三垂线定理三垂线定理(06高考复习高考复习) 复习回顾复习回顾 基础应用基础应用三垂线定理及其逆定理（一）三垂线定理及其逆定理（一）PCBA能力拓展能力拓展课堂练习课堂练习一一 基本概念：基本概念：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。么，它也和这条斜线的射影垂直。1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线三垂线”的含义：的含义：（1）垂线与平面垂直）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直）斜线与平面内的直线垂直定理内容定理内容分析分析：二、二、基础性练习基础性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（与斜线的位置关系是（ ）（A）垂直）垂直 （B）异面）异面 （C）相交）相交 （D）不能确定）不能确定2、如图四面体中，如果、如图四面体中，如果AB是直径，为圆周上任意是直径，为圆周上任意点且垂直于平面那么该四面体最多有多点且垂直于平面那么该四面体最多有多少个直角三角形（少个直角三角形（ ）（A）有一个直角三角形）有一个直角三角形 （B）有两个直角三角形）有两个直角三角形（C）都是直角三角形）都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形）一定都不是直角三角形DCPCBA三、例题分析：三、例题分析：例、空间四边形例、空间四边形ABCD中，中，AB垂直于垂直于CD，BC垂直于垂直于AD，求证：，求证：AC BDBD。证明：证明：如图，若如图，若AB是平面是平面BCD的斜的斜 线，过线，过A作作AO平面平面BCD于于O，连结，连结BO，ABCDABCD，CDBOCDBO（三垂线逆定理）（三垂线逆定理）. .同理可得同理可得BCODBCOD，则，则O O为为BCDBCD的垂心，的垂心，BDOCBDOC，OCOC是是ACAC的射影，的射影，BDACBDAC（三垂线定理）。（三垂线定理）。OABCD例例2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，连结中，连结BDBD1 1，ACAC，CBCB1 1，B B1 1A A，求证：，求证：BDBD1 1平面平面ABAB1 1C C ABCD ABCD ABCD ABCD是正方形，是正方形，是正方形，是正方形，ACBD ACBD ACBD ACBD 又又又又DDDDDDDD1 1 1 1平面平面平面平面ABCD ABCD ABCD ABCD BD BD BD BD是斜线是斜线是斜线是斜线D D D D1 1 1 1B B B B在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的上的上的上的射影射影射影射影 AC AC AC AC在平面在平面在平面在平面ACACACAC内，内，内，内，BDBDBDBD1 1 1 1AC AC AC AC A1D1C1B1ADCB而而而而ABABABAB1 1 1 1， AC AC AC AC相交于点相交于点相交于点相交于点A A A A且都在平面且都在平面且都在平面且都在平面ABABABAB1 1 1 1C C C C内内内内 BD BD BD BD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：证明：证明：证明：连结连结连结连结BDBDBDBD， 请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明BDBDBDBD1 1 1 1ABABABAB1 1 1 1 连结连结连结连结A A A A1 1 1 1B B B B例例3.如图所示如图所示,已知已知PA 平平ABC,ACB=90ABC,ACB=90， AQPCAQPC，ARPBARPB，试证，试证PBCPBC、 PQRPQR为直角三角形。为直角三角形。证明：证明：PAPA平面平面ABCABC，ACB= 90ACB= 90， ACBCACBC，ACAC是斜线是斜线PCPC在平面在平面ABCABC的射影，的射影，BCPCBCPC（三垂线定理），（三垂线定理），PBCPBC是直角三角形；是直角三角形；BCBC平面平面PACPAC，AQAQ在平面在平面PACPAC内，内，BCAQBCAQ，又，又PCAQPCAQ，AQAQ平面平面PBCPBC，QRQR是是 ARAR在在 平平 面面 PBCPBC的的 射射 影影 ， 又又 ARPBARPB，QRPBQRPB（三垂线逆定理），（三垂线逆定理）， PQRPQR是直角三角形。是直角三角形。若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b垂直于垂直于 a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab （ ）若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直于垂直于a在平面在平面内的射影，内的射影， 则则 ab （ ）若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b 且且b垂直于垂直于a在另一平面在另一平面内的射内的射 影则影则ab （ ）若若 a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b垂直于垂直于a在平面在平面内的射内的射 影，则影，则 ab （ ）四四 课堂练习课堂练习1.判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直线A1C 斜线 a直线AB 垂线 b面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 b2. 在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1 ， A1CB1D1 证明：证明： 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的上的射射 影由三垂线定理知影由三垂线定理知 A1CBC1 .同理可证，同理可证， A1CB1D1 C B A1B1 C1A D D1 C B A1B1 C1A D D1小结小结：运用三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理证明两条证明两条异面直线垂直异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线必然要涉及平面的斜线,平面平面的垂线，这是的垂线，这是三垂线定理解题的关键三垂线定理解题的关键.我们我们可以从以下三点加以理解可以从以下三点加以理解:11知识内容：三垂线定理及其逆定理；知识内容：三垂线定理及其逆定理； 22思想方法思想方法: :转化的思想转化的思想, ,转化的关键是转化的关键是: :找找 平面的垂线平面的垂线33应用步用步骤:分三个步骤分三个步骤-“-“一垂二射三证一垂二射三证” （1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。等。（2）从平面外一点）从平面外一点D向平面引垂线段向平面引垂线段DA及斜线及斜线段段DB、DC，DA=a，BDA=CDA=60， BDC=90 ，求，求BC的长。的长。（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点，要经过点E在上底面上画一条直线和在上底面上画一条直线和C、E的连线的连线垂直，应怎样画？垂直，应怎样画？ 五五. .布置作业：布置作业：A C B A1B1C1D D1E 已知已知P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是O，若若p到到ABC的三边的距离相等，则点的三边的距离相等，则点O是是ABC的的 。若若PA=PB=PC ，则点，则点O是是ABC的的 。若若PABC，PBAC，则点，则点O是是ABC的的 。探索探索1、已知、已知P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是O，O是是ABC的垂心，求证的垂心，求证PABC，PBAC。探索探索2、已知、已知P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是O，O是是ABC的垂心，求证的垂心，求证B在平面在平面PAC内的射影是内的射影是O是是PAC的垂心。的垂心。探索探索3、已知、已知O是锐角是锐角ABC的垂心，的垂心，PO平平面面ABC，BPC= 求证：求证：BPA= ，APC= 。