学习必备欢迎下载多边形的相关概念适用学科数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60 知识点多边形多边形的对角线多边形的内角和与外交和平面镶嵌教学目标1、了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、 外角、 顶点、 对角线。2、通过归纳，得出n 边形对角线条数公式。3、经历探索多边形的内角和公式的过程，了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，体会数学与现实世界的紧密联系。4、会用多边形的对角线条数与内角和公式进行简单的计算与说理。教学重点1、多边形的有关概念：多边形的边、内角、外角、顶点、对角线。2、n 边形对角线条数公式。3、n 边形的内角和公式。教学难点1、归纳得到n 边形对角线条数公式。2、探索多边形的内角和公式。3、灵活运用多边形的对角线条数公式、内角和公式进行计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页学习必备欢迎下载教学过程一、 复习预习三角形有三条边，三个角，一条对角线。三角形内角和为180 度。三角形外交和为360 度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页学习必备欢迎下载二、知识讲解考点 1 多边形的相关概念1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。8、 多边形的外角： 多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页学习必备欢迎下载考点 2 多边形中的公式1、 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2 ）18 2、 正 n 边形的内个内角等于3、 多边形的外角和为360 。4、 多边形对角线的条数： （1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3 ）条对角线，把多边形分成（ n-2 ）个三角形； （2）n 边形共有条对角线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页学习必备欢迎下载三、 例题精析【例题 1】【题干】 四边形 ABCD 中，如果 A+ C+ D=280 ，则 B 的度数是（）A 80B90 C 170 D20 【答案】 A【解析】 点拨：B=360 -（A+ C+ D） =360 -280 =80 故选A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页学习必备欢迎下载【例题 2】【题干】 一个多边形的内角和等于1080 ，这个多边形的边数是（）A 9 B8 C 7 D6 【答案】 B【解析】 设这个多边形的边数为n，则（ n-2 ） 180=1080解得 n=8 故选 B【例题 3】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页学习必备欢迎下载【题干】 内角和等于外角和2 倍的多边形是（）A五边形B六边形C七边形D八边形【答案】 B【解析】 设这个多边形的边数为n，根据题意， 得（ n-2 ） 180=2 360 解得 n=6 故选 B【例题 4】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页学习必备欢迎下载【题干】 四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？? 为什么？【答案】 四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角【解析】 因为四边形的内角和为360 ，如果四个内角都是锐角或都是钝角，? 则内角和小于360 或大于360 ，与四边形的内角和为360 矛盾? 所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360 ，与内角和定理相符，所以四个内角可以都是直角【例题 5】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页学习必备欢迎下载【题干】已知：如图，在四边形 ABCD 中， A= C=90 ，BE 平分ABC ， ?DF平分ADC BE与 DF 有怎样的位置关系？为什么？【答案】 BEDF【解析】 理由：A= C=90 ， A+ C=180 ABC+ ADC=360 -180 =180 ABE=12ABC ，ADF=12 ADC ， ABE+ ADF=12（ABC+ ADC ）=12180 =90 又 ABE+ AEB=90 ， AEB= ADF ， BE DF（同位角相等，两直线平行）【例题 6】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页学习必备欢迎下载【题干】 如图， 以五边形的每个顶点为圆心，以 1 为半径画圆， 求圆与五边形重合的面积【答案】 1.5【解析】 不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和（5-2 ）180 360 12=1.5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页学习必备欢迎下载四、课堂运用【基础】1.正十边形的每一个内角的度数等于_ ，每一个外角的度数等于_ 答案： 144 ； 36 解析：正十边形每一个内角的度数为：(102)18010=144 ，每一个外角的度数为：180 -144 =36 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页学习必备欢迎下载2. 已知一个多边形的内角和为540 ，则这个多边形为（）A三角形B四边形C五边形D六边形答案： C 解析：设这个多边形的边数为n，依题意，得（n-2 ）180 =540 ，解得n=5 ，故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页学习必备欢迎下载3. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是【】A四边形B五边形C六边形D八边形答案： A。解析： 设此多边形是n 边形，多边形的外角和为360 ，内角和为（n2） 180 ，（n2） 180=360，解得： n=4 。这个多边形是四边形。故选A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页学习必备欢迎下载【巩固】1.求下列图形中x 的值：答案： 115 解析： （1）90+70+150+x=360解得 x=50 （2） 90+73+82+（180-x ）=360 解得 x=65 （3） x+ （x+30 ）+60+x+（x-10 ）= （5-2 ）180 解得 x=115 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页学习必备欢迎下载2. 已知正 n 边形的一个内角为135o ，则边数 n 的值是【】A6 B7 C8 D9 答案： C。解析： 根据多边形内角和定理，得00n2=135n（）180，解得 n=8 。故选 C。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页学习必备欢迎下载3. （1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？猜想并探索：n 边形有几条对角线？（2）一个 n 边形的边数增加1，对角线增加多少条？答案： （1）2，5，9，(3)2n n（2）(3)2n n解析： （1）四边形有2 条对角线；五边形有 5 条对角线；六边形有 9 条对角线；n 边形有(3)2n n条对角线（ 2）当 n 边形的边数增加1 时，对角线增加（n-1 ）条点拨：从 n 边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3 ）条对角线， n 个顶点共可引 n（ n-3 ）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n 边形的对角线条数为(3)2n n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页学习必备欢迎下载【拔高】1.（2012江苏南京 2 分） 如图，1、2、3、4是五边形ABCDE 的 4 个外角，若2A1 0，则1234 2.答案： 300 。解析： 由题意得，A的外角=180 A=60 ，又多边形的外角和为360 ，1+ 2+ 3+ 4=360 A的外角=300 。2. 如图， 六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是【】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页学习必备欢迎下载AE=2 KBBC=2HI C 六边形 ABCDEF 的周长 = 六边形 GHIJKL 的周长D S六边形 ABCDEF=2S六边形 GHIJKL答案： B。解析： A、六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL ，E= K，故本选项错误；B、六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1，BC=2HI ，故本选项正确；C、六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1，六边形 ABCDEF 的周长= 六边形 GHIJKL 的周长2，故本选项错误；D、六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1，S六边形 ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误。故选 B。3. 如图，四边形ABCD 中，若去掉一个60 的角得到一个五边形，则1+ 2=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页学习必备欢迎下载度答案： 240 。解析： 四边形的内角和为（42）180 =360 ，B+ C+ D=360 60 =300 。五边形的内角和为（52）180 =540 ，1+ 2=540 300 =240 。课程小结多边形的相关概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页学习必备欢迎下载1、多边形2、多边形的边3、多边形的顶点4、多边形的对角线5、多边形的周长6、凸多边形7、多边形的角8、 多边形的外角9、 多边形的外角和为360 。10 、多边形对角线的条数： （1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3 ）条对角线，把多边形分成（ n-2 ）个三角形； （2）n 边形共有条对角线11 、 正 n 边形的内个内角等于12 、 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2 ）18 课后作业【基础】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页学习必备欢迎下载1.一个多边形的内角和是720 ，这个多边形的边数是【】A4 B5 C6 D7 答案： C。解析： 多边形的内角和公式为（n2）?180，（ n 2）180=720，解得n=6。这个多边形的边数是6故选 C。2. 正多边形的一个外角等于30 则这个多边形的边数为【】A6 B9 C12 D15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页学习必备欢迎下载答案： C。解析： 正多边形的一个外角等于30，而多边形的外角和为360，则：多边形边数=多边形外角和一个外角度数=36030=12。故选C。3. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，那么这个多边形是_ 边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页学习必备欢迎下载答案：八解析：试题分析：n 边形的内角和可以表示成（n2） ?180 ，外角和为 360 ，根据题意列方程求解即可，设多边形的边数为n，依题意，得（n2） ?180 =3 360 ，解得 n=8 故答案是八4. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720 ， 那么原多边形的边数为【】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页学习必备欢迎下载A5 B5 或 6 C5 或 7 D5 或 6 或 7 答案： D。解析：首先求得内角和为720 的多边形的边数，即可确定原多边形的边数设内角和为720 的多边形的边数是 n，则（ n2） ?180=720，解得：n=6 。若截去一个角的多边形的直线经过两个顶点，则原多边形是七边形；若截去一个角的多边形的直线经过一个顶点，则原多边形是六边形；若截去一个角的多边形的直线不经过顶点，则原多边形是五边形。原多边形的边数为5 或 6 或 7。故选 D。【巩固】5. 若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页学习必备欢迎下载A2：1 B1：1 C 5：1 D 5： 4 答案： D 解析：多边形的内角与相邻的外角互为邻补角若一个内角与一个外角的度数之比是2：1，则外角是 180 =60 ，多边形的边数为360 60 =6 ；用同样的方法，当比值是 1：1时，多边形的边数是4；当比值是5：1 时，多边形的边数是12；当比值是5：4 时，多边形的边数是45，与实际情况不符合，所以本题答案是D6. 阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页学习必备欢迎下载A2，2 B2，3 C1，2 D2，1 答案： B 解析：本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，正方形、正三角形地砖的块数可以分别是2，3故选 B7. 四边形中 ,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页学习必备欢迎下载A都是钝角 ; B都是锐角C是一个锐角、一个钝角D是一个锐角、一个直角答案： C 解析：本题主要考查了多边形的内角和外角. 记住四边形的内角和是360 这一特征解：该四边形的一组对角都是直角，另一组对角的和是360 - 180 =180 A、若另一组对角都是钝角，那么它们的和就大于180 ；B、若另一组对角都是锐角，那么它们的和就小于180 ；C、若另一组对角中一个锐角和一个钝角，那么它们的和有可能等于180 ；D、若另一组对角中一个直角和一个锐角，那么它们的和小于180 ；故选 C8. 如图，若，那么等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页学习必备欢迎下载ABCD答案： C 解析：本题主要考查了多边形的外角和内角.根据外角都等于不相邻的两内角和以及四边形的内角和求解解：设 FC 与 AE、BD 相交于 M 、 N 点FME= E+ C, CND= F+ DFME= AMN, CND= BNMA+ B+ C+ D+ E+ F= 360=90 n=4故选 C 9. 一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页学习必备欢迎下载那么原多边形的边数是（）ABCD答案： B 解析：本题主要考查了多边形的内角和定理. 一个多边形截取一个角（不过顶点）后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520 的多边形的边数，即可求得原多边形的边数解：设内角和是2520 的多边形的边数是 n根据题意得： （n-2 ） ?180=2520，解得： n=16 则原来的多边形的边数是16-1=15故选 B 【拔高】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页学习必备欢迎下载10. 如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135 , 那么这个多边形的边数最少为 _. 答案： 9 解析：本题主要考查了多边形的内角和外角. 根据多边形的外角和定理，列出不等式即可求解解：因为n 边形的外角和是360 度，每一个内角都大于135 即每个外角小于 45 度，就得到不等式：45 ，解得 n8因而这个多边形的边数最少为911. 一个四边形的内角的度数的比是，求它的最大内角和最小外角的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页学习必备欢迎下载答案：最大内角为，最小外角为解析：本题主要考查了多边形的外角和内角. 设四边形 4 个内角的度数分别是3x，4x，5x ，6x ，所以 3x+4x+5x+6x=360，即可求解解：设四边形4 个内角的度数分别是3x，4x ，5x，6x， 3x+4x+5x+6x =360，解得 x=20 则最大内角为20 6=120 最小外角为60 12. 如图，六边形ABCDEF 各内角相等，1= 2=60 ，AB 与 DE 有怎样的位置关系？AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页学习必备欢迎下载与 BC 有怎样的位置关系？为什么？答案：AB DE， AD BC解析：此题主要考查了多边形内角和定理以及平行线的判定根据已知得出六边形ABCDEF 的每一个内角都相等120 ，再利用1= 2=60 ，得出 EDA= DAB=60 ，即可得出 AB DE，再利用已知得出2+ C=180 ，得出AD BCAB DE， AD BC，六边形 ABCDEF 的内角都相等，六边形 ABCDEF 的每一个内角都相等120 ，EDC= FAB=120，1= 2=60 ，EDA= DAB=60 ， AB DE，C=120 ，2=60 ，2+ C=180 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页