名师精编优秀教案圆的标准方程【自主预习】1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？2、若一个圆的圆心是（0， 0） ，半径是2，圆的方程是什么？若一个圆的圆心是（-2，1） ，半径是 3，圆的方程是什么？若一个圆的圆心是（a，b） ，半径是r(y0) ，圆的方程是什么？3、分析圆的标准方程有何特点？4、写出下列圆的方程圆心在原点，半径为3 圆心在点C(3,4),半径为5经过点 P（5，1） ，圆心在点C(8，-3) 已知点 A(-4,-5),B(6,-1),求以 AB为直径的圆的方程。特殊的： 过直径两端点A （x1，y1） 、B(x2，y2)的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 5、根据圆的方程写出圆心和半径5)3()222yx（2222()2）（yx【典例探究】（点与圆的位置关系）例题 1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点， 求该圆的标准方程，并判断点)4,3(),1, 1(),0, 1(321ppp和圆的位置关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀教案的条件呢？的条件是什么？在圆外内在圆（思考：点)0()(),(22200rrbyaxyxM判定方法1、几何法2、代数法（三角形外接圆）例题2、 ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2 ，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。变式：已知四点A（0,1 ） 、B （2,1 ） 、C（3,4 ） 、D（ -1,2 ） ，这四点是否在同一个圆上，为什么？（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C经过两个点A（2，-3 ） ，B（-2，-5 ） ，且圆心在直线032:yxl上，求此圆的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀教案思考：比较例题2 和例题 3，你能归纳求任意ABC外接圆的方程的两种方法吗？1、待定系数法2、弦的垂直平分线过圆心这一性质（圆的对称性）例四已知一个圆C：(x+2)2+(y-6)2=1 和一条直线l ：3x-4y+5=0, 求圆 C关于直线 l 对称的圆的方程。圆的一般方程【自主学习】1 下列方程分别表示什么图形（1）014222yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀教案(2) 054222yxyx(3) 064222yxyx(4) 0FED22yxyx只有满足条件，才是圆的方程！2、圆的一般方程是什么？1、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ x 、y 二次项系数相同且不为0；没有关于xy 的一次项圆的一般方程表明了方程形式的特点一般方程有三个待定系数D、E、F 3、由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系？【典例探究】（求圆的方程）例题1 ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1 ，5),B(-2，-2),C (5，5), 求它的外接圆的方程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤1、选定方程形式2、根据条件列出方程组3、代入数值计算出待定系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀教案（确定圆的条件）例题3 若方程 ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。（轨迹方程） 例题 4 已知 O为为坐标原点， P在圆 C ：1)222yx（上运动， 求线段OP的中点 M的轨迹方程。关于求轨迹问题注意的地方：1、一般步骤建系、设点、找关系式、验证 2、注意对不符合题意的点的排除 3、求轨迹与求轨迹方程不一样，求轨迹需要说明轨迹的形状精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀教案【拓展提高】一、与圆有关最值问题1、与距离相关已知 P是直线 3x+4y+8=0 上的动点， PA 、PB是圆 C ：x+y-2x-2y+1=0的两条切线， A、B是切点， C是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。2、与圆上点有关已知实数x,y 满足方程01422xyx，求：（1）求 y/x 的最大值与最小值（2）22yx的最大值和最小值（3）求 y-x 的最大值与最小值3、与弦长有关已知 P（ -1,2 ）为圆 C：x2+y2=8内一定点，求（1）过点 P且被圆所截弦最短的直线方程（2）过点 P且被圆所截弦最长的直线方程二、圆的参数方程圆的参数方程及应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀教案对于圆的普通方程222()()xaybR来说，圆的方程还有另外一种表达形式cossinxaRybR(为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。一、求最值例 1 已知点（x，y）在圆221xy上，求2223xxyy的最大值和最小值。解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。二、求轨迹例 2 在圆224xy上有定点 A（2，0） ，及两个动点 B、C ，且 A、B、C按逆时针方向排列，BAC=3，求ABC的重心 G （x，y）的轨迹方程。用圆的几何性质， 求出轨迹的参数方程， 在消参后，要注意 x 的范围的限定。C x y O A B 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀教案三、求范围例 3 已知点 P（x，y）是圆22(1)1xy上任意一点，欲使不等式x+y+c0 恒成立，求 c 的取值范围。将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。四、求斜率例 4 求函数sin1( )cos2f的最大值和最小值。O x y (2,1) 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页