学习好资料欢迎下载课题任意角三角比及诱导公式课型复习课课时4 教学目标知识目标： 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力能力目标： 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式，并能初步应用它们解决一些问题情感态度与价值观：通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平A(保底 ) B（标准）C(培优 ) 掌握任意角的三角函数的定义，会求角的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式，把三角函数理解为以实数为自变量的函数，以及单位圆的应用。教材分析教学重点理解任意角的三角函数的定义教学难点会求任意角的三角函数值教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式，这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备。学情分析在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：六个比值的大小都与点 P 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式，可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力考点分析从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。教学设计教学内容设计意图可能出现的问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习好资料欢迎下载题与对策教学过程【知识网络】正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在y轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr7、 弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.38、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y，它与 原 点 的 距 离 是220r rxy， 则sinyr，cosxr，tan0yxx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数这节课，我们研究当 是一个任意角时的三角函数的定义1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如对于定义，思考如下问题：1. 当角 确定后，比值与 P点的位置有关吗？为什么？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角 的正弦、余弦、正切都有意义吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习好资料欢迎下载PxyAOMT11、三角函数线 （如图）：sin，cos，tan12、同角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan13、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2【典型例题】(1)设(,)63，且17的终边与角的终边相同，则tan等于（）A 21B 2C 21D 1 (1)提示: 与角终边相同的角的集合是2,kkZ(2)如果是第一象限角， 那么恒有（）A sin02B tan12C sincos22D sincos22(2)提示:利用三角函数线(3) .若tan3，则sin3cos5cos2sin4的值等于()（A）75（ B）95（C）71（D）57(3)提示 :用公式sintancos(4)已知扇形的半径为10 ，圆心角为 120，则扇形的弧长为；面积为203 , 10032 sina，不论 取任何实数，恒有意义，所以 sina 的定义域为 R 类似地，研究 cosa，tana， cota 的定义域2. 根据三角函数的定义以及x，y，r 在不同象限内的符号，研究sina， cosa，tana， cota 的值在各个象限的符号为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习好资料欢迎下载(4)提示 :利用弧长公式lr及扇形面积公式12Slr,注意圆心角的单位化为弧度(5)已知004sin(540),cos(270 )5则(5)45提示：利用诱导公式例 2若tan2，求（ 1）sincoscossin的值；（2）222sinsincoscos的值解（ 1）cossin1tan1232 2cossin1tan12（2）原式2222222sinsincoscos2tantan1sincostan14215233例 3若1sincos,cossin842求的值解：222(cossin)cossin2sincos13144,cossin4 23cossin2例 4已知sin()cos(2) tan(3 )2( )tan()sin()2f（1）化简()f；（2）若是第三象限的角，且31cos()25，求( )f的值；（3）若01860，求()f的值解： （1）coscos(tan)()costancosf（2）3cos()sin21sin,5又是第三象限的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习好资料欢迎下载21221sin16,()62555fcos=-（3）0001860636030000()( 1860 )cos( 1860 )ff0001cos( 6360300 )cos602【课内练习】134sin,cos,255若则角的终边在（）A第一象限B第二象限第三象限第四象限1提示；由24sin22sincos0,25227cos2cossin0252已知sin1,cos43kk，且是第二象限角，则k应满足的条件是 ( ) A43k1k85k1k2提示：由22sin0,cos0sincos1及可得3已知1sin1cos,cos2sin1xxxx那么的值是（）A12B123提示：221sinsin1sin11coscoscosxxxxxx4设是第三象限角，且coscos,222则是（）A第一象限B第二象限第三象限第四象限4提示：由设是第三象限角知2是第二、四象限角，再由cos02可得5函数( )f x满足14(cos )(0),(sin)23fxxxf则5512提示：455sinsin()cos32666若角和的终边关于直线0xy对称，且3，则角的集合是；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习好资料欢迎下载62,6kkZ提示：由对称性知，角的终边与6的终边相同7已知211tan,32sincoscos则7103提示：将分子写成221sincos然后用弦化切可得8已知角的终边经过点P2(3,)(0),sin4mmm且，试判断角所在的象限，并求costan和的值解：由题意，得2223,0,543mrmmmm故角是第二或第三象限角当5m时,2 2r，点 P的坐标为(3,5)，36515cos,tan432 23xyrx当5m时,2 2r，点 P的坐标为(3,5)，36515cos,tan432 23xyrx9已知：是三角形的内角，若1sincos,tan5求的值解；由22sincos11sincos5解得4sin53cos5或3sin54cos5(0,),sin0所以4sin53cos5所以sin4tancos310 已知关于 x 的方程 4x22(m+1)x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值解：设直角三角形的两个锐角分别为、，则可得 +=，cos=sin方程 4x22(m+1)x+m=0 中， =4（m+1)244m=4(m1)20 当 m R，方程恒有两实根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习好资料欢迎下载又 cos+cos=sin+cos=21m，coscos=sincos =4m由以上两式及sin2+cos2=1，得 1+24m=(21m)2解得 m=3当 m=3时，cos +cos=2130，coscos=430，满足题意，当 m=3时， cos+cos=2310，这与 、是锐角矛盾，应舍去 . 综上， m=3A 组1若则角且, 02sin, 0cos的终边所在象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限1提示：cos0,sin22sincos0且可得2y =|sin|cos| tan|sin|cos|tanxxxxxx的值域是A1,1 B 1,1,3 C 1,3 D1,3 2提示：讨论角在四个象限的情况3若 f(cosx)=cos2x，则 f(sin15)的值等于A21B21C23D233提示：00sin15cos754计算7231113sincos()tan()cos3643454提示：利用诱导公式5已知角的终边上一点与点( 3,2)关于轴对称，角的终边上一点与点关于原点对称，那么sinsin的值等于5提示：由题设条件求出点、点的坐标，从而依正弦函数的定义求sin、sin6已知sin(3 )=41，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习好资料欢迎下载)cos()cos()2cos()2cos( 1)cos(cos)cos(的值解： sin（3） sin，sin41原式cos)cos(coscos) 1cos(coscoscos11cos1122sin2cos1232 7如果角 的终边经过点M（1，3） ，试写出角 的集合 A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角. 解：在 0到 360范围内，由几何方法可求得=60. A=| =60+k 360， kZ 其中最大的负角为300（当 k=1 时）绝对值最小的角为60（当 k=0时）8已知tan是方程2210cosxx的两个根中较小的根，求的值解 ： 由 题 意 知 ：22tantan10cos， 解 得1sin2， 故3cos201当3cos2时 ， 原 方 程 为23430xx， 解 之 得1233,3xx故tan3，所以2,3kkZ02当3cos2时 ， 原 方 程 为23430xx， 解 之 得1233,3xx故3tan3，所以,6kkZB组1已知点tan,cossinP在第一象限，则在2,0内的取值范围是（）（A）45,43,2（ B）45,2,4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习好资料欢迎下载（C）23,4543,2（D）,432,41D 提示：由sincos0tan0,且及三角函数线可得。2如果满足条件3sin542cos5kkkk，则是（）第二象限的角第二或第四象限的角第四象限的角第一或第三象限的角2提示：22sincos1可得3)2cos()2sin(21等于（）Asin2cos2 Bcos2sin2 C （ sin2 cos2 ）Dsin2+cos2 3提示：2212sin(2)cos(2)sin 2cos 22sin 2cos 22(sin 2cos2)及sin2cos20可得4已知：00001cos(75),18090 ,cos(15)3且则42 23提示；由000001057515 ,cos(75)075可知是第四象限角，所以00202 2cos(15)sin(75)1cos (75)35在直角坐标系中，O 为坐标原点，角和的终边为OA 和 OB，OA 过点M( sin,cos),(0,)2，OA 与 OB 关于直线yx对称，则角的的集合是；52,kkZ提示； OB 过点(cos ,sin)，的终边为OB 6 已知(0,2 ),sincos和是方程210xkxk的两个根，求k和的值解：sincos和是方程的两个根2sincos230sincos1kkkk解得13kk或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习好资料欢迎下载sincos2,1,2k7若 kZ，求证：)1cos() 1sin()cos()sin(kkkk 1证明： 【法一】若 k 为偶数，则左端)cos)(sin(cossin)cos()sin(cos)sin( 1，若 k 为奇数，则左端cossin)cos(sin)cos(sin)cos()sin( 18已知一扇形的周长为c(c0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为Sc=2R+l， R=2lc(lc) 则 S=21Rl=212lcl=41(cll2)=41(l2cl)=41(l2c)2+162c当 l=2c时， Smax=162c答：当扇形的弧长为2c时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是162c. 本课小结这节课在设计上特别注意了以下几点：前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲 “0360”的情况逐渐过渡到“ 任意角 ” 的情况， 讲清了推广的必要性及意义注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识注意了跟踪练习的设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习好资料欢迎下载课后作业课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页