第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小三、小 结结 复习一元函数导数的定义：复习一元函数导数的定义：定义定义即即一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法（对（对x偏增量比的极限存在）偏增量比的极限存在）（对（对y偏增量比的极限存在）偏增量比的极限存在）偏导函数偏导函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 解解:把把y暂时看做常量暂时看做常量把把x暂时看做常量暂时看做常量例例2. 求求 的偏导数的偏导数 . 解解:把把y暂时看做常量暂时看做常量把把x暂时看做常量暂时看做常量证证:原结论成立原结论成立例例4.4.求求的偏导数的偏导数. .解：把解：把y和和z都看作常量，得都看作常量，得由函数关于自变量的对称性，得由函数关于自变量的对称性，得证证:2.有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：12求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解:、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在但函数在(0,0)处并不连续处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，见上节例见上节例6在（在（0，0）偏导数存在，）偏导数存在，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如下图如下图偏导数的几何意义偏导数的几何意义纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解注意注意: : 此处此处但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .解：解：注意注意: : 此处此处但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的混合偏导数都相等吗？具备怎样的 条件才相等？条件才相等？即，二阶混合偏导数在连续的条件下即，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关与求导次序无关.解解:满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程证证:例例9. 证明函数证明函数利用对称性，有利用对称性，有思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结 布布 置置 作作 业业 P69 习题习题 9-2 1（5）（）（6）, 3， 5.