业：利利用用虚虚应应力力原原理理和和最最小小余余能能原原理理，求求梁梁的反力和弯矩。的反力和弯矩。 y qEI x l7/20/20247910-5 10-5 虚应力原理和最小余能原虚应力原理和最小余能原理理4真实状态总势能真实状态总势能 总余能总余能 c 关系：关系：虚功方程虚功方程所以真实状态所以真实状态 = - c对于真实状态的对于真实状态的7/20/20248010-6 基于能量原理的近似解法在前面几节介绍了几个最基本的能量原理，在前面几节介绍了几个最基本的能量原理，利利用用能能量量原原理理求求问问题题的的解解，从从理理论论上上看看是是明明确确的的步骤规范。如最小势能原理：（分两步）步骤规范。如最小势能原理：（分两步）1对对于于给给定定的的外外力力和和边边界界条条件件寻寻找找满满足足几几何何方方程程和和位位移移边边界界条条件件的的ui(k)函函数数序序列列，并并确确定定 (k)。2由由 =0寻寻求求真真解解ui ，即即由由ui(k)中中找找ui的的控控制制方方程程，但但由由于于问问题题求求解解域域复复杂杂性性及及约约束束的的变变化化，利利用用能能量量原原理理求求解解析析解解也也是是无无法法实实际际进进行行的的。但但可可由由能能量量原原理理可可以以建建立立寻寻求求问问题题近近似似解解的的有有效途径。效途径。7/20/20248110-6 基于能量原理的近似解法6.16.1基于虚位移原理的近似解法基于虚位移原理的近似解法虚位移原理可以用来求问题的近似解法。虚位移原理可以用来求问题的近似解法。在给定的体积力、边界力和边界位移情在给定的体积力、边界力和边界位移情况下，真实应力、应变和位移状态况下，真实应力、应变和位移状态（它们满（它们满足所有方程）足所有方程）对于任意虚位移和虚应变满足对于任意虚位移和虚应变满足虚位移方程。虚位移方程。虚位移原理近似解法的步骤虚位移原理近似解法的步骤7/20/20248210-6 基于能量原理的近似解法（1 1）选取可能位移（近似解），包含若选取可能位移（近似解），包含若干干待定系数；待定系数；（满足位移边界方程）（满足位移边界方程）（2 2）由可能位移求可能应变由可能位移求可能应变（满足几何方程）（满足几何方程）以及应力以及应力（应力一般不是可能应力）（应力一般不是可能应力），它们它们包含若干待定系数；包含若干待定系数；（3 3）设满足齐次边界条件的虚位移，并）设满足齐次边界条件的虚位移，并导出相应的虚应变导出相应的虚应变；7/20/20248310-6 基于能量原理的近似解法（4 4）将外力和）将外力和包含若干包含若干待定系数的应力待定系数的应力对对虚位移作功等于零虚位移作功等于零虚位移方程虚位移方程（应力近（应力近似满足静力方程）似满足静力方程） ；（5 5）由虚位移方程得到确定）由虚位移方程得到确定若干待定系数的若干待定系数的方程，并由方程解出待定系数，从而得位移方程，并由方程解出待定系数，从而得位移的近似解。的近似解。举一个应用虚位移原理求问题的近似解的例题举一个应用虚位移原理求问题的近似解的例题7/20/20248410-6 基于能量原理的近似解法图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q作作用用,材料应力材料应力应变关系分应变关系分别为别为 =E ，试确定梁挠试确定梁挠曲线的近似解曲线的近似解 。解：解：（1 1）设梁的）设梁的近似解为（包含若干待定系数）：近似解为（包含若干待定系数）： qEI y x lv =B1x(x-l) 满足边界条件满足边界条件7/20/20248510-6 基于能量原理的近似解法（2 2）由梁的）由梁的近似解求可能近似解求可能应变以及应力（应力一般不应变以及应力（应力一般不是可能应力）：是可能应力）：（3 3）设满足齐次边界条件的虚位移，并导出对）设满足齐次边界条件的虚位移，并导出对应的虚应变应的虚应变； qEI y x l v = B1x(x-l), =- v=-2 B17/20/20248610-6 基于能量原理的近似解法（4 4）应用虚位移方程：）应用虚位移方程：（5 5）由虚位移方程）由虚位移方程解出待定系数解出待定系数B B1 1，从而得位，从而得位移的近似解。移的近似解。 qEI y x l7/20/20248710-6 基于能量原理的近似解法得得材料力学的精确解材料力学的精确解7/20/20248810-6 基于能量原理的近似解法作业：利用虚位移原理的近似法求梁的弯矩。作业：利用虚位移原理的近似法求梁的弯矩。x yPEIl/2l/2P7/20/20248910-6 基于能量原理的近似解法u(k) =u0+ Amum , v(k) =v0+ Bmvm , w(k) =w0+ Cmwm ,1 1选选取取可可能能位位移移 ( (在在给给定定的的 条条件件下下选选可可能位移能位移) )式式中中u0 、um、v0、vm、w0、wm均均为为已已知知连连续续可微函数，可微函数，6.26.2基于最小势能原理的近似解法（基于最小势能原理的近似解法（Ritz 法法）7/20/20249010-6 基于能量原理的近似解法而而 um= 0 、vm= 0、wm = 0、 在在 Su 上上可能位移中的可能位移中的Am、Bm和和Cm为待定系数。为待定系数。在在 Su 上上且且u0 、v0、w0满足满足Su的位移边界条件的位移边界条件7/20/20249110-6 基于能量原理的近似解法2结构的总势能结构的总势能 (k)及其变分及其变分 (k)此时结构的总势能不是泛函了，而是此时结构的总势能不是泛函了，而是Am、Bm 、 Cm的函数。的函数。 (k) = (k)( Am、Bm、Cm) =U (Am、Bm、Cm)+V( Am、Bm、Cm） 7/20/20249210-6 基于能量原理的近似解法3.利用利用=0求解方程求解方程 = 0 由于由于Am、Bm 、 Cm的增量的增量 Am、 Bm、 Cm的任意性，则的任意性，则 = 07/20/20249310-6 基于能量原理的近似解法需要求需要求 对于线弹性体的应变对于线弹性体的应变能能U 为为待定系数的二待定系数的二次式，荷载势能次式，荷载势能V为为待定系数的一次式。待定系数的一次式。 7/20/20249410-6 基于能量原理的近似解法7/20/20249510-6 基于能量原理的近似解法各各向向同同性性线线弹弹性性体体有有关关Am、Bm和和Cm的的线性方程组线性方程组（3m个方程）个方程）7/20/20249610-6 基于能量原理的近似解法4 4Ritz 法在平面问题的应用法在平面问题的应用可能位移可能位移u(k) =u0+ Amum , v(k) =v0+ Bmvm u0 、v0满足满足Su的位移边界条件的位移边界条件, ,而而um= 0、vm= 0在在Su 上。上。平面应力和平面应变问题均不考虑位移分平面应力和平面应变问题均不考虑位移分量量w，而，而u、v为为x、y的函数，体积力分量的函数，体积力分量fz=0，面力分量面力分量7/20/20249710-6 基于能量原理的近似解法总势能总势能 的变分的变分 =0，得得总总势势能能 = （Am, Bm）7/20/20249810-6 基于能量原理的近似解法平面应力问题，取薄板厚度平面应力问题，取薄板厚度t=1。其应变能为其应变能为: :对于平面应变问题对于平面应变问题（取（取t=1）将上式中将上式中 替换替换可得可得平面应变问题平面应变问题应变能应变能U 的表达式的表达式。7/20/20249910-6 基于能量原理的近似解法Ritz 法在平面问题举例法在平面问题举例设设有有一一无无限限长长的的薄薄板板，上上下下两两端端固固定定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。仅受竖向重力作用。求其位移解答。xyb go7/20/202410010-6 基于能量原理的近似解法解：解：由于问题对由于问题对y 轴轴对称，所以推论：对称，所以推论：(1)(1)选择可能位选择可能位移：移：设：设：xyb go7/20/202410110-6 基于能量原理的近似解法满足上下两边的边界条件：满足上下两边的边界条件： =U +V 7/20/202410210-6 基于能量原理的近似解法(2)(2)计算应变能计算应变能 U ：（取（取 y 轴两侧各轴两侧各1/21/2单位长度计算单位长度计算）xyb go1/2 1/27/20/202410310-6 基于能量原理的近似解法(3)(3)由由 =0 变分方程确定系数变分方程确定系数 Bk ：经推导得：经推导得：即即7/20/202410410-6 基于能量原理的近似解法或：或：7/20/202410510-6 基于能量原理的近似解法得：得：这是这是k个独立方程，可求出个独立方程，可求出k个待定系数个待定系数 Bk。解得：解得：7/20/202410610-6 基于能量原理的近似解法(4) (4) 位移解答位移解答令令：处的竖向位移为：处的竖向位移为：7/20/202410710-6 基于能量原理的近似解法项项 数数 精确解精确解0.12900.12420.12530.1250123 值与级数项数的关系值与级数项数的关系作业：设位移的近似解为作业：设位移的近似解为u=0, v =B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位移解答。7/20/202410810-6 基于能量原理的近似解法最小势能原理最小势能原理 RitzRitz法法自变量自变量自变函数自变函数u、v、w由自变量由自变量Am、Bm 、Cm定义的定义的u、v、w自变量的自变量的约束条件约束条件几何方程和位移几何方程和位移边界条件边界条件几何方程和位移几何方程和位移边界条件边界条件总势能总势能 = （u、v、w） 泛函泛函 = （Am、Bm、Cm） 多元（多元（3m元）函数元）函数变分等于零变分等于零 =0 积分方程积分方程静力方程的积分形式静力方程的积分形式多元（线性）方程组多元（线性）方程组满足满足 =0的解的解解析解解析解近似解近似解最小势能原理与最小势能原理与Ritz 法的比较法的比较7/20/202410910-6 基于能量原理的近似解法在在最最小小势势能能原原理理中中，由由可可能能位位移移ui(k)定定义义的总势能的总势能 (k)，并由，并由 =0寻求真解寻求真解ui 。也可改写为静力方程的积分形式也可改写为静力方程的积分形式等价于静力方程。等价于静力方程。 6.3 6.3伽辽金法（伽辽金法（19151915年）年） 而而 =0本身表示为虚位移方程：本身表示为虚位移方程：7/20/202411010-6 基于能量原理的近似解法伽辽金法步骤：伽辽金法步骤：1设定满足强约束条件的可能位移设定满足强约束条件的可能位移ui(k)ui(k)需要满足的强约束条件：需要满足的强约束条件：在在Su上上由由u(k)、v(k)、w(k)导出的应力导出的应力 ij(k)在在S 上上：可能位移可能位移ui(k)满足给定满足给定和和条件，即条件，即满足所有边界条件满足所有边界条件强约束条件。强约束条件。7/20/202411110-6 基于能量原理的近似解法2由结构总势能由结构总势能 的变分等于零导出求解方程的变分等于零导出求解方程如果所设可能位移如果所设可能位移ui(k)的形式与的形式与Ritz法一样法一样 u(k) =u0+ Amum , v(k) =v0+ Bmvm , w(k) =w0+ Cmum但可能位移但可能位移ui(k)满足强约束条件。由满足强约束条件。由 =0得得这里这里 u= um Am , v= vm Bm , w= wm Cm7/20/202411210-6 基于能量原理的近似解法并注意并注意 Am、 Bm、 Cm的任意性以及的任意性以及 由由 可导出三组方程可导出三组方程3m个方程个方程7/20/202411310-6 基于最小势能原理上的近似解法3 3伽辽金法在平面问题例题伽辽金法在平面问题例题与与Ritz 法法类类似似，不不考考虑虑w,而而u、v为为x、y函函数数。伽辽金法在平面问题的求解方程为伽辽金法在平面问题的求解方程为2m个。个。对于平面应力问题为对于平面应力问题为7/20/202411410-6 基于能量原理的近似解法对于平面应变问题将上式中对于平面应变问题将上式中例例. .已知：已知：2a b薄板（厚度薄板（厚度t=1），无体力作用。边界），无体力作用。边界条件条件:在在x = a和和y = 0：u= 0, v = 0;在在y = b：u = 0, 全部边界为位移边界条件，全部边界为位移边界条件，无力的边界条件。无力的边界条件。 x yaabb7/20/202411510-6 基于能量原理的近似解法x yaabb解：不管采用解：不管采用RitzRitz法或法或伽辽金法，选取的近似伽辽金法，选取的近似位移场首先要为可能位位移场首先要为可能位移：移： u(k) =u0+ Amum , v(k) =v0+ Bmvm , 当取当取m= 1时时，u =u0+ A1u1 , v =v0+ B1v1,7/20/202411610-6 基于能量原理的近似解法根据边界条件根据边界条件,可选可选u0= 0，而而u1 和和v1 在所有边界上为零。在所有边界上为零。取取 则则7/20/202411710-6 基于能量原理的近似解法由由于于全全部部边边界界均均为为位位移移边边界界，可可能能位位移移无无需需要要求其它约束条件。可利用伽辽金法求求其它约束条件。可利用伽辽金法求A1、B1。由于体力为零，则用伽辽金法的求解方程由于体力为零，则用伽辽金法的求解方程（2个）：个）：求出求出A1 和和B17/20/202411810-6 基于能量原理的近似解法， A1 和和B1 求出后可求应力的近似解。求出后可求应力的近似解。7/20/202411910-6 基于能量原理的近似解法作业：作业：1.试写出试写出伽辽金法在梁弯曲问题的伽辽金法在梁弯曲问题的求求解方程。解方程。2.利用利用伽辽金法求伽辽金法求图示简支梁的近似解，图示简支梁的近似解，设梁挠度的近似解为设梁挠度的近似解为v=B1 sin x/l 。 qEI y x l7/20/2024120 10- 6 基于能量原理的近似法6.4 6.4 基于最小余能原理的近似解法基于最小余能原理的近似解法 c(k)=U c( ij(k)+V c(Xi (k)= c(k)( ij(k)变形的总余能变形的总余能且且Xi (k)=nj ij(k)在在su 上（位移边界上的反力）上（位移边界上的反力）由由可可能能应应力力 ij(k)定定义义的的总总余余能能中中找找出出真真实实应力应力 ij,即要求即要求c=0由可能应力由可能应力 ij(k)定义的余能定义的余能7/20/2024121 10- 6 基于能量原理的近似法最小余能原理的近似法步骤与最小势能最小余能原理的近似法步骤与最小势能原理的原理的Ritz 法类似。法类似。最小余能原理的近似法步骤：最小余能原理的近似法步骤：1选取可能应力选取可能应力 ij(k)为自变函数：为自变函数： ij(k) = ij0 + A ijm ijm 其中其中 ij0和和 ijm为已知函数且在域内分别为已知函数且在域内分别满足平衡微分方程和齐次平衡微分方程。满足平衡微分方程和齐次平衡微分方程。7/20/2024122 10- 6 基于能量原理的近似法 ij0 在在s 上满足力的边界条件。上满足力的边界条件。 ijm 在在s 上满足力的齐次边界条件。上满足力的齐次边界条件。而而A ijm 为待定系数（共为待定系数（共6m个）。个）。2确定结构的总余能确定结构的总余能 c(k) c(k)=U c(A ijm )+V c(A ijm )= c(k)(A ijm )总余能为多元函数总余能为多元函数 ij(k) = ij0 + A ijm ijm 7/20/2024123 10- 6 基于能量原理的近似法3由由余余能能的的变变分分c=0 导导出出近近似似法法的的求求解解Aijm 方程方程由于由于 A ijm任意性任意性,得得（共（共 6m 个方程）个方程） 求解方程。这求解方程。这6m个求解方程为线性方程组，个求解方程为线性方程组，可解出可解出6m个待定系数个待定系数Aijm。7/20/2024124题题10-1图图示示结结构构各各杆杆等等截截面面杆杆，截截面面面面积积为为A,结结点点C承承受受荷荷载载P作作用用,材材料料应应力力应应变变关关系系分分别别为为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试试计计算算结结构构的的应应变变能能U 和和应应变变余能余能Uc。能量法习题lPCBAx ylC7/20/2024125题题10-2分别利用虚位移原理、最小势能分别利用虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理求解图原理、虚应力原理和最小余能原理求解图示桁架的内力。已知桁架各杆示桁架的内力。已知桁架各杆EA 相同，相同，材料的弹性关系为材料的弹性关系为 = E 。lPCBAx ylD7/20/2024126题题10-4利利用用最最小小余余能能原原理理求求左左图图示示梁梁的的弯弯矩。矩。题题10-3左图示梁受荷左图示梁受荷载作用，试利用虚位移载作用，试利用虚位移原理原理或最小势能原理或最小势能原理导出梁的平衡微分方程导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。和力的边界条件。 y qEI x l M y qEI x l7/20/2024127（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。（2 2）简简支支梁梁受受均均布布荷载荷载 q 作用作用, ,设：设：v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。题题10-5利用虚位移原理的近似法或利用虚位移原理的近似法或Ritz 法求解图示梁的挠曲线。法求解图示梁的挠曲线。x yPEIl/2l/2P qEI y x l7/20/2024128设设位位移移的的近近似似解解为为u=0, v =B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位移解答。题题10-6设有一无限长的薄板，上下两端设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。固定，仅受竖向重力作用。利用利用Ritz 法法求其位移解答。求其位移解答。xyb go7/20/2024129题题10-71.1.试写出伽辽金法在梁弯曲问题的试写出伽辽金法在梁弯曲问题的求解方程。求解方程。 2. 2. 利用伽辽金法求图示简支梁的近利用伽辽金法求图示简支梁的近似解，设梁挠度的近似解为似解，设梁挠度的近似解为v=B1 sin（ x/l） 。 qEI y x l7/20/2024130结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！131